Calculadora de frações equivalentes

Fração equivalente = (numerador × k) ÷ (denominador × k), para k = 2, 3, 4, … até um a mais que a quantidade Forma irredutível = numerador e denominador divididos pelo máximo divisor comum deles Valor decimal = numerador ÷ denominador

Fração

O numerador e o denominador que você digita. O denominador não pode ser zero, e é o numerador que carrega o sinal de menos quando a fração é negativa. Um numerador zero é aceito, e toda fração equivalente a ele também é zero.

Multiplicador k

O número inteiro pelo qual as duas partes são multiplicadas. Ele vai de 2 até um a mais que a quantidade pedida, então pedir cinco dá os multiplicadores 2, 3, 4, 5 e 6. Ele nunca assume o valor 1, porque esse é a própria fração digitada.

Fração equivalente

Uma das frações da sequência: numerador e denominador multiplicados pelo mesmo k. O valor não muda, só o tamanho das partes, e os itens da sequência são impressos como saem, sem redução, então 2/6 aparece como 2/6.

Forma irredutível

O mesmo valor escrito com o menor numerador e o menor denominador possíveis, obtido dividindo as duas partes pelo máximo divisor comum delas. Uma fração que já está na forma irredutível é a própria resposta, e uma fração cujas partes se dividem exatamente é impressa como número inteiro: 5/5 é 1.

Valor decimal

O numerador dividido pelo denominador, arredondado em seis casas decimais. É a terceira maneira de escrever o mesmo número e, ao contrário da sequência, não consegue mostrar que duas frações são iguais só de olhar: 1/3 e 2/6 dão as duas 0,333333.

O primeiro uso é a tarefa escolar sobre frações em si, onde o ponto é que um valor tem muitos nomes: digitar 2/6 e ver 4/12, 6/18 e 8/24 deixa claro que reduzir à forma irredutível muda a escrita e não o número. O segundo é a comparação, já que duas frações ficam fáceis de comparar quando compartilham o denominador: 2/3 contra 3/5 é difícil de julgar de relance, e as frações equivalentes 10/15 e 9/15 não são, que é a mesma conversão de que a soma de frações precisa. O terceiro é conferir uma redução feita por outra pessoa: se dizem que uma fração se simplifica para 3/4, então a sequência a partir de 3/4 deve conter a original, e se não contiver, as duas não são o mesmo número afinal. O quarto é quando a fração tem de ser informada num denominador específico — dezesseis avos de polegada, doze avos de hora — e você quer ver quanto vale aquilo nas unidades em que o trabalho é medido. Quando uma fração já está na forma irredutível, o painel a repete, e isso já é a resposta sobre ser possível simplificá-la ainda mais.

1. 1/3, cinco frações

   1. As duas partes de 1/3 multiplicadas por 2: 2/6
   2. Por 3: 3/9, e por 4: 4/12
   3. Por 5: 5/15, e por 6: 6/18 — cinco frações, já que a quantidade era cinco
   4. Forma irredutível: 1 e 3 não têm fator em comum, então a resposta é 1/3 outra vez
   5. Valor decimal: 1 ÷ 3 = 0,333333

   O caso padrão, e o que mostra por que o multiplicador começa em 2: multiplicar por 1 imprimiria a própria 1/3 como primeiro item, que não é outra fração. A forma irredutível igual à entrada diz que a fração já estava tão simples quanto dá para escrever, e o decimal se repete porque terços não têm forma decimal exata. O painel imprime 0,333333 com vírgula, porque o valor decimal é um número formatado; a lista de frações ao lado sai como texto puro, sem separador de milhar.

2. 2/6, três frações

   1. As duas partes de 2/6 multiplicadas por 2: 4/12
   2. Por 3: 6/18, e por 4: 8/24
   3. Forma irredutível: 2 divide as duas partes, então 2/6 é 1/3
   4. Valor decimal: 2 ÷ 6 = 0,333333, o mesmo que 1 ÷ 3

   Este é o caso que explica o segundo número do painel. 2/6 e 1/3 são o mesmo número, então têm a mesma forma irredutível e o mesmo valor decimal, e ainda assim as sequências diferem: aqui o primeiro item é 4/12, e a sequência de 1/3 começa em 2/6. A página monta a sequência a partir da fração como digitada, então a lista que você recebe depende de qual das duas escritas daquele valor você colocou.

3. 5/5, que é um número inteiro

   1. As duas partes de 5/5 multiplicadas por 2: 10/10
   2. Por 3: 15/15 — duas frações, já que a quantidade era duas
   3. Forma irredutível: 5 divide as duas partes, dando 1
   4. Valor decimal: 5 ÷ 5 = 1

   Uma fração cujo denominador divide o numerador é um número inteiro, e o painel escreve 1 em vez de 5/5 ou de 5/5 reduzido a 1/1. Mesmo assim a sequência ao lado mantém os denominadores, porque o ponto da sequência é a notação: 10/10 e 15/15 são como aquele mesmo valor fica com partes menores.

4. 6/4, uma fração maior que um

   1. As duas partes de 6/4 multiplicadas por 2: 12/8
   2. Por 3: 18/12, por 4: 24/16 e por 5: 30/20 — quatro frações
   3. Forma irredutível: 2 divide as duas partes, então 6/4 é 3/2
   4. Valor decimal: 6 ÷ 4 = 1,5

   O valor é maior que um, e é respondido como 3/2 em vez de número misto, para que todo número do painel fique escrito da mesma forma. As frações equivalentes também são todas impróprias, o que decorre de multiplicar as duas partes de 3/2 pelo mesmo número: nenhuma multiplicação transforma uma fração maior que um numa fração própria.

As duas entradas têm de ser números inteiros, então 0,75 não é um valor com que esta página trabalhe: ao tentar, o painel exibe uma linha de erro no lugar do resultado, e não destaca a caixa de entrada, porque a recusa vem do próprio cálculo. Converta antes para 3/4, e o motivo é que toda a conta é aritmética inteira exata, que deixa de ser exata assim que entra um decimal. O denominador tem um teto e não pode ser zero, e o numerador também tem um teto, porque cada item da sequência é um produto. A quantidade é limitada, o que importa menos do que parece: as frações crescem rápido, e 20 itens de uma fração como 7/21 já chegam aos milhares. A sequência é montada a partir da fração como digitada, e não da forma irredutível dela, então um valor escrito de duas maneiras dá duas sequências diferentes — isso é uma escolha, não um deslize, mas significa que a saída depende da notação da entrada. Nada na sequência é reduzido, então um item como 6/18 fica ao lado de 1/3 no mesmo painel; se você quer o menor denominador, é o segundo número do painel que deve ser lido. O resultado é escrito como fração e nunca como número misto, e uma fração negativa mantém o sinal de menos no numerador. Esta página lista frações iguais a uma fração e não simplifica uma fração por conta própria: uma página para isso mostra o divisor e a conta, enquanto esta só imprime a resposta. Duas coisas que ela não faz de jeito nenhum são aritmética entre frações e conversão a partir de um decimal, que são páginas separadas.

Como acho frações equivalentes a uma fração que eu tenho?

Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número inteiro. Partindo de 1/3 e multiplicando as duas partes por 2, 3 e 4 você chega a 2/6, 3/9 e 4/12, e todas elas são iguais a 1/3. É a fórmula inteira, e ela funciona no sentido inverso também: dividir as duas partes por um fator comum dá outra fração igual ao mesmo valor.

Por que a lista começa em 2/6 e não em 1/3?

Porque multiplicar por 1 daria a própria fração que você digitou, que não é outra fração para comparar. A sequência são os múltiplos 2, 3, 4 e assim por diante, e a quantidade que você escolhe é quantos deles são listados.

Por que as frações listadas não estão reduzidas?

Reduzi-las imprimiria o mesmo número várias vezes, que é o oposto do ponto. 2/6, 3/9 e 4/12 são todas 1/3, e ver essas escritas diferentes é o que deixa claro que o valor não mudou. A forma irredutível do valor que você digitou aparece separada no painel.

O que é a forma irredutível?

É o mesmo valor escrito com o menor numerador e o menor denominador possíveis, obtido dividindo as duas partes pelo máximo divisor comum delas. Se as duas partes não têm fatores em comum, a fração já está na forma irredutível e o painel simplesmente a repete, como faz com 1/3.

O valor decimal é o mesmo para todas elas?

É, e é exatamente isso que igualdade quer dizer aqui: 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 dão todas 0,333333. O decimal é o jeito mais rápido de conferir se uma sequência é mesmo equivalente, mas é também a leitura que esconde a diferença, já que mostra um número onde as frações mostram quatro.

Posso usar uma fração maior que um, ou negativa?

As duas funcionam, e as duas mantêm o caráter na sequência. Uma fração como 6/4 tem 3/2 como forma irredutível, e 12/8, 18/12 e as demais também são maiores que um. Uma fração negativa é escrita com o sinal de menos no numerador, então -1/2 lista -2/4 e -3/6.

Posso colocar um decimal no lugar de uma fração?

Não. As duas partes têm de ser números inteiros, então 0,75 é recusado, com uma linha de erro no lugar do resultado; converta antes para 3/4. A multiplicação que monta a sequência é feita em aritmética inteira exata, e um decimal quebraria essa exatidão assim que o valor não pudesse ser escrito como fração sobre uma potência de dez.

• Fraction — two fractions are equal when one is obtained from the other by multiplying numerator and denominator by the same number, which is the operation this page performs and repeats — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction whose numerator and denominator have no common factor, which is the second figure on the panel and the form the run deliberately does not take — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both parts, which is what the lowest terms are obtained by dividing out — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part two fractions have to agree on before they can be rewritten over one another — Wolfram MathWorld (United States)