Calculadora de regra de três

A ÷ B = C ÷ D em cruz: A × D = B × C Termo faltante = (o par preenchido, multiplicado) ÷ o parceiro na diagonal

Primeiro termo (A)

O primeiro número da razão da esquerda: 3 em 3 : 4 = 12 : 16. Ele pode ficar em branco, e aí é o termo que esta página resolve — a resposta é impressa na mesma linha seja qual for a casa que ficou vazia. Pode ser negativo, e não pode ser zero.

Segundo termo (B)

O segundo número da razão da esquerda: 4 na mesma proporção. Como segundo membro de uma razão, é aquele contra o qual se compara, então um zero aqui não descreve nada — uma razão de 3 : 0 não é uma razão. Valores negativos não têm problema.

Terceiro termo (C)

O primeiro número da razão da direita: 12 no exemplo. Pode ficar em branco, e pode ser negativo. O zero também é recusado aqui, porque C ÷ D seria zero para todo D, e nenhum D faz zero ser igual a uma razão diferente de zero.

Quarto termo (D)

O segundo número da razão da direita: 16 no exemplo, e a casa que costuma ficar em branco porque o formulário já traz os três primeiros. É o termo mais procurado, e é resolvido do mesmo jeito que os outros três: multiplique o outro par e divida pelo parceiro na diagonal.

Termo faltante

Seja qual for o termo que ficou em branco, resolvido: 16 para 3 : 4 = 12 : ?. Ele é impresso em uma linha só, independentemente de qual das quatro casas estava vazia, porque uma linha rotulada por posição estaria apontando para a casa errada em três casos de cada quatro. A resposta nunca é zero: é um dos dois produtos dividido por um parceiro diferente de zero.

Produto da cruz

O produto do par que você preencheu: 48 para 3 : 4 = 12 : ?, de 4 × 12. Multiplicar em cruz é a afirmação de que os dois produtos são iguais, então este é o número que fica nos dois lados do sinal de igual e o que vale conferir à mão. Qual par é mostrado depende de qual casa ficou vazia, e é sempre o par completo — aquele que não precisa do valor resolvido, que por sua vez é uma leitura arredondada.

Fator de escala

C dividido por A: 4 para 3 : 4 = 12 : 16, porque a segunda razão é a primeira com todos os termos multiplicados por quatro. Ele não é o valor de nenhuma das razões — elas são iguais por definição, que é o que uma proporção diz —, é quantas vezes a segunda razão escala a primeira, e é o jeito mais rápido de conferir a resposta a olho.

O primeiro uso é o clássico: três termos de uma proporção são conhecidos e o quarto é o que se quer, seja num desenho em escala, numa receita, numa mistura ou numa conversão de moeda a uma taxa fixa. O segundo é conferir uma regra de três já resolvida — a linha do produto é a multiplicação que você faria à mão, e o fator de escala é a versão de uma olhada da mesma conferência. O terceiro é uma proporção cujo primeiro termo é desconhecido, que algumas ferramentas não conseguem expressar porque supõem que a resposta está sempre na última casa; aqui você simplesmente deixa a primeira casa em branco. O quarto é um par de razões com decimais, como 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5, em que a resposta é decimal e esta página imprime decimais em vez de transformar o resultado em fração. O quinto é a fronteira com a taxa unitária: 12 : 5 = ? : 1 é a mesma aritmética de descobrir o preço de um item, e esta página resolve, enquanto a página de taxa unitária é a que exige que o segundo termo seja exatamente 1.

1. 3 : 4 = 12 : ?

   1. O quarto termo é o que ficou em branco, então é ele que está sendo resolvido
   2. Faça a multiplicação em cruz: 3 × D = 4 × 12, que é 3 × D = 48
   3. Divida os dois lados por 3: D = 48 ÷ 3 = 16
   4. Confira pelo fator de escala: 12 ÷ 3 = 4, e 4 × 4 = 16, então as duas razões são a mesma

   O par padrão, e a forma com que a maioria das pessoas chega: os três primeiros termos dados e o último desejado. As duas leituras de apoio são as duas metades da conferência — o produto 48 é o número nos dois lados da equação, e o fator de escala 4 é por quanto a segunda razão multiplica a primeira. Repare que o termo resolvido é o que faz as duas razões valerem 0,75: 3 ÷ 4 e 12 ÷ 16. Essa igualdade é todo o conteúdo de uma proporção, e esta página só está rearrumando essa igualdade.

2. ? : 4 = 12 : 16

   1. O primeiro termo é o que ficou em branco desta vez, e nada mais muda no método
   2. Faça a multiplicação em cruz: A × 16 = 4 × 12, que é A × 16 = 48
   3. Divida os dois lados por 16: A = 48 ÷ 16 = 3
   4. O produto continua 48, porque ele vem do par que foi preenchido

   A mesma proporção com a resposta na primeira casa em vez da última, e todas as leituras são idênticas — 3, 48, 4. É esta a pergunta que o formato de quatro casas responde e que um formulário com uma casa de saída fixa não consegue: o desconhecido está onde você deixou o buraco. Vale observar o produto aqui, porque ele é 4 × 12 e não A × 16 — a página multiplica o par que você preencheu, não o par que por acaso contém o termo que ela acabou de resolver. Se ela usasse o valor resolvido, quem confere à mão estaria multiplicando por um número arredondado.

3. 3 : ? = 12 : 16

   1. A casa em branco está na segunda posição, e o método é o mesmo outra vez
   2. Faça a multiplicação em cruz: 3 × 16 = B × 12, que é 48 = B × 12
   3. Divida os dois lados por 12: B = 48 ÷ 12 = 4
   4. O produto vem do par completo desta vez, 3 × 16 = 48

   A casa em branco passou para a segunda posição, que é onde os dois pares se trocam: com o primeiro termo faltando o par completo é B e C, e com o segundo termo faltando ele é A e D. O produto impresso é 48 nos dois casos aqui, e isso não é coincidência desses quatro números: um produto e outro são iguais porque A × D = B × C é exatamente o que uma proporção afirma, e o valor resolvido foi escolhido justamente para que valesse. Por isso as quatro primeiras linhas da tabela abaixo mostram o mesmo 48, seja qual for a casa deixada em branco. Dividir por 12 em vez de multiplicar por ele é o passo que as pessoas mais erram.

4. 12 : 5 = ? : 1

   1. A casa em branco é o terceiro termo: 12 : 5 deve ser igual a C : 1
   2. Faça a multiplicação em cruz: 12 × 1 = 5 × C, que é 12 = 5 × C
   3. Divida os dois lados por 5: C = 12 ÷ 5 = 2,4
   4. O fator de escala é 2,4 ÷ 12 = 0,2, abaixo de um porque a segunda razão é menor

   A mesma aritmética de descobrir o preço de uma unidade quando cinco custam doze, e a resposta é decimal em vez de um número inteiro. Esta página imprime esse decimal e não o transforma em fração, o que é uma fronteira deliberada: reduzir um resultado à forma irredutível é tarefa das páginas de fração, e uma proporção cujos termos são decimais pode não ter fração arrumada nenhuma. O fator de escala abaixo de um é o sinal útil aqui — ele diz que a segunda razão é uma fração da primeira, o que é fácil de ler como erro quando a resposta deveria sair maior.

5. -3 : 4 = -12 : ?

   1. A casa em branco é o quarto termo, e os termos podem ser negativos
   2. Faça a multiplicação em cruz: −3 × D = 4 × (−12), que é −3 × D = −48
   3. Divida os dois lados por −3: D = −48 ÷ −3 = 16
   4. O produto é negativo e o fator de escala é positivo, e os dois estão certos

   Termos negativos são legais, porque uma razão pode ser negativa e −0,75 = −0,75 é uma proporção verdadeira. As duas leituras de apoio apontam para lados opostos aqui e isso não é contradição: o produto −48 é o produto dos dois termos de um lado da equação, enquanto o fator de escala 4 é −12 ÷ −3, e dividir um negativo por outro dá positivo. É este o caso a olhar se a página algum dia parecer devolver um sinal ao acaso — o sinal pertence ao produto ou ao quociente impresso, não à proporção como um todo.

Apenas uma casa fica em branco. Preencha as quatro e a página recusa, mesmo que os quatro números formem uma proporção correta como 3 : 4 = 12 : 16 — sem casa em branco não há termo a resolver, e imprimir um deles como resposta seria a página escolhendo por você. Isso também dá o jeito de conferir uma proporção que você acredita valer: deixe um termo em branco e veja se o valor resolvido é o número que você tinha em mente. Menos de três casas preenchidas também é recusado, já que não há o que resolver. O zero não pode aparecer em nenhuma das quatro casas, e os quatro casos se resumem a um motivo: em A × D = B × C um termo zero ou torna a equação sem solução ou a torna verdadeira para todo valor, então a página rejeita em vez de escolher uma resposta. Um zero como segundo ou quarto termo é o caso mais claro, já que uma razão escrita contra zero não é uma razão. Termos negativos são legais e a resposta pode ser negativa, então não leia um sinal de menos como erro. As quatro leituras são arredondadas em quatro casas decimais, o que importa quando um termo não divide exato: 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5 resolve para 2,5 com fator de escala 1,6667. Os resultados são impressos como decimais, nunca como frações — esta página não reduz nada, e uma proporção cujos termos são decimais pode não ter fração exata a reduzir. Nenhum dos quatro termos carrega unidade, porque uma proporção compara quantidades da mesma espécie e pendurar uma dimensão deixaria de fora todas as outras; se a razão for uma taxa com unidades dos dois lados, a página de taxa unitária é a que cuida disso. A página resolve uma proporção por vez e não oferece proporções compostas nem encadeadas.

Como resolver uma regra de três simples?

Multiplique em cruz e depois divida. Para 3 : 4 = 12 : ? a fórmula dá 3 × D = 4 × 12, então 3 × D = 48 e D = 16. Em palavras: multiplique o par que você preencheu e divida pelo parceiro na diagonal do termo que está resolvendo. O mesmo método único cobre as quatro posições.

Dá para resolver o primeiro termo em vez do último?

Dá, e qualquer um dos quatro. Deixe em branco a casa que você quer resolver e preencha as outras três — não existe modo separado nem menu perguntando qual termo você quer. Para ? : 4 = 12 : 16 a resposta é 3, e o painel fica igual ao caso em que a casa vazia é a última.

O que acontece se eu preencher os quatro termos?

A página recusa, mesmo quando os quatro números formam uma proporção correta. Sem casa em branco não há termo a resolver, e imprimir um deles seria a página escolhendo por você. Se você quer conferir uma proporção que acredita valer, deixe um termo em branco e veja se o valor resolvido bate com o número que você tinha em mente.

Os termos podem ser negativos ou zero?

Termos negativos não têm problema: −3 : 4 = −12 : 16 é uma proporção verdadeira. O zero é recusado em qualquer uma das quatro casas. Em A × D = B × C um termo zero ou torna a equação sem solução ou a torna verdadeira para todo valor, e uma razão como 3 : 0 não é uma razão. O termo resolvido em si nunca é zero.

O que a linha do produto mostra?

O produto do par que você preencheu — 48 para 3 : 4 = 12 : ?, de 4 × 12. Multiplicar em cruz uma proporção diz que os dois produtos são iguais, então este é o número que fica nos dois lados do sinal de igual e o que vale conferir à mão. Qual par é impresso depende de qual casa ficou vazia, então é sempre um par que você consegue multiplicar a partir do que digitou.

O que o fator de escala significa?

Quantas vezes a segunda razão escala a primeira: 4 para 3 : 4 = 12 : 16, já que 12 é 3 × 4 e 16 é 4 × 4. Ele não é o valor da razão em si — as duas razões são iguais por definição, que é o que uma proporção diz. É a conferência de uma olhada mais rápida de que a resposta tem o tamanho certo.

• Proportional — the relation between two quantities whose ratio is constant, which is what a proportion states and what this page solves for its missing term — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — an equation in which each term is a constant or a constant multiple of a single variable, which is the form cross-multiplication reduces a proportion to before the missing term is divided out — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the quotient of two numbers, which is what each side of a proportion is and what the scale factor line measures the change in — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — used on this page's neighbour, the ratio reducer; listed here because reducing a ratio and solving a proportion are the two operations most often confused with each other — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the divisor behind reducing a ratio to its simplest form, which this page does not do because it returns decimals rather than a reduced ratio — Wolfram MathWorld (United States)