O que exatamente conta como divisor?

Qualquer número inteiro que divida o seu número exatamente, sem deixar resto. Os dois membros de cada par contam, então para 60 a lista vai de 1 até 60 — 1 e o próprio número são sempre divisores, e os interessantes estão no meio. Frações não contam, mesmo quando dividem certo: 2,5 cabe em 60 vinte e quatro vezes, mas 2,5 não é um número inteiro, então não é um divisor. Esta página lista os divisores positivos de um número positivo, que é a convenção padrão.

Por que a busca para na raiz quadrada?

Porque depois dela todo divisor que você encontraria é o parceiro de um que já viu. Se d × e = 60 e d é maior que a raiz quadrada de 60, então e é menor que ela — logo e foi testado antes e o par foi impresso naquela hora. Testar além desse ponto só pode reencontrar pares na ordem inversa. É por isso que 60 gasta sete divisores de teste em vez de sessenta, e por isso o custo desta página cresce com a raiz quadrada da entrada: um número perto de um milhão gasta cerca de mil testes, e não um milhão.

Por que 36 tem um número ímpar de divisores?

Porque 36 é um quadrado perfeito, então a raiz quadrada dele faz par consigo mesma. Todo outro divisor tem um parceiro diferente — 1 com 36, 2 com 18, 3 com 12, 4 com 9 — e cada par desses soma dois à contagem. Depois 6 × 6 = 36 soma um. Então o total é 4 × 2 + 1 = 9. Em geral, um número tem um número ímpar de divisores exatamente quando é um quadrado perfeito, e essa é a maneira mais rápida de dizer, a partir de uma lista de divisores, se o número é um.

Isto é a mesma coisa que fatoração em primos?

Não, e vale ser claro sobre a diferença. Esta página dá todos os divisores; a fatoração em primos quebra o número em primos multiplicados entre si. Para 60 a fatoração em primos é 2² × 3 × 5, e a página nunca imprime isso — ainda que 2, 3 e 5 apareçam todos na lista de divisores, porque primos são divisores como quaisquer outros. A diferença prática é o custo: esta página faz um trabalho proporcional à raiz quadrada do número, enquanto a fatoração em primos é genuinamente difícil para números grandes, que é a suposição em que a criptografia de chave pública se apoia.

Posso digitar 0 ou um número negativo?

Não, e nenhuma das duas é uma restrição arbitrária. Todo número inteiro divide o 0, então a lista de divisores dele nunca terminaria. Para um número negativo os divisores vêm nos dois sinais — 1 e −1, 2 e −2, e assim por diante — e esta página teria de tomar uma posição sobre listar os dois, o que ela não faz. A entrada é um número inteiro de 1 a 1.000.000. Decimais também são recusados em vez de arredondados, porque arredondar responderia em silêncio a uma pergunta sobre outro número.

Por que os divisores aparecem em duas colunas?

Porque elas respondem a duas perguntas diferentes. A lista corrida é o que você confere quando quer saber se algum número divide o seu. Os pares são o que você quer quando o número é o produto de duas coisas que você está escolhendo — um retângulo com essa área, um conjunto de linhas e colunas iguais, um grupo dividido sem sobrar ninguém. Um canteiro de 60 metros quadrados pode ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 ou 6 por 10, e essas seis formas são exatamente a coluna dos pares. As duas colunas guardam os mesmos números; só o arranjo é diferente.

Calculadora de divisores

Resultado

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Fatores

Pares de fatores: 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Um divisor de um número inteiro é outro número inteiro que o divide exatamente, sem deixar resto. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 — doze deles, e eles sempre vêm em pares que se multiplicam de volta para 60: 1 com 60, 2 com 30, 3 com 20, 4 com 15, 5 com 12 e 6 com 10. Esta página imprime as duas leituras, a lista corrida de divisores e os pares de fatores, porque elas respondem a perguntas diferentes. A lista é o que você quer quando está verificando se um número divide outro; os pares são o que você quer quando procura um retângulo com essa área, ou dois números cujo produto é fixo. O método é a divisão por tentativa, e a parte útil dele é saber quando parar. Para achar todos os divisores de 60 não é preciso testar além de 8, porque 8 × 8 é 64 — acima da raiz quadrada, todo divisor que você encontraria é a metade maior de um par cuja metade menor você já viu. É por isso que 60 gasta sete testes em vez de cinquenta e nove, e é por isso que um número de sete algarismos — o próprio teto de um milhão — continua rápido nesta página. Esse mesmo corte é o que faz os pares saírem em ordem: cada vez que um divisor pequeno é encontrado, o parceiro dele é produzido no mesmo instante, então os pares ficam ordenados pela metade menor sem nenhum passo de ordenação. Dois casos especiais valem ser conhecidos antes de você ler a saída. Um número primo tem exatamente dois divisores — 1 e ele mesmo —, então a lista dele é curta e a lista de pares tem uma linha só. Um quadrado perfeito tem um número ímpar de divisores, porque o par do meio é o mesmo número duas vezes: 36 tem nove divisores e os pares terminam em 6 * 6, que a página imprime uma vez só. Nenhum dos dois é um erro, e nenhum dos dois é um caso especial no código; os dois caem do mesmo laço. O que a página não faz é quebrar o número em primos. Ela diz todos os divisores e todos os pares, e mostra tranquilamente que 60 tem doze divisores sem nunca dizer 60 = 2² × 3 × 5 — a lista de divisores contém as peças, mas ela não é uma fatoração. Essa distinção importa quando o número é grande: o trabalho desta página cresce com a raiz quadrada da entrada, enquanto a fatoração em primos é genuinamente difícil, e as duas são perguntas diferentes.

Três números com os divisores e os pares de fatores lado a lado

Número	Divisores	Pares de fatores
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	1 * 12, 2 * 6, 3 * 4
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	1 * 36, 2 * 18, 3 * 12, 4 * 9, 6 * 6
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60	1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Leia uma linha inteira e a coluna do meio é a terceira coluna desdobrada. 12 tem seis divisores e três pares; 36 tem nove divisores e cinco pares; 60 tem doze divisores e seis pares. As contagens são o que há para comparar. Seis é par, nove é ímpar, doze é par — e 36 é o único quadrado perfeito da tabela, que é exatamente a razão de ser ele o diferente. Todo divisor que não é a raiz quadrada tem um parceiro para emparelhar, então esses contribuem com uma contagem par, e a raiz quadrada só tem a si mesma. A outra coisa que vale ver é que mais divisores não decorre de um número maior: 36 é três vezes 12 e tem uma vez e meia a quantidade de divisores, enquanto 60 é cinco vezes 12 e dobra essa quantidade. Quantos divisores um número tem vem de como as peças primas dele se combinam, e não do tamanho dele — que é a mesma razão de 720720, bem abaixo de um milhão, ter mais divisores que qualquer número perto dele.

Fórmula

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10; 60 ÷ 7 não é exato, 8 × 8 > 60, e a busca para aí

n: O número a fatorar — um número inteiro de 1 a 1.000.000. O 1 é aceito e dá um único divisor, o próprio 1, o que é uma resposta de verdade, e não um caso degenerado: 1 divide todo número inteiro exatamente, e por isso é o primeiro divisor de todos eles
d: Um divisor de teste, testado na ordem 1, 2, 3, 4 e assim por diante. A página nunca testa além da raiz quadrada de n, e esse corte é o truque inteiro: se d × e = n e d é maior que a raiz quadrada, então e é menor que ela, logo e já foi encontrado e o par já foi impresso
d * d ≤ n: A regra de parada, escrita por extenso. Para 60 o último divisor testado é 7, porque 7 × 7 = 49 está abaixo de 60 e 8 × 8 = 64 está acima. A regra é a razão de o número de testes crescer com a raiz quadrada da entrada, e não com a entrada — um milhão gasta mil testes, e não um milhão
n / d: O parceiro de um divisor. Quando d divide n exatamente, o quociente é a outra metade do par, e a página o produz no mesmo passo. É por isso que os pares de 60 saem como 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 e assim por diante, em ordem, sem ordenação nenhuma: as metades menores são encontradas em ordem crescente, então os pares também
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60: Todos os divisores de 60 numa lista corrida, em ordem crescente. Doze entradas, que é uma contagem par — o emparelhamento está completo, todo divisor tem um parceiro. A lista é a mesma informação dos pares abaixo dela, rearranjada: leia os pares e junte os números, e você tem esta linha de volta
6 * 6: O par do meio de 36, e a única forma em que um divisor aparece duas vezes na mesma linha. 36 é um quadrado perfeito, então a contagem de divisores dele é ímpar — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, que são nove — e a página imprime o par do meio uma vez, e não duas. É por isso que um quadrado perfeito nunca tem uma contagem par de divisores

Simplificar uma fração é o motivo mais comum de querer uma lista de divisores. Para reduzir 42/60 à mão você procura um número que divida os dois, e os divisores de 60 dizem quais são os candidatos enquanto os divisores de 42 dizem quais deles servem — o maior desses números é o máximo divisor comum, e a Calculadora de MDC responde a essa pergunta diretamente se é só disso que você precisa. Um segundo uso é o retângulo de área fixa: um canteiro de 60 metros quadrados pode ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 ou 6 por 10, e os pares de fatores são exatamente essa lista de formas possíveis, que é a razão de eles serem impressos na forma em que são. A mesma pergunta aparece sempre que itens precisam ser dispostos em linhas e colunas iguais: acomodar 60 convidados em mesas de mesmo tamanho, ou dividir uma turma em grupos do mesmo tamanho sem sobrar ninguém. Um terceiro uso é conferir uma afirmação. Se alguém diz que 91 é primo, a lista de divisores resolve a questão — 1, 7, 13, 91 — e o fato de haver quatro entradas em vez de duas é a refutação. Os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 9 cobrem os casos pequenos à mão, e esta página continua de onde eles deixam de ser fáceis. Quando a pergunta é realmente sobre as peças, e não sobre os divisores, a resposta mora em outro lugar: a Calculadora de fatores primos quebra o número em primos, o que esta página deliberadamente não faz; a Calculadora de MMC e a Calculadora de MDC comparam dois números em vez de descrever um; e a Calculadora de simplificar frações usa um divisor comum para reduzir uma fração direto, sem mostrar a lista.

Exemplos resolvidos

Doze divisores: 60
1. Teste 1: 60 ÷ 1 = 60 exato, então 1 e 60 são divisores
2. Teste 2: 60 ÷ 2 = 30, então 2 e 30 são divisores; teste 3: 60 ÷ 3 = 20, dando 3 e 20
3. Teste 4: 60 ÷ 4 = 15, dando 4 e 15; teste 5: 60 ÷ 5 = 12, dando 5 e 12
4. Teste 6: 60 ÷ 6 = 10, dando 6 e 10; teste 7: 60 ÷ 7 não é um número inteiro
5. 8 × 8 = 64 já passou de 60, então a busca para — os doze divisores estão completos
A entrada padrão, e uma boa escolha, porque 60 tem muitos divisores — doze, o maior número de qualquer número abaixo dele. Repare como a busca foi barata: sete divisores testados, e não sessenta. A linha dos pares e a lista de divisores são os mesmos doze números; os pares estão simplesmente dobrados de modo que cada um fique ao lado do número com que se multiplica. Vale notar também que a lista de pares termina em 6 * 10 em vez de seguir para 10 * 6: assim que a metade menor de um par passa da raiz quadrada, todo par restante é repetição de um que já foi impresso.
Um quadrado perfeito: 36
1. 1 e 36 formam um par, depois 2 e 18, depois 3 e 12, depois 4 e 9
2. 6 × 6 = 36, então 6 é o parceiro de si mesmo — o meio da lista
3. 7 não divide 36; 7 × 7 = 49 já passou, e 6 foi o último divisor abaixo da raiz quadrada
4. Os divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — nove deles, uma contagem ímpar
O caso que mostra por que uma contagem de divisores pode ser ímpar. Todo divisor exceto a raiz quadrada tem um parceiro distinto, então eles se emparelham e contribuem com uma contagem par; a raiz quadrada faz par consigo mesma e contribui com um. É essa a razão inteira de 36 ter nove divisores enquanto 60, um número maior, tem doze, e 12 tem seis. A linha dos pares imprime 6 * 6 uma vez, e não duas, o que é uma escolha — imprimir duas vezes faria as duas linhas discordarem sobre quantos divisores existem.
Um número primo: 7
1. Teste 1: 7 ÷ 1 = 7 exato, então 1 e 7 são divisores
2. Teste 2: 7 ÷ 2 não é um número inteiro; 3 × 3 = 9 já passou de 7, então a busca para aí
3. Nada entre 1 e 7 o divide
4. Dois divisores e um par — que é a definição de número primo
A saída não trivial mais curta da página, e a que mostra que um número primo não é uma falha em fatorar. Um número primo é um número com exatamente dois divisores, e esses dois são sempre 1 e o próprio número; a página relata esse fato em vez de relatar que não achou nada. A regra de parada faz trabalho de verdade aqui — depois de testar 2 não sobra nada a testar, porque 3 × 3 já é maior que 7. Testar 3, 4, 5 e 6 custaria quatro divisões e não poderia achar coisa nenhuma.

Limitações

A entrada precisa ser um número inteiro de 1 a 1.000.000. O zero é recusado: todo número inteiro divide o zero, então a lista de divisores dele seria infinita e não há nada sensato a imprimir. Números negativos também são recusados, embora ±1, ±2 e assim por diante dividam −60 — a página relata os divisores positivos de um número positivo, e uma lista com sinal precisaria de uma convenção sobre mostrar os dois sinais que esta página não enuncia. Decimais são recusados em vez de arredondados. O teto de um milhão é o que mantém a divisão por tentativa limitada: a busca para na raiz quadrada, então o pior caso são mil testes, e a lista de resposta pode ser longa, mas nunca ingerenciável. Ela ainda pode ser longa — 720.720 tem 240 divisores, o maior número de divisores de qualquer número abaixo de um milhão — e uma lista desse tamanho é correta, mas não é agradável de ler. A página relata divisores e pares de fatores, e não fatores primos, e a diferença é fácil de não notar: a lista de divisores de 60 contém 2, 3 e 5, mas a página nunca diz 60 = 2² × 3 × 5, e para um número grande as duas perguntas têm custos muito diferentes. Os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 9 não são destacados à parte — estão simplesmente absorvidos na divisão por tentativa, então um número terminado em 0 mostra 2, 5 e 10 como divisores sem que a página diga por quê. Há uma diferença de grafia entre as saídas e o resto da página que vale saber de antemão: os divisores e os pares são impressos como texto puro, sem separador de milhar, então um divisor de um milhão sai como 1000000, e não como 1.000.000. Por fim, a tabela de referência abaixo mostra três números fixos em vez de acompanhar a sua entrada; o painel acima é o que responde ao que você digitou.

Perguntas frequentes

O que exatamente conta como divisor?: Qualquer número inteiro que divida o seu número exatamente, sem deixar resto. Os dois membros de cada par contam, então para 60 a lista vai de 1 até 60 — 1 e o próprio número são sempre divisores, e os interessantes estão no meio. Frações não contam, mesmo quando dividem certo: 2,5 cabe em 60 vinte e quatro vezes, mas 2,5 não é um número inteiro, então não é um divisor. Esta página lista os divisores positivos de um número positivo, que é a convenção padrão.
Por que a busca para na raiz quadrada?: Porque depois dela todo divisor que você encontraria é o parceiro de um que já viu. Se d × e = 60 e d é maior que a raiz quadrada de 60, então e é menor que ela — logo e foi testado antes e o par foi impresso naquela hora. Testar além desse ponto só pode reencontrar pares na ordem inversa. É por isso que 60 gasta sete divisores de teste em vez de sessenta, e por isso o custo desta página cresce com a raiz quadrada da entrada: um número perto de um milhão gasta cerca de mil testes, e não um milhão.
Por que 36 tem um número ímpar de divisores?: Porque 36 é um quadrado perfeito, então a raiz quadrada dele faz par consigo mesma. Todo outro divisor tem um parceiro diferente — 1 com 36, 2 com 18, 3 com 12, 4 com 9 — e cada par desses soma dois à contagem. Depois 6 × 6 = 36 soma um. Então o total é 4 × 2 + 1 = 9. Em geral, um número tem um número ímpar de divisores exatamente quando é um quadrado perfeito, e essa é a maneira mais rápida de dizer, a partir de uma lista de divisores, se o número é um.
Isto é a mesma coisa que fatoração em primos?: Não, e vale ser claro sobre a diferença. Esta página dá todos os divisores; a fatoração em primos quebra o número em primos multiplicados entre si. Para 60 a fatoração em primos é 2² × 3 × 5, e a página nunca imprime isso — ainda que 2, 3 e 5 apareçam todos na lista de divisores, porque primos são divisores como quaisquer outros. A diferença prática é o custo: esta página faz um trabalho proporcional à raiz quadrada do número, enquanto a fatoração em primos é genuinamente difícil para números grandes, que é a suposição em que a criptografia de chave pública se apoia.
Posso digitar 0 ou um número negativo?: Não, e nenhuma das duas é uma restrição arbitrária. Todo número inteiro divide o 0, então a lista de divisores dele nunca terminaria. Para um número negativo os divisores vêm nos dois sinais — 1 e −1, 2 e −2, e assim por diante — e esta página teria de tomar uma posição sobre listar os dois, o que ela não faz. A entrada é um número inteiro de 1 a 1.000.000. Decimais também são recusados em vez de arredondados, porque arredondar responderia em silêncio a uma pergunta sobre outro número.
Por que os divisores aparecem em duas colunas?: Porque elas respondem a duas perguntas diferentes. A lista corrida é o que você confere quando quer saber se algum número divide o seu. Os pares são o que você quer quando o número é o produto de duas coisas que você está escolhendo — um retângulo com essa área, um conjunto de linhas e colunas iguais, um grupo dividido sem sobrar ninguém. Um canteiro de 60 metros quadrados pode ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 ou 6 por 10, e essas seis formas são exatamente a coluna dos pares. As duas colunas guardam os mesmos números; só o arranjo é diferente.

Referências

Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
Prime Number — numbers with exactly two factors, and why that definition is the one the factor list makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de MDCTodos os divisores comuns de dois a dez números, e o maior.Calculadora de MMCOs quatro primeiros múltiplos comuns de dois a dez números.Calculadora de simplificar fraçõesReduza a fração à forma irredutível e veja o divisor usado.Calculadora de ordem crescenteOrdene uma lista de números e veja o menor e o maior.Calculadora de fatores primosDecomposição em fatores primos, escrita com expoentes.