Calculadora de módulo da aceleração

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

A componente x da aceleração, em metros por segundo ao quadrado, com ft/s² e gravidades padrão no mesmo campo. O sinal é uma direção e não um tamanho, então um valor negativo é uma entrada perfeitamente comum e significa que a aceleração aponta para o outro lado ao longo daquele eixo. Deixe vazio apenas na linha z; x e y são o que a página precisa

a_y

A componente y, nas mesmas unidades e sob a mesma regra sobre sinais. Ela entra na fórmula ao quadrado, exatamente como as outras duas, então nada sobre a ordem dos eixos importa — girar a figura inteira em torno do eixo z muda as três componentes mas não consegue mudar o módulo. É essa propriedade que faz disto um módulo de vetor e não uma combinação arbitrária

a_z

A componente z, e ela é opcional: deixe vazia e a página trata o problema como bidimensional, o que é o mesmo que digitar 0. Ela existe porque acelerações reais nem sempre são planas — um carro numa curva com inclinação, uma bola saindo da mão, qualquer coisa medida por um acelerômetro de três eixos tem as três. O padrão 0 mantém a primeira tela um problema de plano

|a|

O módulo, em m/s² e em gravidades padrão. É o comprimento do vetor aceleração e nunca pode ser negativo, porque a elevação ao quadrado remove todo sinal antes de qualquer soma. A segunda linha é o mesmo número dividido por 9,80665, que é a gravidade padrão — é uma segunda forma de escrever um resultado e não um segundo resultado, e ela existe porque 30 m/s² diz menos para a maioria dos leitores do que 3 g

Recorra a esta página quando você tiver uma aceleração decomposta em componentes e quiser o tamanho dela: a saída de três eixos de um acelerômetro, um carro fazendo uma curva inclinada em que a aceleração tem uma parte lateral e uma vertical, um projétil num instante em que ele não está nem no alto nem embaixo, ou uma lista de componentes vinda de uma simulação que precisa ser conferida contra uma única medida. É também a página a procurar quando a pergunta for se uma aceleração é grande — a segunda linha a transforma em g, e g é a unidade que torna 30 m/s² comparável com o 1 g de ficar parado. Duas coisas a ter em mente. Primeiro, as componentes precisam ser perpendiculares entre si e estar na mesma unidade; isto é um módulo de vetor e não uma maneira de combinar três acelerações que por acaso foram listadas juntas. Segundo, a página não diz para onde a aceleração aponta, e se você precisar disso, duas componentes bastam para um plano e o ângulo é o arco-tangente delas — mas uma direção tridimensional exige dois ângulos, e não existe um número único a imprimir. A página que faz a mesma coisa com um vetor velocidade é outra, já que a operação é idêntica e só a grandeza muda.

1. Os padrões: 3, 4 e 0 — um triângulo 3-4-5

   1. Quadrados: 3² = 9, 4² = 16, 0² = 0
   2. Some tudo: 9 + 16 + 0 = 25
   3. Raiz quadrada: √25 = 5
   4. Então o módulo é exatamente 5 m/s², e z não contribui com nada porque é zero
   5. Em gravidades padrão: 5 ÷ 9,80665 = 0,510, mostrado como 0,51 g

   Cada passo aqui é um que você consegue fazer de cabeça, e é por isso que os padrões são esses números: 9 mais 16 dá 25 e a raiz de 25 é 5, sem calculadora e sem arredondamento. Repare no que não aconteceu — as três componentes não foram somadas para dar 7. Esse é o erro mais comum nesta página, e vale ver por que ele é um erro e não uma convenção diferente: uma componente que aponta ao longo de y não acrescenta nada ao comprimento na direção x, então as duas têm de ser combinadas em ângulo reto, que é o que a elevação ao quadrado e a raiz fazem.

2. Um caso 3-D de verdade: 1, 2 e 2

   1. Quadrados: 1² = 1, 2² = 4, 2² = 4
   2. Some tudo: 1 + 4 + 4 = 9
   3. Raiz quadrada: √9 = 3
   4. Módulo 3 m/s², com as três componentes contribuindo
   5. Em gravidades padrão: 3 ÷ 9,80665 = 0,306 g

   A componente z é o que faz esta linha diferente da primeira, e é a linha que pega uma implementação que a ignore em silêncio: deixar z de fora daria √5 = 2,236, que é 25 por cento a menos e parece perfeitamente plausível numa tela. É também o menor dos ternos inteiros que precisam dos três eixos: 1-2-2 dá 9 e tira raiz 3, e a mesma família segue com 2-3-6 dando 7 e 3-4-12 dando 13. A família não é uma lista curta, porém — 1-4-8 dá 9 e 6-10-15 dá 19, os dois dentro da mesma faixa — então o que vale levar é a forma e não os membros: multiplicar qualquer um deles por um número inteiro dá outro, já que 1-2-2 dobrado é 2-4-4 e o módulo dobra junto. Um hábito útil é conferir qualquer resposta contra a maior componente: o módulo nunca pode ser menor que a maior das três, e aqui 3 contra uma maior componente de 2 fica confortável.

3. Sinais misturados: 3, −4 e 12

   1. Quadrados: 3² = 9, (−4)² = 16, 12² = 144 — o sinal de menos desaparece aqui
   2. Some tudo: 9 + 16 = 25, depois 25 + 144 = 169
   3. Raiz quadrada: √169 = 13
   4. Módulo 13 m/s², o mesmo que daria para 3, 4 e 12
   5. Em gravidades padrão: 13 ÷ 9,80665 = 1,326 g

   A componente negativa é o ponto desta linha, e a ordem em que as somas foram feitas também: 9 mais 16 dá 25, e 25 mais 144 dá 169, que é 13 ao quadrado. Fazer em dois passos em vez de um é exatamente o que a fórmula quer dizer — combine as duas primeiras componentes pelo teorema de Pitágoras e depois combine esse resultado com a terceira em ângulo reto com as duas. O sinal desaparecer não é um caso especial tratado em algum lugar do código; a elevação ao quadrado o remove automaticamente, e é por isso que esta página aceita entradas negativas e por que ela nunca pode devolver uma resposta negativa.

O módulo é só parte do vetor, e perder a direção perde informação real: um objeto acelerando a 1 g para cima e um acelerando a 1 g de lado têm o mesmo número aqui e comportamentos completamente diferentes, e um carro fazendo curva a 1 g é uma situação diferente de um carro freando a 1 g. Nada nesta página diz qual dos dois. A fórmula também exige que as três componentes sejam perpendiculares e medidas na mesma unidade e no mesmo instante — componentes vindas de dois sistemas de coordenadas diferentes, ou amostradas em dois instantes diferentes, vão se combinar num número que parece certo e não quer dizer nada. A página também não é específica de aceleração: ela combina três componentes de velocidade alegremente, e essa resposta também estaria correta, o que vale saber porque significa que a aritmética não é uma conferência de você ter posto a grandeza certa. A linha em g é uma conversão e não um limiar, então ela não carrega julgamento nenhum sobre se um valor é sobrevivível ou confortável; esses limites pertencem à situação e à duração, e não ao número. E o campo z ser opcional faz com que um problema bidimensional e um tridimensional genuinamente plano sejam indistinguíveis na tela, o que aqui é inofensivo mas vale lembrar se você estiver copiando entradas para um relatório.

Qual é a fórmula do módulo da aceleração?

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²): eleve cada componente ao quadrado, some os quadrados e tire a raiz. Para um caso 2-D com componentes 3 e 4 isso dá √(9 + 16) = √25 = 5 m/s². É o teorema de Pitágoras aplicado duas vezes, porque os três eixos são perpendiculares entre si — o módulo é o comprimento da diagonal da caixa que as componentes definem. O resultado nunca é negativo, já que a elevação ao quadrado remove o sinal de cada componente antes de a soma acontecer.

Por que eu não posso simplesmente somar as componentes?

Porque elas apontam em direções diferentes. Uma componente ao longo de y não contribui com nada para o quanto a aceleração alcança ao longo de x, e somá-las trata duas grandezas perpendiculares como se estivessem numa mesma reta. Com componentes 3 e 4 a soma dá 7 enquanto o módulo verdadeiro é 5, e o erro não é pequeno — aqui são 40 por cento e ele cresce conforme as componentes ficam mais desiguais. O único caso em que somar está certo é quando todas menos uma das componentes são zero, o que não é grande coisa: significa que a aceleração já está ao longo de um único eixo.

Por que a página não dá a direção da aceleração?

Porque uma direção em três dimensões exige dois ângulos e esta página só consegue imprimir um número. O ângulo que funciona num plano é o arco-tangente das componentes y e x, mas ele é medido como uma projeção e fica indefinido quando a aceleração aponta direto ao longo do eixo z — não há direção nenhuma no plano xy a informar, do mesmo modo que não há longitude no Polo Norte. O atalho óbvio de deixar esse caso devolver zero imprimiria uma direção de 0 grau, que se lê como ao longo do eixo x e estaria redondamente errada. A alternativa, recusar-se a responder, transformaria uma pergunta perfeitamente razoável sobre uma aceleração vertical numa mensagem de erro. Por isso a página informa apenas o tamanho; se você precisar de uma direção num problema plano, o arco-tangente das duas componentes é a conta a fazer.

As componentes podem ser negativas?

Podem, e nesta página elas normalmente são, porque uma componente negativa significa que a aceleração aponta para o outro lado ao longo daquele eixo e não que ela seja menor. A elevação ao quadrado remove o sinal, então 3, −4, 12 dá os mesmos 13 m/s² que 3, 4, 12 — o módulo de um vetor não se importa para onde ele aponta. É também por isso que a resposta nunca é negativa, e por que um resultado exatamente 0 é uma resposta de verdade e não um erro: significa que o objeto não está acelerando, o que é uma descrição completa de um movimento uniforme.

Preciso preencher a componente z?

Não. Deixá-la vazia é tratado como zero e o problema vira bidimensional, o que é o certo para qualquer coisa que aconteça num plano — um carro numa estrada plana, um disco sobre uma mesa, um projétil na idealização de sempre. Preencha quando a aceleração tiver mesmo uma terceira componente: um carro numa curva inclinada, uma bola lançada em ângulo, ou a saída crua de um acelerômetro de três eixos, que sempre tem três números, importe ou não o terceiro. O padrão é 0, então a página abre como um problema de plano e você acrescenta o terceiro eixo quando precisar.

Para que serve a linha em g?

É o mesmo módulo dividido por 9,80665 m/s², o valor definido da gravidade padrão, para que uma aceleração possa ser declarada como um múltiplo de g. A linha existe porque g é a unidade que as pessoas de fato sentem: 30 m/s² diz pouco sozinho, enquanto 3 g é imediatamente reconhecível como uma montanha-russa, e 0,1 g se lê como um elevador começando a andar. É também a linha que vira força: uma aceleração de n g significa que o que estiver te segurando tem de empurrar com n vezes o seu peso, e é por isso que 10 g é um limite para uma pessoa e não uma curiosidade. Ainda assim, esta é uma segunda forma de escrever um resultado e não um segundo resultado, e ela não carrega julgamento sobre se um valor é grande — 0,1 g e 30 g são ambos comuns no contexto deles, e o que torna uma aceleração tolerável é tanto quanto tempo ela dura quanto o tamanho dela.

• Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (College Physics 2e, §3.3) — resolving a vector into perpendicular components and recombining them with the Pythagorean theorem — OpenStax
• Euclidean vector — magnitude as the norm of a vector, the sign of a component as direction rather than size, and why a direction in three dimensions needs two angles — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — the ACCELERATION section, and standard gravity as the defined 9.806 65 m/s² — National Institute of Standards and Technology