Calculadora de proporção áurea

Parte maior ÷ parte menor = phi Linha inteira ÷ parte maior = phi Parte menor = parte maior ÷ phi Parte maior = parte menor × phi Linha inteira = parte maior + parte menor

Qual parte você conhece

Uma escolha entre três: a parte maior, a parte menor ou a linha inteira. É ela que decide qual campo é a sua entrada e quais das duas leituras saem dele. A linha inteira é o padrão, porque um comprimento que você consegue medir direto costuma ser a porta de entrada do problema.

O comprimento que você conhece

Quanto mede essa parte: 100, ou 1.920, ou 0,5. Precisa ser maior que zero, porque o zero não tem divisão áurea — as duas partes seriam zero — e um comprimento negativo não é um comprimento. Não precisa ser inteiro, e não tem unidade: pixels, milímetros e polegadas funcionam do mesmo jeito.

Parte maior

O pedaço maior da divisão, e a leitura principal. Conhecendo a linha inteira, é a linha dividida por phi; conhecendo a parte menor, é essa parte multiplicada por phi; conhecendo ela mesma, é o número que você digitou.

Parte menor

O pedaço menor. Conhecendo a linha inteira, é o que sobra quando a parte maior é retirada; conhecendo a parte maior, é essa parte dividida por phi; conhecendo ela mesma, é o número que você digitou.

Linha inteira

Os dois pedaços somados, que é o comprimento de onde você partiu sempre que foi esse o campo preenchido. É a leitura que amarra as outras duas: parte maior mais parte menor sempre devolve a linha, e essa soma é a conferência de que as três linhas concordam.

Arredondamento

As três leituras saem com quatro casas decimais, porque o próprio phi nunca termina. As três vêm de um mesmo par de números, então quando o comprimento informado está na grade de quatro casas as três linhas impressas ainda somam exato: 61,8034 + 38,1966 dá 100.

O primeiro uso é um layout: uma página, uma tela, uma fotografia ou um quadro que deve ser dividido na seção áurea, em que a largura total é conhecida e as duas partes são o que se quer. O segundo é o sentido inverso, igualmente comum — você já desenhou a parte maior e agora precisa da menor, ou tem uma parte menor fixada e a maior tem de ser deduzida dela. O terceiro é conferir uma divisão feita por outra pessoa: informe a parte maior e veja se a linha inteira que ela implica é a que está no desenho. O quarto é uma proporção entre escalas, em que a mesma razão é aplicada a uma versão grande e a uma pequena do mesmo projeto; como a razão não tem unidade, nada precisa ser convertido entre as duas. O quinto é o caso com que as pessoas chegam depois de encontrar a expressão e não o número: ver uma linha de 100 virar 61,8 e 38,2 é o que torna a definição concreta, e a tabela abaixo repete isso para algumas larguras conhecidas, para que o efeito de escalar seja lido em uma coluna só.

1. Uma linha inteira de 100

   1. Parte maior: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Parte menor: 100 − 61,8034 = 38,1966
   3. Confira: 61,8034 + 38,1966 = 100, o comprimento de onde você partiu
   4. E a razão: 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618

   O caso padrão e o mais claro: entra um 100 redondo, saem dois números incômodos, e os dois somam de volta exatamente 100. Essa última parte não é sorte — a parte menor é obtida por subtração e não por uma segunda divisão, então as duas linhas impressas não têm como discordar da linha que você informou. O quarto passo é a definição rodada ao contrário, e é o passo que vale fazer uma vez: dividir a parte maior pela menor tem de devolver phi.

2. Parte maior conhecida de 100

   1. Parte menor: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Linha inteira: 100 + 61,8034 = 161,8034
   3. Ou seja, uma parte maior de 100 pertence a uma linha de 161,8034

   É o sentido de que as pessoas realmente precisam quando o projeto já tem a aresta maior: a parte maior está fixada e o resto da linha tem de acompanhá-la. Repare que aqui a leitura principal é simplesmente o número digitado — o painel mantém a parte maior na primeira linha em qualquer dos ramos, então a resposta está sempre no mesmo lugar. E repare que a segunda linha traz os mesmos 61,8034 do caso anterior, que é justamente o ponto: uma parte maior de 100 implica a mesma parte menor, tenha ela vindo de uma linha de 161,8 ou de uma linha de 100 dividida de outro jeito.

3. Parte menor conhecida de 100

   1. Parte maior: 100 × 1,6180339887 = 161,8034
   2. Linha inteira: 100 + 161,8034 = 261,8034
   3. Ou seja, uma parte menor de 100 pertence a uma linha de 261,8034

   O terceiro ramo, e o que fixa a multiplicação: ir da parte menor para a maior multiplica por phi, enquanto ir da maior para a menor divide por ele. Os dois sentidos aparecem nos casos acima, e compará-los é o jeito mais rápido de lembrar para que lado a constante vai. Uma parte menor de 100 exige uma linha com mais de duas vezes e meia o seu comprimento, o que é o aviso prático: a parte menor de uma seção áurea é sempre a fatia menor de uma linha mais longa do que parece.

4. Uma largura de 1.920 pixels

   1. Parte maior: 1.920 ÷ 1,6180339887 = 1.186,6253
   2. Parte menor: 1.920 − 1.186,6253 = 733,3747
   3. Confira: 1.186,6253 + 733,3747 = 1.920

   Uma largura de tela, que é onde esta conta é feita na prática com mais frequência: uma tela ou uma coluna de conteúdo dividida na seção áurea. As duas partes caem em quatro casas decimais, e em pixels isso significa uma fração de pixel — arredonde as duas para pixels inteiros e a divisão continua áurea muito além do que o olho percebe. É também o caso que mostra por que as leituras saem com quatro casas e não com duas: nesse tamanho, duas casas deixariam as duas partes em números quase inteiros e esconderiam o fato de que nenhuma delas é exata.

5. Uma linha inteira de 2

   1. Parte maior: 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
   2. Parte menor: 2 − 1,2361 = 0,7639
   3. Confira: 1,2361 + 0,7639 = 2

   O menor comprimento inteiro que ainda mostra uma divisão com algarismos dos dois lados da vírgula, e o caso que deixa visível a estranheza da razão: a parte maior de uma linha de 2 é mais da metade dela, como sempre, e a parte menor fica pouco abaixo de quatro décimos. Multiplicar essa linha por dez dá os 20 que a tabela abaixo contém, e as duas partes são multiplicadas por dez junto — não há unidade nem escala na razão, só uma proporção entre dois pedaços daquilo que você mediu.

O comprimento informado tem de ser maior que zero. O zero é recusado porque a seção áurea dele seriam dois zeros, o que não diz nada, e um comprimento negativo é recusado porque é um comprimento que não existe, não um comprimento pequeno. Só um comprimento é considerado por vez, e a página nunca confere uma divisão feita em outro lugar: se você já tem dois pedaços cortados, informar um deles devolve a seção a que esse pedaço pertence em vez de confirmar o par que você tem. As três leituras saem com quatro casas decimais, então os números nunca são os exatos — phi não tem forma decimal exata nenhuma, e a página arredonda em todas as linhas; quando a linha inteira e a parte maior estão as duas na grade, as linhas impressas ainda somam exato, mas um comprimento com cinco casas ou mais pode deixar o último algarismo uma unidade fora, e isso é impressão, não aritmética. Os comprimentos não têm unidade de propósito, o que significa que a página não consegue dizer se os dois pedaços estão em milímetros ou em milhas, e significa também que ela não vai avisar que uma divisão em pixels precisará ser arredondada para pixels inteiros antes de ser construída. A página aplica a razão e nada mais: ela não diz se a seção áurea é a proporção certa para o trabalho, e não produz a espiral logarítmica com que os retângulos áureos sucessivos costumam ser desenhados.

O que é exatamente a proporção áurea?

Um mais a raiz quadrada de cinco, dividido por dois, que dá 1,6180339887498948482 e segue para sempre sem repetir. É a única razão que sobrevive a ser cortada: tome um retângulo com esses lados, retire o maior quadrado possível e o retângulo que sobra tem de novo a mesma razão. Euclides a descreveu como dividir uma linha em média e extrema razão, que é a operação que esta página executa.

Como divido um comprimento na proporção áurea?

Divida a linha inteira por 1,6180339887 para obter a parte maior e subtraia esse valor da linha para obter a parte menor. Uma linha de 100 vira 61,8034 e 38,1966. A subtração em vez de uma segunda divisão é deliberada: ela garante que os dois pedaços somem de volta o comprimento que você informou.

Já conheço uma das partes, não a linha inteira. Posso usá-la?

Pode — escolha qual parte você conhece no primeiro campo e informe o comprimento dela. Conhecendo a parte maior, a menor é essa dividida por phi e a linha inteira é a soma das duas. Conhecendo a parte menor, a maior é essa multiplicada por phi. Os três ramos são a mesma aritmética rearranjada, e o painel imprime sempre as mesmas três linhas.

Por que os números saem com quatro casas decimais?

Porque phi nunca termina, então nenhuma leitura desta página pode ser exata — as quatro casas são onde o arredondamento para, no mesmo lugar nas três linhas. Quando o comprimento informado tem no máximo quatro casas decimais, as três linhas impressas ainda somam exato, porque a parte menor é obtida por subtração. Um comprimento com cinco casas ou mais pode deixar o último algarismo uma unidade fora.

A unidade que eu uso faz diferença?

Não, e é por isso que nenhuma unidade aparece na página. A proporção áurea é uma relação entre dois comprimentos, não um comprimento, então pixels, milímetros, polegadas e frações simples se comportam igual, e escalar o comprimento informado escala as três leituras pelo mesmo fator. A consequência é que a página não consegue dizer se a sua resposta precisa ser arredondada para pixels inteiros antes de poder ser construída.

1,618 já basta?

Para cortar um pedaço de papelão, sim; para a definição, não. A proporção áurea não é 1,618 — é um mais a raiz quadrada de cinco sobre dois, que apenas começa com esses algarismos. Usar 1,618 em todas as contas desloca a parte maior de uma linha de 100 em cerca de um milésimo, o que é invisível na maior parte dos trabalhos, mas não é a seção áurea. Esta página usa toda a precisão de que dispõe e arredonda apenas o que imprime.

Isto não é a mesma coisa que uma calculadora de razões ou de proporções?

Não, e a diferença está no que você precisa fornecer. Uma calculadora de razões recebe dois números que você dá e os simplifica, e uma calculadora de proporções resolve o termo que falta em uma igualdade que você escreveu. A razão desta página não é sua para escolher: ela é fixada em phi, e o que você informa é um comprimento. Três páginas, três perguntas diferentes.

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)