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Calculadora de MMC

Resultado

180

Mínimo múltiplo comum

Primeiros quatro múltiplos comuns
180, 360, 540, 720

Um mínimo múltiplo comum é o menor número inteiro que todos os números de uma lista dividem exatamente. Para 12, 18 e 30 ele é 180: 180 são quinze dozes, dez dezoitos e seis trintas, e nada menor serve para os três. A página imprime também os primeiros quatro múltiplos comuns, porque o menor deles sozinho é difícil de conferir — 180 poderia ser múltiplo de cada número e ainda assim não ser o menor, e ver 180, 360, 540, 720 em ordem é o que mostra que nada abaixo de 180 foi pulado. Três caminhos chegam lá. Listar os múltiplos de cada número e pegar o primeiro que eles compartilham é o que a tabela abaixo faz; é o mais claro de acompanhar e o mais lento de executar. A fatoração em primos é mais rápida: escreva cada número como produto de primos e fique com todo primo que apareça em qualquer um deles, na sua maior potência — 12 é 2² × 3, 18 é 2 × 3², 30 é 2 × 3 × 5, então os primos necessários são 2², 3² e 5, e 4 × 9 × 5 é 180. Repare na diferença em relação ao máximo divisor comum, que fica com a menor potência dos primos compartilhados; aqui fica-se com a maior potência de todo primo que apareça. O terceiro caminho é fatorar primeiro o máximo divisor comum e multiplicar: para dois números, o MMC vezes o MDC é igual ao produto deles, então 4 × 6 é 24 e o MDC de 4 e 6 é 2, o que deixa 12. Esse atalho é exato para dois números e é uma fonte comum de erros com mais de dois, onde ele não vale — a página dobra os números dois a dois, e é por isso que ela acerta com dez deles. Números coprimos são o caso mais fácil: 7, 11 e 13 não compartilham primo nenhum, então nada se cancela e a resposta é o produto deles, 1.001. O múltiplo é o que você precisa para somar ou comparar frações: 1/12 e 1/18 só podem ser somadas depois de as duas serem escritas sobre 36, que é o mínimo múltiplo comum delas, e esse mesmo número é o que a página de denominador comum calcula para um conjunto de frações.

Múltiplos de 4, 6 e 8 lado a lado — a resposta é o primeiro número que aparece nas três colunas

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Leia ao longo das linhas e a resposta é a primeira linha em que as três entradas da direita concordam: 4 × 6, 6 × 4 e 8 × 3 são todos 24, então o mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8 é 24. Ler assim é o método em si, e é por isso que a tabela é uma escada e não um resultado. Repare que as colunas não chegam à primeira concordância no mesmo número de linha — 24 é o sexto múltiplo de 4, o quarto de 6 e o terceiro de 8 —, então a tabela tem de ser construída até um número aparecer em todas as colunas, e não por um número fixo de linhas. Repare também que nenhuma linha anterior tem as três concordando: 12 aparece sob o 4 e o 6, e 16 aparece sob o 4 e o 8, e as duas são becos sem saída. É esse o ponto que vale levar, porque um múltiplo comum é fácil de produzir e o menor é a pergunta de verdade. A tabela é fixa em 4, 6 e 8 e não acompanha os números digitados, e ela para em oito linhas porque o 24 chega antes disso.

Fórmula

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ MMC(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, e os primeiros quatro múltiplos comuns são 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
Os números a trabalhar, de dois a dez, cada um um número inteiro de 1 a 1.000.000. Espaços, vírgulas e pontos e vírgulas todos separam, então 12 18 30 e 12, 18, 30 são a mesma entrada. O 0, os negativos e os decimais são recusados: um múltiplo é uma afirmação de contagem, e todo número da lista precisa ter o seu
2² × 3² × 5
Os primos necessários, cada um na sua maior potência ao longo da lista inteira: 2² vem do 12, 3² vem do 18 e 5 vem do 30. Tomar a maior potência em vez da menor é o que separa esta página da do máximo divisor comum, e é por isso que este número é sempre pelo menos tão grande quanto a maior entrada
180
A resposta, e o primeiro múltiplo comum. Ele é múltiplo de todo número da lista, e nenhum número menor é — que é todo o conteúdo da palavra mínimo
180, 360, 540, 720
Os primeiros quatro múltiplos comuns, impressos para tornar a resposta conferível: eles são 1, 2, 3 e 4 vezes a resposta, e o intervalo entre eles é a própria resposta. Se existisse um múltiplo comum menor, ele teria de cair abaixo de 180, e a lista mostra que a sequência começa ali
MMC(a, b, c) = MMC(MMC(a, b), c)
Como mais de dois números são tratados: dois a dois, dobrando a resposta corrente dentro do número seguinte. É a mesma dobra que a página do máximo divisor comum usa, e a razão de o atalho de multiplicar e dividir não ser usado aqui — aquele atalho só é exato para dois números
1.000.000.000.000
O teto da resposta, não o das entradas. Uma lista de dez números de seis algarismos pode chegar a uma resposta muito além do que uma máquina guarda exatamente, e uma resposta inexata aqui teria aparência inteiramente normal. Acima disso a página recusa em vez de imprimir algo quase certo

Somar ou comparar frações é onde o múltiplo ganha o seu lugar. 1/12 e 1/18 não podem ser somadas como estão; as duas são reescritas sobre 36, e 36 é o mínimo múltiplo comum delas — qualquer múltiplo comum serviria, mas o menor mantém os números pequenos, e é por isso que é ele que se ensina primeiro. O denominador de uma soma é exatamente esta quantidade, e a página de denominador comum daqui é a mesma conta aplicada a um conjunto de frações. Agendamento é a versão cotidiana fora da aritmética: dois eventos que se repetem a cada 12 e a cada 18 dias voltam a coincidir depois de 36 dias, três luzes piscando coincidem depois do múltiplo dos três intervalos, e a pergunta "quando eles se encontram de novo" é o múltiplo, sempre. Engrenagens funcionam do mesmo jeito, com o padrão de encaixe se repetindo depois de um número inteiro de voltas que as duas completam. Nos exercícios o múltiplo é pedido diretamente e a tabela abaixo é o desenvolvimento esperado: ela lista os múltiplos de cada número até aparecer um em todas as colunas. Dois números que não compartilham primo nenhum são o caso fácil — o múltiplo deles é simplesmente o produto —, e reconhecer isso poupa toda a aritmética.

Exemplos resolvidos

  1. O mínimo múltiplo comum de 12, 18 e 30

    1. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
    2. Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. O primeiro número a aparecer nas três listas é 180
    5. Por fatoração em primos: 2² vem do 12, 3² do 18 e 5 do 30, então 4 × 9 × 5 = 180

    A entrada padrão. Repare que 36 é múltiplo de 12 e de 18, mas não de 30, e que 60 é múltiplo de 12 e de 30, mas não de 18 — a resposta tem de satisfazer todos os números da lista, e não a maioria deles. Os dois caminhos concordam, e o da fatoração é o que se usa quando as listas ficariam longas.

  2. Dois números: 4 e 6

    1. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24
    3. O primeiro número compartilhado é 12
    4. Confira com a regra do produto: 4 × 6 = 24, e o máximo divisor comum de 4 e 6 é 2, então 24 ÷ 2 = 12

    O caso de dois números é o único em que a regra do produto vale, e vale fazer a conferência acima uma vez à mão porque ela mostra por que a regra para de funcionar com mais de dois: para 4, 6 e 9 o produto é 216 enquanto a resposta é 36, e dividir só pelo MDC de 4 e 6 não corrige a presença do terceiro número. A página dobra dois a dois e nunca cai nessa.

  3. Números coprimos: 7, 11 e 13

    1. 7, 11 e 13 são todos primos, então dois quaisquer deles não compartilham fator nenhum
    2. Nada se cancela no produto, então o mínimo múltiplo comum é 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, e 77 × 13 = 1.001
    4. Os primeiros quatro múltiplos comuns avançam de 1.001 em 1.001

    Quando nenhum primo é compartilhado, a resposta é simplesmente o produto, e este é o único caso em que a resposta é grande assim. O 1.001 é um número familiar por um motivo sem relação com esta página: ele se fatora como 7 × 11 × 13, que é exatamente a razão de funcionar o truque de reconhecer um padrão de três algarismos repetidos. A página o trata do mesmo jeito que trata todo o resto.

  4. Uma lista em que um número divide os outros: 6, 8 e 12

    1. 12 é múltiplo de 6, então o 6 não acrescenta nada que o 12 já não exija
    2. Múltiplos de 8: 8, 16, 24
    3. Múltiplos de 12: 12, 24
    4. O primeiro número compartilhado é 24, e a resposta é maior que todos os números digitados, inclusive o maior deles, porque ela tem de ser múltipla de cada um

    A resposta não precisa ser um dos números que você digitou, e isso é o oposto do máximo divisor comum, em que a resposta é sempre um divisor da menor entrada. Aqui a resposta 24 é maior que todos os números da lista, porque um múltiplo comum tem de ser um número em que todos eles caibam. Tirar o 6 não muda nada: o 12 já carrega todo primo que o 6 exige, então a dobra deixa a resposta como está.

Limitações

Cada número precisa ser um número inteiro de 1 a 1.000.000, e é preciso haver entre dois e dez deles. A entrada é limitada ali, mas o limite que realmente morde está na resposta: o mínimo múltiplo comum precisa ficar em 1.000.000.000.000 ou menos, e uma lista de dez números grandes estoura esse valor muito antes de a faixa de entrada acabar. Acima do teto a página recusa em vez de imprimir uma resposta, porque um número desse tamanho não pode ser guardado exatamente e voltaria com aparência de resultado comum. O zero e os números negativos são recusados: "todo número inteiro é múltiplo de 0" não é uma afirmação útil, e um mínimo múltiplo comum é definido sobre números positivos. Decimais e frações são recusados em vez de arredondados, pela mesma razão da página de máximo divisor comum. Os separadores podem ser espaços, vírgulas ou pontos e vírgulas, e podem vir misturados. Entradas repetidas são aceitas e não mudam nada, e um número que divide outro da mesma lista é simplesmente redundante. A tabela de referência abaixo é fixa em 4, 6 e 8 e não acompanha o que você digitou — o painel responde aos seus números, a tabela mostra como a resposta é lida. A resposta em si é sempre exata, nunca arredondada. E há uma diferença de grafia entre as duas saídas que vale saber de antemão: o mínimo múltiplo comum é impresso como número e segue a escrita numérica do idioma, com o separador de milhar, enquanto os múltiplos comuns são impressos como texto puro, sem separador nenhum — digitando 1.000.000 nas duas entradas, o painel mostra 1.000.000 como resposta e imprime a lista de múltiplos como 1000000, 2000000, 3000000 e 4000000, sem separador nenhum.

Perguntas frequentes

Como acho o mínimo múltiplo comum à mão?
Escreva os múltiplos de cada número até um valor aparecer em todas as listas. Para 12, 18 e 30 isso é 180: ele é o décimo quinto múltiplo de 12, o décimo de 18 e o sexto de 30. O caminho mais rápido é a fatoração em primos — fique com todo primo que apareça em qualquer ponto da lista, na sua maior potência, o que dá 2², 3² e 5 para esses três números, e portanto 180. Os dois caminhos aparecem nos exemplos acima.
Qual é a diferença entre o MMC e o MDC?
O máximo divisor comum é o maior número que divide todas as entradas; o mínimo múltiplo comum é o menor número que todas as entradas dividem. O divisor nunca é maior que a menor entrada, o múltiplo nunca é menor que a maior. Pela fatoração em primos a diferença é uma palavra: o divisor fica com a menor potência dos primos compartilhados, o múltiplo fica com a maior potência de todo primo presente.
Posso simplesmente multiplicar os números entre si?
Isso dá um múltiplo comum, mas raramente o mínimo, e para dois números a regra exata é que o produto é igual ao mínimo múltiplo comum vezes o máximo divisor comum. Para 4 e 6 o produto é 24 e o divisor é 2, então a resposta é 12. Com mais de dois números essa regra não vale, e é por isso que a página dobra os números dois a dois em vez de multiplicar todos juntos.
Por que a página recusa respostas muito grandes?
Porque uma máquina deixa de guardar números inteiros exatamente a partir de certo tamanho, e uma resposta desse porte voltaria arredondada com aparência completamente comum. As entradas são limitadas a 1.000.000 cada uma, mas a resposta pode crescer muito além disso — uma lista de dez números de seis algarismos se multiplica de forma enorme —, então a página também confere a resposta contra um teto e recusa em vez de imprimir algo que esteja quase certo.
Qual é o mínimo múltiplo comum de dois números coprimos?
O produto deles, porque nada se cancela: 7 e 11 são coprimos, então o mínimo múltiplo comum é 77. Coprimos quer dizer que os dois números não compartilham primo nenhum, então a maior potência de cada primo da lista é o próprio primo. Números inteiros consecutivos são sempre coprimos, e um primo emparelhado com qualquer número que não seja múltiplo dele também.
Onde o mínimo múltiplo comum é usado?
Somar ou comparar frações exige um denominador comum, e o menor deles é esta quantidade — 1/12 e 1/18 são reescritas sobre 36. Fora da aritmética, tudo o que se repete em dois ciclos volta a coincidir depois do mínimo múltiplo comum deles: eventos a cada 12 e a cada 18 dias coincidem depois de 36 dias, e dentes de engrenagem se encaixam num padrão que se repete depois do múltiplo das contagens de dentes.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de MDCTodos os divisores comuns de dois a dez números, e o maior.Calculadora de MMC de fraçõesMenor denominador comum para um conjunto de frações.Calculadora de soma de fraçõesSome frações com denominadores diferentes, já simplificado.Calculadora de fraçõesOperações com frações, sempre com o resultado simplificado.Calculadora de divisoresTodos os divisores de um número e os pares que o formam.