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CalcMax

Calculadora de multiplicar frações

Intervalo: -94.906.265 – 94.906.265

Intervalo: 1 – 100.000

Intervalo: -94.906.265 – 94.906.265

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

1/2

Produto (forma irredutível)

Antes de simplificar
6/12
Primeira fração, simplificada em cruz
1
Segunda fração, simplificada em cruz
1/2

Uma calculadora de multiplicar frações pega duas frações e dá o produto delas — e em seguida mostra o atalho que torna a multiplicação fácil. 2/3 vezes 3/4 é 1/2, e a razão de valer a pena mostrar isso é que a multiplicação crua dá 6/12: correto, e muito longe da resposta. O cancelamento cruzado chega lá antes. Antes de multiplicar, ele olha cada numerador contra o denominador diagonalmente oposto e divide os dois pelo que eles tiverem em comum; aqui o 2 de cima cancela contra o 4 de baixo da outra fração, e o 3 cancela contra o outro 3. O que sobra é 1/1 vezes 1/2, que é a resposta sem nenhum passo de redução no fim. As duas leituras estão no painel. Os quatro números que esta página imprime são a resposta na forma irredutível, o mesmo produto antes de qualquer cancelamento, e os dois fatores como eles ficam depois de o cancelamento ser feito — os dois últimos são o que torna o atalho conferível em vez de um truque para decorar. Multiplicar frações é a única operação que não precisa de denominador comum, e vale notar por quê: somar quartos e terços significa achar os doze avos primeiro, enquanto multiplicá-los multiplica os dois denominadores entre si e esse passo simplesmente não existe. A coisa que mais confunde é quais pares cancelam, e a resposta é os diagonais — numerador contra o denominador oposto —, nunca os dois numeradores entre si, porque esses são multiplicados e não cancelados. Vale dizer também o que a página não faz, porque há três vizinhas que fazem coisas parecidas: ela não soma nem subtrai nem divide, e não aceita um número misto escrito como inteiro ao lado de uma fração — esse tem de virar fração imprópria antes de entrar aqui. As quatro leituras saem como texto puro, sem separador de milhar, então um produto grande aparece como 9007199136250225 e não como 9.007.199.136.250.225; isso é uma vantagem para copiar o resultado e um lembrete de que o painel não está formatando nada para leitura.

Oito produtos de frações, com os cancelamentos

Primeira fraçãoSegunda fraçãoPrimeira canceladaSegunda canceladaProduto
2/33/411/21/2
3/48/912/32/3
5/63/101/21/21/4
7/84/57/21/57/10
-2/33/4-11/2-1/2
-7/93/7-1/31-1/3
1/22111
99/100100/99111

Cada linha são os mesmos dois passos — cancelar as diagonais e multiplicar direto — sobre um par diferente, e as cinco colunas são as duas entradas, os dois fatores depois do cancelamento e a resposta na forma irredutível. Multiplicar as duas colunas canceladas entre si dá sempre o produto da última coluna, que é a conferência de que o cancelamento foi feito contra os parceiros certos: se os dois fatores cancelados não derem o produto, um numerador foi casado com o denominador errado. As três primeiras linhas são pares em que as duas diagonais cancelam e os fatores voltam simples; a terceira delas, 5/6 vezes 3/10, cancela nos dois sentidos e chega a 1/4. A quarta linha é o outro formato, em que uma diagonal é de primos entre si e passa intacta — 7 contra 5 —, então o primeiro fator cancelado conserva um denominador 2 enquanto o outro cancela por completo. A quinta linha é negativa, e o sinal de menos sobrevive ao cancelamento no numerador. A sexta linha tem as duas frações se cancelando por completo, 3 contra 9 e 7 contra 7, então o segundo fator volta como um 1 sozinho. A sétima linha multiplica um meio por um número inteiro escrito como 2/1, que não precisa de caso especial. A oitava linha é uma fração vezes o próprio inverso: tudo cancela, os dois fatores voltam como 1 e a resposta é 1 — a linha em que o atalho economizou mais trabalho, já que multiplicar direto teria escrito 9900/9900. Leia as duas primeiras colunas na horizontal e as respostas na vertical: os mesmos quatro números rearranjados dão produtos diferentes, e é por isso que vale conferir contra a linha sem cancelar quando eles forem digitados nos campos errados.

Fórmula

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Cancelamento cruzado: divida a e d pelo mdc(a, d), e c e b pelo mdc(c, b), antes de multiplicar Depois reduza o produto

Primeiro numerador
A parte de cima da primeira fração: 2 em 2/3. Ele cancela contra o denominador da outra fração, não contra o dele e nem contra o outro numerador. Pode ser negativo, e o sinal viaja com ele pelo cancelamento e até a resposta.
Primeiro denominador
A parte de baixo da primeira fração: 3 em 2/3. Tem de ser positivo — uma fração carrega o sinal no numerador, e é essa convenção que torna o cancelamento sem ambiguidade. Ele cancela contra o numerador da segunda fração.
Segundo numerador
A parte de cima da segunda fração: 3 em 3/4. Ele cancela contra o primeiro denominador, que no caso padrão é o mesmo 3, então os dois desaparecem juntos e as duas leituras canceladas saem mais simples.
Segundo denominador
A parte de baixo da segunda fração: 4 em 3/4. Ele cancela contra o primeiro numerador — o 2 contra o 4 no caso padrão — e tem de ser positivo pelo mesmo motivo que o primeiro denominador.
Cancelamento cruzado
Dividir o numerador de uma fração e o denominador da outra pelo máximo divisor comum deles antes de multiplicar. Os dois pares diagonais são cancelados, e a vantagem de fazer isso primeiro é que o produto já chega na forma irredutível, sem divisão longa no fim. Funciona porque dividir um fator e multiplicar pelo mesmo número se anulam.
Fatores cancelados
As duas frações como elas ficam depois de os pares diagonais serem cancelados: 1/1 e 1/2 no caso padrão. Elas se multiplicam e dão o valor da resposta, que é como o atalho é conferido — se as duas leituras não derem o produto, algo foi cancelado contra o parceiro errado. São impressas como estão, então um fator que cancela por completo aparece como um 1 sozinho.
Produto antes de reduzir
O que a multiplicação direta dá, sem nenhum cancelamento: 6/12 no caso padrão. É o mesmo número que a resposta e um par de inteiros bem maior, e é impresso para que a diferença entre os dois caminhos fique visível em vez de afirmada.

O primeiro uso é o exercício: multiplicar frações é ensinado antes de dividi-las, e é a operação em que o cancelamento diagonal é apresentado, e é por isso que o painel imprime os dois fatores cancelados em vez de só a resposta. O segundo é conferir um trabalho feito à mão — digite as duas frações, leia os fatores cancelados contra os seus, e se os seus forem diferentes o produto também vai ser. O terceiro é um produto que se reduz muito, como 99/100 vezes 100/99, em que multiplicar direto dá 9900/9900 e o cancelamento cruzado dá 1 sem nenhuma aritmética. O quarto é uma fração negativa, em que o sinal tem de sobreviver ao cancelamento: -2/3 vezes 3/4 é -1/2, e o sinal pertence ao numerador que o carrega. O quinto é uma fração multiplicada por um número inteiro, que é só a segunda fração escrita com denominador 1 — 1/2 vezes 2 é 1/2 vezes 2/1 —, e a página aceita isso sem nenhum caso especial. O sexto é uma receita que precisa ser dobrada ou reduzida pela metade: dobrar 2/3 de xícara é multiplicar por 2/1, e reduzir pela metade é multiplicar por 1/2, e nos dois casos o cancelamento diagonal mostra o resultado antes de você escrever qualquer coisa.

Exemplos resolvidos

  1. 2/3 × 3/4

    1. Cancelar as diagonais: 2 contra 4 dividem por 2, dando 1 e 2; 3 contra 3 dividem por 3, dando 1 e 1
    2. Os dois fatores agora são 1/1 e 1/2
    3. Multiplicar direto: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
    4. Sem cancelar teria sido (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12, que é o mesmo número

    O caso padrão, e o que mostra o que o cancelamento cruzado compra: os dois caminhos produzem 1/2 e 6/12, o mesmo valor, e só um deles já está na forma irredutível. Repare que o primeiro fator cancelado é impresso como um 1 sozinho em vez de 1/1 — todos os números dele se cancelaram, e um denominador de 1 se escreve sem ele. A conferência está nas duas últimas leituras: multiplique-as e você obtém a resposta, 1 × 1/2 = 1/2.

  2. 7/8 × 4/5

    1. Cancelar as diagonais: 7 contra 5 não têm nada em comum, então os dois ficam; 4 contra 8 dividem por 4, dando 1 e 2
    2. Os dois fatores agora são 7/2 e 1/5
    3. Multiplicar direto: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
    4. Sem cancelar: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, o mesmo número com inteiros maiores

    O caso em que só uma das duas diagonais cancela: 7 e 5 são primos entre si, então esse par passa intacto e o primeiro fator conserva um denominador 2, enquanto a outra diagonal cancela por completo e o segundo fator cai para 1/5. Metade do trabalho do cancelamento cruzado é reconhecer quando não há nada a fazer, e é por isso que uma leitura que volta sem mudança é informação e não um fracasso. A resposta 7/10 já está na forma irredutível, e a linha sem cancelar, 28/40, mostra o que o caminho longo teria entregue.

  3. 99/100 × 100/99

    1. Cancelar as diagonais: 99 contra 99 dividem por 99, dando 1 e 1; 100 contra 100 dividem por 100, dando 1 e 1
    2. Os dois fatores agora são 1/1
    3. Multiplicar direto: 1 × 1 = 1
    4. Sem cancelar: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9900/9900, que também é 1

    Uma fração multiplicada pelo próprio inverso, que é o caso que mostra quanto o atalho economiza: o caminho longo constrói a fração 9900/9900 e depois tem de reduzir de volta para 1, enquanto o cancelamento cruzado nunca escreve nenhum dos dois números. As duas leituras voltam como 1 sozinhos porque os dois fatores se cancelaram por completo, que é o formato de um inverso nesta notação. É também a ilustração mais clara de por que o cancelamento funciona — o 99 e o 100 estão cada um sendo multiplicado e dividido pela mesma quantidade.

  4. -2/3 × 3/4

    1. Cancelar as diagonais: -2 contra 4 dividem por 2, dando -1 e 2; 3 contra 3 dividem por 3, dando 1 e 1
    2. Os dois fatores agora são -1/1 e 1/2
    3. Multiplicar direto: (-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
    4. O sinal pertence ao numerador do começo ao fim

    Uma fração negativa, em que o sinal anda junto com o numerador pelo cancelamento: -2 e 4 dividem por 2, e o que sobra é -1 e 2, então o menos continua ali depois do cancelamento em vez de ser cancelado junto. Repare que o denominador fica positivo em todas as linhas — uma fração carrega o sinal em cima, que é exatamente a convenção que mantém isso sem ambiguidade. Um fator negativo dá um produto negativo; dois teriam dado um positivo.

  5. 1/2 × 2

    1. Escrever o inteiro como fração: 2 é 2/1
    2. Cancelar as diagonais: 1 contra 1 não têm nada em comum; 2 contra 2 dividem por 2, dando 1 e 1
    3. Multiplicar direto: 1 × 1 = 1
    4. Então a metade de dois é um

    Um número inteiro, que não precisa de nenhum caso especial: 2 é 2/1, então a página o trata como qualquer outra fração e o cancelamento diagonal acha o 2 contra o 2. Sem esse passo o produto seria 2/2 e ainda teria de ser reduzido, que é a diferença que o atalho faz num exemplo deste tamanho. A resposta sair como um 1 sozinho em vez de 1/1 é a mesma convenção do resto da página: um denominador de um não se escreve.

Limitações

Os dois denominadores têm de ser positivos, já que uma fração carrega o sinal no numerador — e essa convenção faz trabalho de verdade aqui, porque o cancelamento casa os números na diagonal e ficaria ambíguo se qualquer denominador pudesse ser negativo. Os numeradores podem ser negativos, e o sinal viaja até a resposta. Os quatro números têm tamanho limitado, e os dois limites são diferentes: os numeradores têm teto de 94.906.265 e os denominadores têm teto de 100.000. O limite dos numeradores é o maior valor para o qual os dois numeradores multiplicados entre si ainda caem num inteiro representável com exatidão; um produto além disso seria silenciosamente inexato, então a página recusa a entrada em vez de imprimir um número que parece certo. O limite dos denominadores é o mesmo teto das outras páginas de fração, e é bem mais apertado — um denominador de um milhão é recusado mesmo que o numerador seja 1. Zero é aceito no numerador: o produto é então zero e o fator que carregava o zero sai como 0/4 ou como um 0 sozinho, dependendo de quanto o outro par diagonal cancelou, porque a linha dos fatores não se arruma depois de impressa. Um denominador de zero não é aceito, já que a fração não existiria. A página multiplica duas frações e nada mais: não soma, não subtrai nem divide, e não aceita um número misto escrito como inteiro ao lado de uma fração, que tem de virar fração imprópria antes. Por fim, a resposta está na forma irredutível enquanto as leituras dos fatores não estão necessariamente: um fator cancelado ainda pode sair como algo do tipo 2/2 se os números dele por acaso tiverem um fator em comum, e isso é a leitura sendo honesta sobre o que o cancelamento fez e não a resposta estando errada. As quatro leituras são impressas como texto puro, sem separador de milhar, então o maior produto que a página aceita aparece como 9007199136250225 — copiável sem limpeza, e mais difícil de ler de relance.

Perguntas frequentes

Como se multiplicam duas frações?
Multiplique os numeradores entre si e os denominadores entre si. 2/3 vezes 3/4 é (2 × 3) sobre (3 × 4), que é 6/12, e 6/12 se reduz para 1/2. Não é preciso denominador comum, ao contrário da soma — isso é a única coisa na multiplicação de frações que a torna mais fácil que a soma delas.
O que é cancelamento cruzado?
Dividir um numerador e o denominador diagonalmente oposto a ele pelo máximo divisor comum deles antes de multiplicar. Em 2/3 vezes 3/4, o 2 cancela com o 4 e o 3 cancela com o outro 3, deixando 1/1 vezes 1/2 — que já é a resposta. Funciona porque dividir um fator e multiplicar pelo mesmo número se anulam.
Quais números cancelam — os de lado ou os de baixo?
Sempre na diagonal: cada numerador contra o denominador da outra fração. Os dois numeradores são multiplicados entre si, e não cancelados um contra o outro, e o mesmo vale para os dois denominadores. Cancelar o par errado dá uma resposta errada em vez de nenhuma resposta, e é por isso que os dois fatores cancelados são impressos no painel.
Sou obrigado a fazer o cancelamento cruzado?
Não, e a página mostra os dois caminhos: 6/12 e 1/2 são o mesmo número. O que o cancelamento cruzado compra é que o produto chega na forma irredutível, sem passo de redução no fim — em 99/100 vezes 100/99 o atalho dá 1 enquanto o caminho longo escreve 9900/9900 primeiro.
Posso multiplicar uma fração por um número inteiro?
Pode. Escreva o inteiro sobre 1 — 2 vira 2/1 — e depois é uma multiplicação comum. 1/2 vezes 2 é 1/2 vezes 2/1, os dois 2 se cancelam na diagonal, e a resposta é 1. Não existe regra especial para números inteiros.
E com frações negativas?
O sinal pertence ao numerador e viaja com ele. -2/3 vezes 3/4 é -1/2: o -2 cancela com o 4 e deixa -1 e 2, então o menos sobrevive ao cancelamento. Os denominadores ficam positivos o tempo todo, que é a convenção que torna o pareamento diagonal sem ambiguidade.
Por que um dos fatores cancelados é impresso como um 1 sozinho?
Porque tudo nele se cancelou. Quando um numerador e o denominador oposto compartilham todos os fatores, o que sobra é 1 sobre 1, e um denominador de 1 se escreve sem ele — a mesma convenção do resto da página. Um 1 sozinho é um fator que foi cancelado até o fim, e não uma leitura que faltou.

Referências

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