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Calculadora de área do losango

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 ° – 180 °

Resultado

24,0000 cm²

Área

A calculadora de área do losango devolve a área de um losango a partir de qualquer um dos dois conjuntos de medidas que a determinam: as duas diagonais, ou um lado e um ângulo. Um losango é uma figura de quatro lados todos do mesmo comprimento — um quadrado que foi empurrado de lado — e é a forma que a maioria das pessoas quer dizer quando fala em diamante. Esse empurrão é o assunto da segunda rota: um quadrado tem ângulos de 90 graus, e incliná-lo muda os ângulos sem mudar os lados, então a área depende de quanto ele foi inclinado e o lado sozinho não basta. A primeira rota é a que quase todo mundo já viu: a área de um losango é metade do produto das diagonais, o que, para um losango de 6 numa direção e 8 na outra, dá 24. Vale conhecer essa fórmula porque ela também vale para qualquer quadrilátero cujas diagonais se cruzam em ângulo reto, e porque faz do losango uma das poucas formas cuja área é mais fácil de obter pelas diagonais do que pelos lados. A segunda rota é a versão trigonométrica: a área é o lado ao quadrado vezes o seno de qualquer um dos ângulos, então um losango de lado 5 e ângulo de 60 tem área 21,6506, e um com o mesmo lado e um ângulo reto tem 25 — o quadrado, que é a maior área que um losango daquele lado pode ter. As duas rotas se encontram, e a tabela abaixo mostra esse encontro: o losango da primeira linha tem diagonais 6 e 8, o que força um lado de exatamente 5 e os ângulos que vêm com ele, 73,74 e 106,26 graus; informe por qualquer das rotas e a resposta é 24. A segunda rota é a que se usa quando a forma é definida pelos seus ângulos, como costuma acontecer com um ladrilho ou um painel, e a primeira quando ela é definida pelas diagonais, como costuma acontecer com uma pipa ou uma laje. Preencher mais de uma rota é permitido e a página não se incomoda: informar um lado junto com as duas diagonais é uma conferência de consistência e não um erro, porque o lado é determinado pelas diagonais e a página consegue dizer se os números que você deu combinam entre si.

Losangos pelas suas diagonais, com o lado e o ângulo que cada um implica

Diagonal 1 (cm)Diagonal 2 (cm)Lado (cm)Ângulo (°)Área (cm²)
68573.7424
110.7071900.5
242.236153.134
5126.545.2430
8158.556.1460
12161073.7496
10107.07119050
00000

Oito losangos, e a primeira linha é a que a página carrega. As colunas do lado e do ângulo não são entradas desta tabela: elas são o que as duas diagonais implicam, calculadas a partir delas, e estão ali para que as duas rotas possam ser comparadas numa mesma linha. A primeira linha é a comparação a fazer: diagonais de 6 e 8 dão área 24, e o lado e o ângulo impressos ao lado delas — 5 e 73,74 — informados pela outra fórmula dão 24 também. As linhas um e seis são a mesma conferência em dois tamanhos: 6 e 8 implicam um lado de 5, e 12 e 16 implicam um lado de 10, com o mesmo ângulo de 73,74 nas duas vezes, porque dobrar todos os comprimentos quadruplica a área e deixa os ângulos em paz. A segunda e a sétima linhas são quadrados, que são losangos de diagonais iguais, e mostram a forma na sua maior área para um dado lado — a linha de 10 por 10 tem área 50 e lado 7,0711. A coluna do ângulo para um pouco antes de um número redondo na maioria das linhas porque os ângulos de um losango raramente são redondos: 73,74 e 106,26 são o par de um triângulo 3-4-5, e eles somam 180 como os dois tamanhos de ângulo de qualquer losango precisam somar. A última linha é toda de zeros, que é um losango sem tamanho e uma área de zero em vez de um espaço em branco. Toda célula é recalculada a partir da sua linha quando a página é construída, em centímetros e centímetros quadrados. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = s² × sen(θ)

d₁, d₂
As duas diagonais, em centímetros: as linhas que unem cantos opostos. Num losango elas se cruzam em ângulo reto e cortam uma à outra pela metade, e é isso que faz a primeira fórmula funcionar. Num quadrado as duas são iguais, então informar o mesmo número duas vezes é correto e não um engano
s
O comprimento de um lado, em centímetros. Os quatro são iguais, então um basta. Sozinho ele não determina a área — um losango de lado 5 pode ter qualquer área, de quase nada até 25 —, e é por isso que esta rota precisa também de um ângulo
θ
Qualquer um dos quatro ângulos, em graus, radianos ou grados. O losango tem dois ângulos de um tamanho e dois do outro, e os dois tamanhos somam 180; qualquer um dos dois pode ser usado na fórmula, porque o seno de um ângulo e o seno do seu suplemento são iguais. É por isso que a página não se importa com qual dos quatro você mediu
A
A área, em centímetros quadrados: metade do produto das diagonais, ou o lado ao quadrado vezes o seno de um ângulo. As duas expressões dão o mesmo número para o mesmo losango. É impressa com quatro casas decimais, a mesma largura das outras páginas de área desta subcategoria
÷ 2
A divisão por dois da fórmula das diagonais. Ela está aí porque as duas diagonais cortam o losango em quatro triângulos retângulos e o produto das diagonais conta duas vezes o retângulo em volta deles — o losango é metade do retângulo cujos lados são as suas diagonais, que é o jeito mais direto de ver de onde a fórmula vem
sen(θ)
O seno do ângulo, que é o fator que mede quanto o losango foi inclinado. Ele vale 1 num ângulo reto, então um quadrado tem a maior área de todos os losangos com aquele lado; ele cai para 0 conforme a forma se achata, então um losango quase deitado tem quase nenhuma área. Ele tem o máximo em 90 graus e é simétrico em torno disso, e é por isso que um ângulo de 60 e um de 120 dão a mesma área

Use a rota das diagonais quando o losango é definido pelas diagonais, que é o caso comum de tudo que é marcado no chão ou cortado de uma chapa: uma laje de calçada, uma pipa, um painel decorativo, um vidro posto em ângulo. As diagonais são o que se mede num losango pronto, porque são as duas distâncias de través, e a metade do produto delas é a área — no caso 6 por 8, 24 centímetros quadrados. Use a rota do lado com o ângulo quando a forma é definida pelas arestas e pelos cantos, que é o caso comum de tudo que é especificado de antemão: um ladrilho cotado em 5 centímetros com um ângulo de 60 graus, um padrão de losangos num piso, uma placa cortada a partir de um desenho. Essa rota também responde à pergunta que a rota das diagonais não responde, que é quanto a área muda quando você inclina a forma: com lado 5, um losango de 60 graus cobre 21,6506 e um de 90 graus cobre 25, então incliná-lo até ali custa cerca de 13 por cento da área, e inclinar mais custa mais. Vale experimentar duas formas específicas. Informe o mesmo número nas duas diagonais e você tem um quadrado — 10 e 10 dão 50, com lado 7,0711 —, que é a maior área que um losango com aquela diagonal pode ter e uma referência útil. E informe um ângulo bem pequeno e a área caminha para zero: um losango inclinado até 10 graus continua com o mesmo lado e quase nenhuma área, que é a demonstração de que o lado sozinho não basta para determinar a área. Se você estiver comparando esta página com a calculadora de área do paralelogramo, aquela recebe uma base e uma altura perpendicular, o que também funciona para um losango — a altura é o lado vezes o seno do ângulo —, mas pede uma distância que você teria de calcular em vez de uma que dá para medir. E se você quer o perímetro, ele é quatro vezes o lado, que é a única medida do losango que não precisa de ângulo nenhum.

Exemplos resolvidos

  1. Diagonais de 6 e 8

    1. Produto das diagonais: 6 × 8 = 48
    2. Metade disso: 48 ÷ 2 = 24

    É a entrada com que a página carrega e o losango em torno do qual a página inteira foi construída, porque é aquele cujas duas rotas podem ser conferidas à mão. Suas diagonais de 6 e 8 forçam um lado de 5 — a metade de cada diagonal é 3 e 4, e o triângulo com esses catetos tem hipotenusa 5 — e o ângulo que vai com esse lado é 73,74 graus. Então a outra rota, um lado de 5 com um ângulo de 73,74, dá os mesmos 24, e a tabela abaixo imprime essa linha. É a demonstração mais clara desta página de que as duas fórmulas descrevem uma forma só e não duas.

  2. Um lado de 5 e um ângulo de 60 graus

    1. Seno do ângulo: sen 60° = 0,866025…
    2. Lado ao quadrado: 5 × 5 = 25
    3. Área: 25 × 0,866025… = 21,650635…, que arredonda para 21,6506

    A rota do lado com o ângulo, e a linha que mostra quanto custa inclinar um quadrado. Um quadrado de lado 5 cobre 25 centímetros quadrados; inclinado até 60 graus, os mesmos quatro lados encerram 21,6506, um pouco mais de 13 por cento menos. O 0,866 é o seno de 60 graus, que é metade da raiz de três, e é o mesmo número que aparece na área de um triângulo equilátero — os dois são a mesma geometria vista de direções diferentes.

  3. Um lado de 5 e um ângulo reto

    1. Seno do ângulo: sen 90° = 1
    2. Lado ao quadrado: 5 × 5 = 25
    3. Área: 25 × 1 = 25

    Um quadrado, que é um losango cujos ângulos não foram inclinados nada. O seno de um ângulo reto é 1, então a segunda fórmula se reduz ao lado ao quadrado e dá a maior área que um losango de lado 5 pode ter. Qualquer outro ângulo dá menos: a 45 graus seria 17,6777, a 30 graus 12,5 e a 10 graus 4,3412. Que o quadrado seja o máximo vale saber antes de escolher um ângulo para um painel ou um ladrilho, já que a forma que cobre mais superfície com uma aresta dada é a que foi inclinada menos.

  4. Diagonais de 5 e 12

    1. Produto das diagonais: 5 × 12 = 60
    2. Metade disso: 60 ÷ 2 = 30

    Um losango longo e fino, e uma linha fácil de conferir contra o seu lado: metade de 5 é 2,5 e metade de 12 é 6, então o lado é a hipotenusa de um triângulo de 2,5 por 6, que é 6,5. Isso bate com a coluna do lado na tabela. A área de 30 é um bom lembrete de que as duas rotas não são intercambiáveis em comodidade — o perímetro desta forma é 26 e a área é 30, o que é uma coincidência destes números e não uma regra.

  5. Diagonais de 1 e 1

    1. Produto das diagonais: 1 × 1 = 1
    2. Metade disso: 1 ÷ 2 = 0,5

    O menor losango quadrado, e a linha que mostra a divisão por dois com clareza: duas diagonais de um dão uma área de um meio, porque o losango é metade do quadrado unitário cujos lados são as diagonais. Seu lado é 0,7071, que é a raiz de dois sobre dois — a mesma relação entre a diagonal e o lado de um quadrado, lida ao contrário. Repare que informar zero nas duas diagonais dá área zero em vez de um espaço em branco: um losango sem tamanho é uma resposta legítima.

Limitações

A página calcula a área de um losango e nada mais: ela não imprime o perímetro, a altura, as diagonais nem os ângulos, e o motivo é que todos eles saem das mesmas duas medidas que você já tem. O perímetro é quatro vezes o lado, que você mesmo pode ler na sua entrada quando usou a rota do lado. A página precisa ou das duas diagonais, ou de um lado com um ângulo, e reporta um erro se nenhuma das rotas estiver completa em vez de adivinhar: uma diagonal sozinha, ou um lado sem ângulo, não determinam a forma. Preencher mais de uma rota é permitido desde que nenhuma seja contradita — um lado informado junto com as duas diagonais é conferido contra elas —, mas um losango cujas diagonais implicam um lado e cujo campo de lado diz outro é reportado como contradição em vez de ser resolvido em silêncio, e a página não diz qual dos seus números é o errado. O campo do ângulo aceita graus, radianos e grados, e a página supõe que o ângulo está entre 0 e 180; um ângulo de 0 ou 180 dá área zero, que é a resposta honesta para uma forma achatada, mas um ângulo numa unidade diferente da selecionada dá uma resposta errada em vez de um erro. As saídas estão em centímetros quadrados, qualquer que seja a unidade escolhida nas listas de comprimento, então um lado informado em polegadas volta como uma área em centímetros quadrados que você mesmo converte. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e são generosas para medidas tiradas com trena. A página não verifica que a forma é um losango: quatro lados iguais e quaisquer ângulos servem, e uma forma que pareça um losango mas tenha lados ligeiramente diferentes será respondida como se fosse um, pela rota que você informou. Ela também não tem como descrever um losango pela sua altura, nem como trabalhar de trás para frente, de uma área para as dimensões que a produzem, que é o tipo de pergunta que uma placa cortada para uma área fixa de fato faria.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula da área de um losango?
São duas, e qualquer uma delas basta. Metade do produto das diagonais: um losango de 6 numa direção e 8 na outra cobre 24 centímetros quadrados. Ou o lado ao quadrado vezes o seno de qualquer ângulo: um losango de lado 5 a 60 graus cobre 21,6506. A primeira é a que se usa quando você mediu as diagonais; a segunda, quando a forma foi especificada pelo lado e pelo ângulo. As duas dão a mesma resposta para a mesma forma, e a tabela desta página mostra isso diretamente.
Por que a fórmula das diagonais tem uma divisão por dois?
Porque o losango é metade do retângulo cujos lados são as suas diagonais. As duas diagonais se cruzam em ângulo reto e se cortam pela metade, dividindo o losango em quatro triângulos retângulos, e se você desenhar o retângulo que tem as diagonais como lados vai ver que o losango ocupa exatamente metade dele. Esse retângulo tem área igual ao produto das duas diagonais, então o losango é metade desse produto.
Losango é a mesma coisa que diamante?
É o que a palavra diamante costuma querer dizer, sim. Uma forma de diamante, um diamante de baralho, um ladrilho em diamante — todos são losangos, que é a figura de quatro lados com os quatro lados iguais. A palavra losango é a usada na matemática porque é precisa, e a palavra diamante é a usada na obra porque é curta, e esta página trata da mesma forma nos dois casos.
Posso informar as diagonais e também um lado com um ângulo?
Pode, desde que concordem. Um lado informado junto com as duas diagonais é uma conferência de consistência e não uma contradição, porque as diagonais determinam o lado e a página consegue dizer se os números combinam entre si. O que a página não faz é escolher um vencedor: um losango cujas diagonais implicam um lado de 5 e cujo campo de lado diz 7 é reportado como contradição em vez de ser respondido em silêncio a partir de um deles, já que nenhum dos dois números é obviamente o confiável.
Qual é a maior área que um losango de um dado lado pode ter?
O quadrado, com área igual ao lado ao quadrado. Um losango de lado 5 com um ângulo reto cobre 25 centímetros quadrados, e todo outro ângulo dá menos: 21,6506 a 60 graus, 17,6777 a 45, 12,5 a 30 e 4,3412 a 10. Isso decorre da fórmula, já que o seno do ângulo é no máximo 1 e chega a 1 nos 90 graus. Então, se você está escolhendo um ângulo para um ladrilho ou um painel e quer a maior cobertura com uma aresta dada, escolha o ângulo reto.
Como eu acho o lado a partir das diagonais?
Divida cada diagonal pela metade e use as duas metades como catetos de um triângulo retângulo; o lado é a hipotenusa. Para diagonais de 6 e 8, as metades são 3 e 4, então o lado é 5. Para 5 e 12, as metades são 2,5 e 6, dando um lado de 6,5. Isso funciona porque as diagonais de um losango se cruzam em ângulo reto e se dividem ao meio — que é também o fato sobre o qual a fórmula da área é construída.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de losangoÁrea, diagonais e altura a partir de um lado e um ângulo.Calculadora de área do paralelogramoÁrea e perímetro do paralelogramo pela base, altura e lado.Calculadora de quadradoLado, perímetro, área e diagonal de um quadrado.Calculadora de área do triânguloMetade da base vezes a altura perpendicular sobre ela.