Calculadora de força gravitacional

força gravitacional = G × m₁ × m₂ / r²

G

A constante gravitacional, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². É a constante medida com menos precisão da física — o valor recomendado carrega uma incerteza relativa de 2,2 × 10⁻⁵, quatro ordens de grandeza ou mais pior que a penúltima constante menos conhecida — então os últimos dígitos de qualquer resposta desta página não significam nada, e nenhuma entrada que você consiga digitar muda isso

m₁

A massa do primeiro objeto, em quilogramas. O campo também aceita gramas, toneladas e libras, e ela tem de ser massa e não peso: duas pessoas de 70 kg são simplesmente duas quantidades de matéria aqui. Precisa ser positiva, porque algo sem massa não exerce força gravitacional

m₂

A massa do segundo objeto, nas mesmas unidades e sob a mesma regra. As duas massas entram na fórmula multiplicadas uma pela outra, então elas são intercambiáveis — trocá-las não muda nada, e é por isso que a página não precisa de um jeito de dizer qual é qual

r

A distância entre os dois centros de massa, em metros, e não o vão entre as superfícies. Um satélite a 400 km de altura está a 6.771 km do centro da Terra, e é o segundo número que a equação quer. O campo também aceita quilômetros, centímetros, pés e milhas, e precisa ser positivo

F

A força gravitacional que os dois objetos exercem um sobre o outro, em newtons e em libras-força, em notação científica. É uma força e não duas: a Terra puxa você com 687 N e você puxa a Terra com 687 N na direção oposta. A segunda linha de resultado é o mesmo número convertido, não um segundo resultado

Use esta página quando você tiver duas massas e a distância entre elas e quiser a atração: a força que mantém a Lua em órbita, a atração entre um satélite e o planeta que ele contorna, se a força gravitacional entre duas massas de laboratório é mensurável (não é — fica em torno de 10⁻⁷ N, e é por isso que o experimento só saiu em 1.798), ou qual seria a gravidade de superfície de um corpo se você alimentasse a equação com a massa e o raio dele. Esse último caso é o que a tabela abaixo é: oito corpos com a gravidade de superfície calculada assim, que é o número que decide quanto você pesaria em cada um deles. Duas coisas vale conferir antes de confiar numa resposta. Primeiro, r é uma distância de centro a centro: colocar a altitude no lugar do raio exagera a força de forma severa, por um fator de cerca de 290 a 400 km, enquanto ignorar a altitude e usar só o raio do corpo erra por pouco mais de dez por cento, uma diferença que cresce com a altitude. Segundo, a fórmula trata cada objeto como um ponto, o que é exato para esferas e uma boa aproximação para qualquer coisa pequena comparada com r — mas dois objetos quase se tocando ficam inteiramente fora dela.

1. Duas pessoas de 70 kg, a um metro uma da outra

   1. Massas: 70 kg e 70 kg, e a distância entre os centros é 1 m
   2. Produto das massas: 70 × 70 = 4.900 kg²
   3. Quadrado da distância: 1² = 1 m²
   4. Força: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. Em libras-força: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Um terço de um micronewton, que é a resposta que faz o assunto inteiro aterrissar: duas pessoas paradas uma ao lado da outra estão se puxando com mais ou menos a força que algumas dezenas de microgramas de matéria pesariam, e nada na vida diária revela isso. Repare que a aritmética nunca sai do expoente — 4.900 tem só quatro dígitos, e o fator que encolhe a resposta é o 10⁻¹¹. É nesse sentido que a gravidade é fraca: não que a constante seja pequena comparada com outros números, mas que ela é pequena comparada com qualquer coisa que um ser humano consiga produzir como massa.

2. A Terra e a Lua

   1. Massas: 5,972 × 10²⁴ kg para a Terra, 7,342 × 10²² kg para a Lua
   2. Distância entre os centros: 384.400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Produto das massas: 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. Quadrado da distância: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Força: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. Em libras-força: 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ N são mais ou menos 200 exanewtons, e é o número que faz as pessoas acharem que a gravidade é forte — é a força que mantém um corpo a 384.000 km de distância fazendo uma curva a cada mês. Compare com o exemplo anterior e a lição inteira está nos expoentes: as massas cresceram por um fator de cerca de 10⁴⁴, a distância por cerca de 3,8 × 10⁸ (portanto 1,5 × 10¹⁷ depois de elevada ao quadrado), e a força por 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷. Nada na lei mudou entre as duas contas; só mudou quanta matéria havia de cada lado dela.

3. A Terra e uma pessoa de 70 kg em pé sobre ela

   1. A distância que a fórmula quer é o raio médio da Terra: 6.371 km = 6,371 × 10⁶ m, não a distância até o chão sob os seus pés
   2. Produto das massas: 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ kg²
   3. Quadrado da distância: (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ m²
   4. Força: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 N
   5. Em libras-força: 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   Estes são os mesmos 687 N que a sua balança de banheiro informa como 70 kg, e vale deixar claro que a balança está medindo uma força e dividindo por 9,8 para imprimir uma massa. É também a única linha desta página que cai na notação comum: a resposta fica entre 10⁻³ e 10⁶, então a página a deixa como 687,398 em vez de reescrevê-la como 6,874 × 10². E o número é um pouco baixo de propósito — ele usa o raio médio, então uma pessoa no equador está 21 km mais longe do centro do que uma pessoa no polo, e este número único é a média dos dois.

A maior limitação não está no modelo e sim na constante. G é conhecida até cerca de quatro algarismos significativos — o valor recomendado pelo CODATA é 6,67430 com uma incerteza de 15 nos dois últimos dígitos, uma incerteza relativa de 2,2 × 10⁻⁵ — e é a constante medida com menos precisão da física, pior que a penúltima constante menos conhecida por quatro ordens de grandeza ou mais. Toda resposta desta página tem, portanto, um quarto dígito que é enfeite: 1,980 × 10²⁰ N é de verdade 1,98 × 10²⁰ N, e digitar massas mais precisas não melhora isso. Além disso, a equação trata os dois objetos como pontos, o que só é exato para esferas; ignora todas as outras forças, então não diz nada sobre se os dois corpos estão de fato em órbita ou caindo um na direção do outro; ignora a relatividade geral, que importa no periélio de Mercúrio e em qualquer coisa perto de um buraco negro; e supõe que as massas são constantes, o que falha num foguete ou num cometa que evapora. No extremo pequeno o modelo também está sendo usado fora da faixa para a qual foi feito: dois objetos a um milímetro um do outro não são bem descritos como pontos, e a atração entre dois átomos é química e não esta equação, que é por que o campo de distância para em 1 mm. Por fim, as gravidades de superfície da tabela usam raios médios e supõem que o corpo é uma esfera perfeita sem rotação, então a linha da Terra dá 9,82 m/s² em vez do valor padrão definido de 9,80665 m/s².

Qual é a fórmula da força gravitacional?

F = G × m₁ × m₂ / r², em que G é a constante gravitacional 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², os dois termos m são as massas em quilogramas e r é a distância entre os centros delas em metros. Duas pessoas de 70 kg a um metro uma da outra dão 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ N. O r² no denominador é o que faz dela uma lei do inverso do quadrado: afaste os dois objetos para o dobro da distância e a força cai para um quarto, não para a metade.

Por que a força gravitacional entre duas pessoas é tão pequena?

Porque o próprio G é pequeno: 6,6743 × 10⁻¹¹, que está onze ordens de grandeza abaixo de 1. As massas são a única coisa trabalhando no sentido contrário, e 70 kg cada uma não é muita massa. Ponha a mesma equação para funcionar com um planeta de um dos lados e o expoente se inverte: a Terra e a Lua se atraem com 1,98 × 10²⁰ N. Nada na lei é diferente entre esses dois casos — a gravidade é fraca, e é preciso a matéria de um planeta inteiro para ela parecer o contrário, que é por que a força que mantém o sistema solar unido é a mesma que não consegue juntar duas pessoas.

r é a distância entre as superfícies ou entre os centros?

Entre os centros, sempre. Para uma pessoa em pé na Terra, r é o raio da Terra, 6.371 km, e não zero. Para um satélite a 400 km de altura, r é 6.771 km e não 400 km — a altitude é uma distância de superfície e precisa que o raio seja somado a ela. Esta é a maneira mais comum de errar a resposta, e o tamanho do erro vale ser visto: digitar a altitude de 400 km no lugar do raio deixa a força cerca de 290 vezes maior, enquanto omitir a altitude por completo e usar 6.371 km ainda a deixa cerca de 12 por cento maior.

O que é gravidade de superfície e como ela é obtida aqui?

Gravidade de superfície é a aceleração que um corpo impõe a algo parado sobre ele, g = G × M / R², e é a mesma fórmula da força gravitacional com a segunda massa igual a 1 e r igual ao raio do próprio corpo. A tabela desta página faz exatamente isso para oito corpos: a Lua dá 1,62 m/s², a Terra 9,82 m/s² e o Sol 274 m/s². Esse número é o que decide quanto você pesaria lá — uma pessoa de 70 kg precisa de 687 N na Terra, 113 N na Lua e cerca de 19 kN no Sol, e é por isso que a pergunta sobre pousar no Sol está respondida antes de a temperatura entrar na conversa.

Quão preciso é este cálculo?

Até cerca de quatro algarismos significativos, e o limite é a constante e não a aritmética. G é a constante menos precisamente conhecida da física: o valor recomendado é 6,67430 com uma incerteza de 15 nos dois últimos dígitos, o que é uma incerteza relativa de 2,2 × 10⁻⁵, quatro ordens de grandeza ou mais pior que a penúltima constante menos conhecida. Então 1,980 × 10²⁰ N deve ser lido como 1,98 × 10²⁰ N, e digitar as massas com dez dígitos não vai acrescentar um quinto algarismo com significado. As massas e distâncias de entrada costumam ser a ponta mais frouxa de qualquer forma — a massa da Terra é conhecida até cerca de uma parte em 10⁵, e o valor usado aqui é o raio médio e não o raio da sua latitude.

O objeto mais pesado puxa com mais força, ou os dois puxam igual?

Igualmente. As duas massas entram multiplicadas na fórmula, então a força da Terra sobre você e a força de você sobre a Terra são os mesmos 687 N em direções opostas — não há sentido em que a Terra puxe com mais força. O que difere é o que essa força faz: 687 N aceleram você a 9,82 m/s² e aceleram a Terra a 1,15 × 10⁻²² m/s², e é por isso que você cai e o planeta não se move de forma visível. O mesmo raciocínio é a razão de esta página precisar de apenas uma distância e uma resposta, em vez de um par de forças.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology