Calculadora de elipse

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a

Metade do eixo maior — o semieixo maior. Esta página pede o eixo maior inteiro e o divide por dois, porque é isso que a trena dá; a fórmula é escrita em semieixos porque é sempre assim que ela aparece

b

Metade do eixo menor — o semieixo menor. Quando b é igual a a a elipse é um círculo, e a fórmula da área vira o conhecido πr² com r valendo qualquer um dos dois semieixos

πab

A área. Ela é exata, ao contrário do perímetro logo abaixo — multiplique os dois semieixos e multiplique por π e você tem a resposta com quantas casas quiser calcular

h

Uma medida de quanto os dois semieixos são desiguais, calculada como o quadrado da diferença deles sobre a soma. Vale 0 no círculo e se aproxima de 1 conforme a elipse se achata na direção de uma reta, e é a quantidade sobre a qual a aproximação do perímetro é construída

P

O perímetro da elipse, em centímetros. Ele não tem forma fechada elementar, então isto é a segunda aproximação de Ramanujan: exata quando os dois eixos são iguais e um pouco por baixo quando o eixo menor se aproxima de zero

e = √(1 − b² ÷ a²)

A excentricidade, um número puro de 0 a 1 sem unidade. Vale 0 no círculo e sobe na direção de 1 conforme a elipse se achata, e é a medida que astrônomos e ópticos citam quando só a forma importa e não o tamanho

Quatro casas decimais

A largura com que as leituras são impressas. A área é exata por baixo; o perímetro é uma aproximação; e a excentricidade é uma razão, então numa elipse quase circular os primeiros dígitos dela carregam quase toda a informação

Qualquer coisa oval que precise ser medida é o caso mais óbvio: uma mesa redonda que na verdade não é redonda, um espelho ou tapete ou cuba oval, uma pista de atletismo cujas duas retas e duas curvas são descritas pelos seus eixos, uma mesa de conferência oval, uma piscina com pontas arredondadas e uma moldura ou passe-partout com recorte oval. Em cada um deles a área é o que uma quantidade de material ou um cálculo de cobertura precisa, e o comprimento da borda é pelo que se compra uma moldura, um acabamento, uma fita de borda ou um metro de guarnição. O paisagismo e a construção usam a página para canteiros ovais, pavimentação curva, pátios elípticos e qualquer forma traçada com um barbante entre dois pinos, que é o jeito padrão de marcar uma elipse no chão. A indústria usa para furos de mão elípticos, tubos ovais, tubulação achatada e a seção transversal de tudo que é desenhado ou prensado em forma oval; a excentricidade importa aí porque duas ovais com a mesma área podem ter formas bem diferentes e só uma delas vai encaixar numa dada conexão. Na astronomia a excentricidade é o número que mais importa: as órbitas dos planetas são elipses com o Sol num dos focos, e a excentricidade diz o quão próxima de um círculo cada órbita é, com a Terra em 0,0167 e um cometa bem mais alto. A óptica usa para os espelhos planos elípticos que dobram o caminho da luz num telescópio, onde os eixos do espelho são determinados pelo ângulo em que ele está inclinado, e a medicina usa para as seções transversais de vasos e câmaras e para os campos elípticos da radioterapia. Na estatística é a forma da elipse de confiança, cujos eixos vêm de dois desvios padrão e cuja área dá uma cobertura. Na sala de aula é a demonstração de que o círculo é um caso particular de algo mais geral — prenda um laço de barbante em volta de dois percevejos, trace com um lápis, e a forma muda conforme os percevejos se afastam enquanto o perímetro continua exatamente o mesmo do laço, o que já é um fato que vale notar. E na aritmética do dia a dia ela responde se um tapete oval cobre um piso, quanto tecido leva uma toalha oval e quantos metros de guarnição um canteiro oval precisa.

1. Uma elipse de 10 por 6

   1. Divida os dois por dois: o semieixo maior é 5, o semieixo menor é 3
   2. Área: π × 5 × 3 = 47,1239 centímetros quadrados
   3. Excentricidade: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
   4. Perímetro: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, o que dá π × 8 × 1,0157… = 25,527 centímetros

   O par com que a página carrega, escolhido porque a excentricidade sai exatamente 0,8 — um número que o leitor confere à mão e uma ilustração limpa do que essa medida significa. Os passos começam dividindo por dois, que é o passo que os dois campos escondem: multiplicar 10 por 6 e depois por π daria quatro vezes a área, e esse é o erro mais comum com esta página.

2. A mesma elipse dobrada: 20 por 12

   1. Divida os dois por dois: 10 e 6
   2. Área: π × 10 × 6 = 188,4956 — quatro vezes o exemplo anterior
   3. Excentricidade: √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, sem mudança
   4. Perímetro: 51,054 — o dobro do exemplo anterior

   Os dois eixos dobrados, e os três números respondem de três jeitos diferentes. A área sobe quatro vezes, a borda só dobra e a excentricidade não se move nada. Nada da forma mudou, e é exatamente isso que a excentricidade está dizendo — ela descreve proporção e não tamanho, e é por isso que é a medida usada para comparar órbitas.

3. Um círculo disfarçado: 10 por 10

   1. Divida os dois por dois: os semieixos são 5 e 5
   2. Área: π × 5 × 5 = 78,5398 centímetros quadrados
   3. Excentricidade: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
   4. Perímetro: a aproximação vira π × 10 × 1 = 31,4159 centímetros

   Uma elipse de eixos iguais é um círculo, e esta linha pode ser conferida contra outras duas páginas. Uma elipse de 10 por 10 é um círculo de raio 5, e 78,5398 é a área que a página da área do círculo imprime para esse raio, enquanto 31,4159 é a circunferência que a página da circunferência e a da conversão nos dois sentidos imprimem para ele. A aproximação do perímetro também é exata aqui, e não apenas próxima, o que é uma das duas razões de ela ter sido escolhida.

4. Uma elipse bem achatada: 10 por 2

   1. Divida os dois por dois: 5 e 1
   2. Área: π × 5 × 1 = 15,708 centímetros quadrados
   3. Excentricidade: √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
   4. Perímetro: 21,01 centímetros — cerca de um vigésimo mais que os 20 que seria ir e voltar ao longo do eixo maior

   Uma excentricidade de 0,9798 está perto do limite, e é esta a linha que deixa claro que a excentricidade não é porcentagem de nada. Uma borda de 21,01 em volta de uma forma cuja maior dimensão é 10 mostra quanta distância uma elipse bem achatada acrescenta sobre a reta para a qual ela está colapsando — cinco por cento, e não metade.

5. Totalmente achatada: 10 por 0

   1. Divida os dois por dois: 5 e 0
   2. Área: π × 5 × 0 = 0 — a forma colapsou num segmento de reta e não cobre nada
   3. Excentricidade: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, o limite
   4. Perímetro: 19,992 centímetros — e é aqui que a aproximação mostra o seu único defeito

   O extremo sobre o qual a página é honesta. Um eixo menor de zero transforma a elipse num segmento de reta de comprimento 10, então a borda verdadeira é 20 — duas vezes o semieixo maior, indo e voltando. A aproximação imprime 19,992, uma falta de 0,008. Esse é todo o custo de usar uma fórmula em vez de uma integral elíptica, e é o maior erro que a aproximação comete em qualquer ponto desta página.

Esta página calcula uma elipse a partir dos seus dois eixos e nada mais: ela não recebe uma área ou um perímetro e recupera os eixos, não dá os focos nem a distância focal, não dá a tangente nem a normal num ponto e não desenha nada. Os dois eixos são obrigatórios, e o mais curto tem de ser informado no campo do eixo menor; ponha o número maior lá e a página avisa que o maior dos dois pertence ao campo do eixo maior, em vez de trocá-los em silêncio. Os dois podem ser iguais, o que dá um círculo, e os dois podem ser zero, o que dá um ponto. Nenhum deles pode ser negativo. O perímetro é uma aproximação e não um número exato — a segunda aproximação de Ramanujan, exata quando os dois eixos são iguais e um pouco por baixo conforme o eixo menor se aproxima de zero, onde um eixo maior de 10 com um eixo menor de 0 dá 19,992 contra os 20 verdadeiros. Para uma elipse que você consiga medir de fato, o erro nunca chega à quarta casa decimal, e não há como obter um número mais preciso nesta página porque o perímetro exato é uma integral elíptica. A excentricidade não tem unidade, porque é a razão entre dois comprimentos e dá o mesmo resultado qualquer que tenha sido a unidade em que eles foram medidos; qualquer coisa que imprima uma unidade ao lado dela está errada. Os dois eixos aceitam centímetros, metros, milímetros, polegadas ou pés e as duas saídas em centímetros voltam assim qualquer que tenha sido a entrada, porque a conversão acontece na ida; uma área medida em polegadas se converte pelo quadrado do fator de comprimento, ou seja 6,4516 e não 2,54. Cada eixo vai no máximo até um bilhão de centímetros, o que é muito além de qualquer mesa ou canteiro e aquém de algumas distâncias geográficas, e a página recusa valores acima disso em vez de calculá-los. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão, e vale lembrar que numa elipse quase circular a excentricidade é pequena e os primeiros dígitos dela carregam quase toda a informação. Nada aqui trata de uma elipse rotacionada, e nada trata de uma forma oval que não seja uma elipse de verdade — um formato de ovo e um formato de estádio parecem ovais e nenhum dos dois é uma.

Os dois campos são os eixos inteiros ou a metade deles?

Os eixos inteiros — o que uma trena dá de uma ponta da oval até a outra. As fórmulas usam metade de cada um, então a página faz a divisão por você, e escrever a metade nos campos significaria pedir que você dividisse as suas próprias medidas por dois antes de digitar. Este é o único passo da conta que fica escondido, e é por isso que todo exemplo resolvido começa nomeando-o.

Por que o perímetro não é exato?

Porque a distância em volta de uma elipse não tem fórmula que possa ser escrita com operações comuns — é uma integral elíptica, e não há como contornar isso. O que a página usa é a segunda aproximação de Ramanujan, que é exata quando os dois eixos são iguais e fica um pouco baixa conforme a elipse se achata; no extremo, um eixo maior de 10 com um eixo menor de 0 dá 19,992 onde a resposta verdadeira é 20. Para qualquer elipse que você conseguisse medir com uma régua, a diferença nunca chega à quarta casa impressa.

O que a excentricidade me diz de fato?

O quanto a elipse está longe de ser um círculo, como um único número entre 0 e 1. Zero é um círculo perfeito e o número sobe conforme a forma se achata. Ele não tem unidade porque é uma razão entre dois comprimentos, então é o mesmo valor se você mediu em centímetros ou em milhas — e é por isso que é o número usado para comparar as formas das órbitas dos planetas, cujos tamanhos são muito diferentes e cujas formas não são.

Por que a área mudou quando dobrei os eixos e a excentricidade não?

Porque a excentricidade descreve a forma e a área descreve o tamanho, e dobrar os dois eixos muda apenas um deles. Dobre os dois e a área sobe quatro vezes e a borda só dobra, enquanto a excentricidade fica exatamente onde estava. Uma elipse ampliada é a mesma forma, e o número que diz qual é essa forma não tem por que se mover.

Informei a medida maior no campo do menor. Por que um erro em vez de uma troca?

Porque trocar colocaria na tela um valor que discorda do rótulo acima do campo de onde ele veio, e você não teria como perceber que isso aconteceu. A página diz em qual campo a medida maior deve entrar e deixa a decisão com você — falta uma edição para ficar certo, e o número continua sendo a sua medida em vez de virar a medida da página.

Isto é a mesma coisa que a página da área do círculo?

Para uma elipse cujos dois eixos são iguais ela concorda exatamente, e a primeira linha da tabela é esse caso: uma elipse de 10 por 10 é um círculo de raio 5, e as duas páginas imprimem 78,5398 para a área e 31,4159 para a distância em volta. Para qualquer outra elipse a página do círculo não se aplica, porque um círculo tem uma única medida e uma elipse tem duas.

• Ellipse — the curve, its semimajor and semiminor axes, the area πab, and the perimeter as a complete elliptic integral with Ramanujan's approximations — Wolfram MathWorld (United States)
• Eccentricity — what the number means and how it runs from 0 for a circle towards 1 for a fully flattened ellipse — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the case an ellipse reduces to when its two axes are equal, and the reason the first row of the table agrees with two other pages on this site — Wolfram MathWorld (United States)