Calculadora de MMC de frações

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ mínimo denominador comum = MMC(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10

As frações a trabalhar, de duas a dez, cada uma escrita como numerador/denominador com as duas partes inteiras de 1 a 1.000.000, separadas por espaços, vírgulas ou pontos e vírgulas. Números inteiros como 2 são aceitos e lidos como 2/1. Cada fração é reduzida à forma irredutível antes de o denominador ser usado, e é esse passo que impede a resposta de sair grande demais

4, 6, 10

Os denominadores reduzidos. Reduzir primeiro é o que faz estes serem 4, 6 e 10 em vez de algo maior — 6/8 contribuiria com 8 se não fosse reduzida para 3/4. Tudo daqui para frente trabalha só com esses números; os numeradores não afetam a resposta em nada

mínimo denominador comum = MMC(4, 6, 10)

A conta inteira em uma linha: o mínimo denominador comum é o MMC dos denominadores reduzidos. 4 é 2², 6 é 2 × 3 e 10 é 2 × 5, então os primos necessários são 2², 3 e 5, o que dá 4 × 3 × 5 = 60. Com mais de duas frações isso se dobra dois a dois: 4 e 6 dão 12, depois 12 e 10 dão 60

60

A resposta. Todo denominador reduzido a divide exatamente, e nenhum número menor o faz — é isso que faz dele o menor, e não apenas um denominador compartilhado

n × (60 ÷ d)

Como cada fração é reescrita: multiplique o numerador pela resposta dividida pelo denominador daquela fração. Para 3/4 isso é 3 × 15 = 45, então 3/4 vira 45/60. O valor da fração não muda — numerador e denominador são multiplicados pelo mesmo número, que é o que frações equivalentes querem dizer

45/60, 50/60, 42/60

As frações reescritas, todas sobre o denominador comum. Um número inteiro na entrada aparece aqui com o denominador junto em vez de voltar reduzido: 2 volta como 4/2 quando a resposta é 2, porque uma linha impressa como um inteiro solto nesta coluna seria lida como uma linha que foi pulada

Somar frações com denominadores diferentes começa aqui: 3/4 e 5/6 não podem ser combinadas antes de as duas estarem sobre 12, e o denominador comum é a primeira linha do cálculo. Comparar frações é o mesmo passo — não dá para ver de relance se 5/6 é maior que 7/10, mas 50/60 contra 42/60 decide na hora, e os denominadores iguais significam que basta ler os numeradores. Subtrair tem a mesma exigência. Fora da sala de aula, sempre que quantidades são anotadas em unidades fracionárias diferentes, o denominador compartilhado é o que permite somá-las. A tabela abaixo é o método à mão: os múltiplos de cada denominador reduzido e o primeiro número que aparece em todas as colunas. Dois atalhos poupam quase todo o trabalho, e os dois aparecem bastante: um denominador que é múltiplo de outro pode ser ignorado, e denominadores que não compartilham primo nenhum — 6 e 5, por exemplo — se multiplicam para dar a resposta direto. Quando uma fração não está na forma irredutível, reduzir não é opcional, e vale fazer isso primeiro e não por último, porque é o único passo cuja omissão produz uma resposta que parece inteiramente razoável.

1. Três frações: 3/4, 5/6 e 7/10

   1. As três já estão na forma irredutível, então os denominadores a combinar são 4, 6 e 10
   2. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
   3. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
   4. Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60
   5. O primeiro número que aparece nas três listas é 60, então o mínimo denominador comum é 60
   6. 3/4 vira 45/60 porque 60 ÷ 4 = 15 e 3 × 15 = 45
   7. 5/6 vira 50/60 porque 60 ÷ 6 = 10 e 5 × 10 = 50
   8. 7/10 vira 42/60 porque 60 ÷ 10 = 6 e 7 × 6 = 42

   A entrada padrão. O caminho dobrado é mais curto que as listas: 4 e 6 dão 12, e 12 com 10 dá 60. A coluna reescrita é a conferência útil, porque cada uma das três frações novas tem de valer a que substituiu — 45/60 é 3/4, 50/60 é 5/6 e 42/60 é 7/10, e se alguma delas não fosse, o multiplicador teria sido aplicado a apenas uma das partes da fração.

2. Por que as frações são reduzidas antes: 6/8 e 10/12

   1. 6/8 e 10/12 não estão na forma irredutível
   2. Divida as duas partes de 6/8 por 2: ela vira 3/4, denominador 4
   3. Divida as duas partes de 10/12 por 2: ela vira 5/6, denominador 6
   4. O MMC de 4 e 6 é 12, então o mínimo denominador comum é 12
   5. 3/4 vira 9/12 e 5/6 vira 10/12
   6. Ler os denominadores sem reduzir teria dado 8 e 12, e o MMC deles é 24

   A resposta pela qual esta página existe. 24 não é um denominador comum errado — 6/8 e 10/12 realmente podem ser escritas sobre 24 —, só não é o menor, e um painel mostrando 24 pareceria perfeitamente normal. Reduzir primeiro é o que separa os dois casos, e é por isso que o campo reduz cada fração antes de ler o seu denominador.

3. Um número inteiro no meio das frações: 1/2, 2 e 3

   1. 2 e 3 são lidos como 2/1 e 3/1, com denominador 1
   2. Os denominadores a combinar são 2, 1 e 1
   3. Todo número inteiro é múltiplo de 1, então o 1 não contribui com nada para a resposta
   4. O MMC de 2, 1 e 1 é 2
   5. 1/2 continua 1/2, enquanto 2 vira 4/2 e 3 vira 6/2

   O 4/2 e o 6/2 são deliberados e não são uma falha em reduzir. A coluna se chama "frações com o denominador comum" e toda linha dela precisa carregar esse denominador, senão uma linha impressa como um 2 solto seria lida como uma linha que ficou de fora. O valor não muda de um jeito nem de outro — 4/2 é 2 —, e este é o único lugar da página em que um resultado aparece sem ser reduzido de propósito.

4. Perto do teto: 1/1000 e 2/999983

   1. 1.000 é 2³ × 5³ e 999.983 é primo, então os dois denominadores não compartilham nada
   2. Sem nada compartilhado, o MMC é o produto: 1.000 × 999.983 = 999.983.000
   3. 1/1000 vira 999983/999983000 porque 999.983.000 ÷ 1.000 = 999.983
   4. 2/999983 vira 2000/999983000 porque 999.983.000 ÷ 999.983 = 1.000 e 2 × 1.000 = 2.000

   Dois denominadores que não compartilham primo nenhum formam o caso em que a resposta é tão grande quanto pode ser para um par, e este exemplo fica logo abaixo do teto onde a página para. Os valores continuam exatos aqui — o maior número desta página, 999.983.000, tem nove algarismos e ainda cabe com folga na faixa que uma máquina guarda precisamente —, mas uma fração com numerador maior empurraria o produto para fora dessa faixa, e é por isso que a página recusa acima de um certo denominador em vez de imprimir uma reescrita arredondada. Repare também na diferença de grafia entre as duas saídas: o mínimo denominador comum sai como número, 999.983.000, e as frações reescritas saem como texto puro, 999983/999983000, sem separador de milhar. Dentro das frações a grafia fica como está — é assim que a fração entra e é assim que o painel a imprime —, e fora delas o número segue a grafia do idioma, como em 999.983.000.

Cada fração é escrita como numerador/denominador com as duas partes inteiras de 1 a 1.000.000, e é preciso haver entre duas e dez delas. Decimais são recusados em vez de convertidos: 0,75 não é uma fração escrita como fração, e transformá-la em 3/4 seria adivinhar o que quem escreveu queria dizer. O sinal de menos é aceito apenas na frente do numerador — 3/-4 é recusado, porque o sinal de uma fração pertence a um lugar só e a página não vai escolher por você. Denominador zero é recusado, já que não dá para dividir algo em zero partes. Há um teto, e ele não está na entrada, e sim na resposta: o mínimo denominador comum precisa ficar em 1.000.000.000 ou menos, e acima disso a página recusa em vez de imprimir as frações reescritas. A razão é que cada numerador reescrito é o numerador original multiplicado pela resposta dividida pelo seu próprio denominador, então um denominador comum grande vezes um numerador grande deixa de ser exato — e uma reescrita inexata teria a mesma aparência de qualquer outra linha. Duas frações são o mínimo, porque uma fração sozinha não tem com quem compartilhar denominador. Uma fração repetida na lista não muda nada, e um denominador que é múltiplo de outro é simplesmente redundante. Se todas as entradas forem números inteiros, a resposta é 1 e as linhas saem como os próprios inteiros, 2, 3, 4, sem denominador nenhum para carregar. A tabela de referência abaixo é fixa em 1/2, 2/3 e 3/4 e não acompanha o que você digitou; o painel acima responde às suas frações, a tabela mostra o método e as três linhas reescritas. A resposta é exata, nunca arredondada. E há uma diferença de grafia entre as duas saídas que vale saber de antemão: o mínimo denominador comum é impresso como número e segue a escrita numérica do idioma, com o separador de milhar, enquanto as frações reescritas são impressas como texto puro, sem separador nenhum — 1.999.998 no painel de cima e 1999998 dentro da fração.

Qual é a diferença entre um denominador comum e o mínimo denominador comum?

Qualquer número que todos os denominadores dividem é um denominador comum; o mínimo é o menor desses números. Para 4, 6 e 10 tanto 60 quanto 120 são denominadores comuns, e 60 é o mínimo. Só vale calcular o mínimo à mão, porque um denominador maior significa números maiores em cada fração reescrita, e é com números grandes que os erros de conta acontecem. A página devolve sempre o mínimo.

Por que as frações são reduzidas antes de o denominador ser lido?

Porque duas frações que valem o mesmo podem ter denominadores diferentes. 6/8 e 3/4 são iguais, mas montar um denominador comum a partir do 8 dá 24 onde a resposta certa é 12. A resposta errada não é obviamente errada — 24 é um denominador comum de verdade para essas frações —, então a página reduz toda fração à forma irredutível primeiro, e o exemplo acima fixa justamente esse caso.

Como o mínimo denominador comum se relaciona com o mínimo múltiplo comum?

São a mesma conta sobre entradas diferentes. Pegue os denominadores das frações reduzidas e ache o MMC deles; isso é o mínimo denominador comum. É por isso que as duas páginas daqui concordam: 4, 6 e 10 têm MMC 60, e um conjunto de frações com esses denominadores tem 60 como mínimo denominador comum. Nada sobre os numeradores entra na resposta.

Por que um número inteiro volta com um denominador junto?

Porque um número inteiro na entrada é lido como uma fração sobre 1, e a coluna de saída desta página é "frações com o denominador comum" — toda linha dela precisa carregar esse denominador. 2 vira 4/2 quando a resposta é 2, o que é o mesmo valor escrito sobre o denominador compartilhado, e não um erro ao reduzir. É o único caso da página em que um resultado aparece sem ser reduzido de propósito.

Qual é a menor resposta possível?

O maior denominador reduzido, quando todos os outros denominadores o dividem. Para 1/2, 1/4 e 3/4 a resposta é 4, já que 2 divide 4 e o 4 divide a si mesmo. Ela não pode ser menor que o maior denominador, porque a resposta tem de ser múltipla de todos eles, e um múltiplo de um número nunca é menor que esse número. Quando todas as entradas são números inteiros, todos os denominadores são 1 e a resposta é 1.

Os numeradores podem mudar a resposta?

Não. O mínimo denominador comum é calculado só a partir dos denominadores, e 1/4 e 3/4 têm o mesmo. Os numeradores aparecem sim nas frações reescritas, onde cada um é multiplicado pela resposta dividida pelo seu próprio denominador, então eles mudam o que as linhas dizem, mas nunca em quantas partes cada inteiro é cortado.

• Least common denominator — the definition, and the rule that it is the least common multiple of the denominators — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part a common denominator has to agree on — Wolfram MathWorld (United States)
• Fraction — numerator and denominator, and the rule that multiplying both parts by the same number leaves the value unchanged, which is what makes the rewrite valid — Wolfram MathWorld (United States)