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CalcMax

Calculadora de produto escalar

Resultado

8,0000

Produto escalar

Módulo de u
3,0000
Módulo de v
3,0000
Ângulo entre os vetores
27,2660 °

Uma calculadora de produto escalar recebe dois vetores e devolve o produto escalar deles — também chamado de produto interno —, o módulo de cada um e o ângulo entre dois vetores. Digite os componentes de cada vetor separados por espaço ou ponto e vírgula — 1 2 2 para um vetor tridimensional, 0 3 para um bidimensional — e a página faz o resto. Um vetor é uma lista de números que representa algo com tamanho e direção ao mesmo tempo: um vento de 30 quilômetros por hora vindo do nordeste, uma força empurrando para baixo e para o lado, a direção para onde uma câmera aponta. O produto escalar de dois deles se obtém multiplicando os dois primeiros componentes, os dois segundos, os dois terceiros, e somando todos os produtos. Esse único número acaba dizendo algo sobre como os dois vetores apontam um em relação ao outro, e é por isso que ele aparece em tudo, de cálculos de iluminação em jogos até a definição de trabalho na física. O valor é maior quando os dois apontam no mesmo sentido, zero quando estão em ângulo reto e negativo quando apontam em sentidos opostos. A página transforma isso no ângulo diretamente, usando o fato de o produto escalar ser igual aos dois módulos multiplicados entre si e depois multiplicados pelo cosseno do ângulo entre eles. Reorganizando, o cosseno do ângulo é o produto escalar dividido pelo produto dos dois módulos, e o ângulo é o arco cosseno disso. Três respostas valem ser reconhecidas de imediato. Um produto escalar zero quer dizer que os vetores são perpendiculares, porque o cosseno de 90 graus é zero, e é isso a coisa mais útil que esta página faz — testar se duas direções estão em ângulo reto sem medir nada. Vetores iguais dão ângulo zero, já que apontam no mesmo sentido. Vetores opostos dão 180 graus. Uma entrada é recusada em vez de respondida: o vetor nulo, que não tem direção nenhuma. O produto escalar dele com qualquer coisa é zero, e dividir pelo seu módulo para obter um ângulo seria dividir por zero, então a página recusa a conta inteira em vez de devolver uma resposta parcial com um buraco. Todo o resto é aceito, incluindo vetores de qualquer número de componentes desde que os dois combinem, e componentes negativos, que é como se escreve um vetor apontando para a esquerda ou para baixo.

Pares de vetores e o que eles dão

Vetor uVetor vProduto escalar|u||v|Ângulo (°)
1 2 22 2 183327.266
3 4 04 3 0245516.2602
1 00 101190
1 1 11 1 131.73211.73210
1 2 34 5 6323.74178.77512.9332
-1 0 01 0 0-111180
2 -34 5-73.60566.4031107.6501
1 23 4112.2361510.3048

Oito pares, e a primeira linha é aquela com que a página carrega. A última coluna é onde procurar as três respostas que valem ser reconhecidas de imediato. A terceira linha é o ângulo reto mais simples que existe, um vetor ao longo de cada eixo, e o produto escalar dela é zero com o ângulo voltando como exatamente 90 — é o teste de perpendicularidade para o qual a página é mais usada, e não precisa de nada da trigonometria que a coluna do ângulo usa. A quarta linha são duas cópias do mesmo vetor: ângulo 0 e produto escalar 3, que é o maior valor que aquele par poderia dar, mas não o maior da tabela — esse é o 32 da quinta linha, e confundir os dois é fácil justamente porque a quarta é a linha em que os dois vetores são idênticos. A sexta linha é um vetor e a negação dele, e é a única linha com produto escalar negativo que vem de vetores opostos, com ângulo de 180. A sétima linha também tem produto escalar negativo, −7, mas por outro motivo: os componentes têm sinais misturados, o que é como se escreve um vetor apontando para a esquerda ou para baixo, e o ângulo de 107,6501 confirma a regra — acima de 90 graus e negativo, como devem ser os dois. Somando as três, quarta, sexta e sétima cobrem a faixa inteira: mesmo sentido, ângulo reto e sentido oposto. A quinta linha é o par desarrumado cujos dois módulos são raízes, e é a linha que mostra que o ângulo sai dos módulos sem arredondar — multiplicar 3,7417 por 8,775 e dividir 32 pelo resultado dá 12,9370 e não o 12,9332 impresso, o que na prática é a mesma região mas não é o mesmo número. A oitava linha é um par bidimensional, já que a página aceita qualquer quantidade de componentes. Os espaços nas duas primeiras colunas são separadores e não fazem parte dos números. Toda figura aqui é recalculada quando a página é construída. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

Vetor u
O primeiro vetor, escrito como os seus componentes separados por espaços ou ponto e vírgula: 1 2 2 para três dimensões, 0 3 para duas, ou quantos você precisar. Não há número fixo de caixas porque a página aceita qualquer dimensão, e os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes
Vetor v
O segundo vetor, escrito do mesmo jeito e com a mesma quantidade de componentes do primeiro. A ordem não importa nem para o produto escalar nem para o ângulo — trocar os dois vetores dá as mesmas respostas
u · v
O produto escalar: multiplique os dois primeiros componentes entre si, os dois segundos, e assim por diante, e some os resultados. É um número comum, sem unidade, já que os componentes de um vetor carregam a unidade da grandeza e o produto de dois deles carregaria essa unidade ao quadrado
|u| e |v|
O módulo de um vetor, na unidade em que os componentes foram medidos: a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes dele. É o comprimento comum da flecha, e é a mesma conta que a distância da origem até o ponto para onde o vetor aponta
θ
O ângulo entre os dois vetores, em graus, de 0 quando apontam no mesmo sentido, passando por 90 quando são perpendiculares, até 180 quando apontam em sentidos opostos. Ele nunca sai dessa faixa, porque o arco cosseno não consegue devolver nada fora dela
cos θ
O produto escalar dividido pelo produto dos dois módulos, que é a ponte entre as duas metades desta página. Ele vai de 1 para vetores no mesmo sentido, passa por 0 no ângulo reto e chega a −1 para vetores em sentidos opostos, e é a partir dele que o ângulo é de fato calculado
Graus
A unidade da saída de ângulo, e a única saída da página que tem unidade. O produto escalar e os dois módulos são números comuns
Quatro casas decimais
A largura com que toda saída é escrita. O produto escalar costuma ser um número inteiro quando os componentes são; os dois módulos carregam uma raiz quadrada e o ângulo carrega um arco cosseno, então essas três quase nunca saem exatas

O produto escalar é o jeito padrão de perguntar o quanto duas direções concordam, e as perguntas que ele responde aparecem mais do que a aritmética sugere. A perpendicularidade é a principal: se o produto escalar é zero os dois vetores se encontram em ângulo reto, e é assim que um programa decide se uma superfície está virada para uma luz, se um caminho cruza um muro ou se duas linhas de um desenho estão em esquadro — e isso só usa as multiplicações, sem trigonometria nenhuma. O sinal é a próxima coisa a olhar: positivo quer dizer que os dois apontam em linhas gerais no mesmo sentido, negativo quer dizer em linhas gerais no sentido oposto, e é esse o teste inteiro por trás do descarte de faces traseiras e de saber se uma força está realizando trabalho sobre um objeto ou contra ele. A física usa o mesmo número com o nome de trabalho: o trabalho de uma força é a força escalarmente multiplicada pelo deslocamento, e é por isso que empurrar em ângulo rende menos que empurrar reto, e que empurrar em ângulo reto não rende nada. Quando você quer o ângulo em si e não só a relação, a página o dá, e os valores a reconhecer são 0, 90 e 180 graus — paralelos, perpendiculares e opostos. Qualquer outro é um par de vetores que saiu desses três, e a conferência útil é que o sinal do produto escalar deve combinar com o ângulo: um produto escalar negativo e um ângulo abaixo de 90 graus não podem estar certos os dois.

Exemplos resolvidos

  1. 1 2 2 e 2 2 1

    1. Produto escalar: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
    2. Módulo de u: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
    3. Módulo de v: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
    4. Cosseno: 8 ÷ (3 × 3) = 0,888889, e o arco cosseno disso é 27,2659…, que arredonda para 27,266

    A entrada com que a página carrega, e uma arrumada: os dois vetores têm módulo exatamente 3, então o cosseno é simplesmente o produto escalar dividido por nove. Dois vetores diferentes, um produto escalar, dois módulos e um ângulo — a página inteira numa linha. O ângulo está abaixo de 90 graus e o produto escalar é positivo, que é a conferência de sinal que vale rodar em toda resposta.

  2. 3 4 0 e 4 3 0

    1. Produto escalar: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
    2. Módulo de cada um: √(9 + 16) = 5, já que o terceiro componente é zero
    3. Cosseno: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96, e o arco cosseno disso é 16,2602…

    Dois vetores deitados no plano, escritos com um zero explícito no terceiro componente para mostrar que um vetor bidimensional é só um tridimensional com um zero dentro. Os dois módulos saem exatamente 5, que é o triângulo 3-4-5 fazendo o seu trabalho de sempre. O ângulo é pequeno e o produto escalar é grande e positivo, que é o formato de dois vetores apontando muito no mesmo sentido.

  3. 1 0 e 0 1

    1. Produto escalar: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Módulo de cada um: 1
    3. Cosseno: 0 ÷ 1 = 0, e o arco cosseno de zero é exatamente 90 graus

    A resposta para a qual a página é usada com mais frequência. Um produto escalar zero quer dizer que os dois vetores são perpendiculares, e estes dois são o exemplo mais simples possível: um ao longo do eixo x, outro ao longo do eixo y. Repare que o ângulo volta como exatamente 90 e não como um valor arredondado, porque o cosseno é exatamente zero e nenhuma raiz ou divisão foi precisa para chegar lá. Este é o teste de ângulo reto, e ele não usa nada da trigonometria que a saída de ângulo usa.

  4. 1 2 3 e 4 5 6

    1. Produto escalar: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
    2. Módulo de u: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3,741657…, que arredonda para 3,7417
    3. Módulo de v: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8,774964…, que arredonda para 8,775
    4. Cosseno: 32 ÷ (3,741657 × 8,774964) = 0,974631…, e o arco cosseno disso é 12,9331…, que arredonda para 12,9332

    Dois vetores sem módulos arrumados, e a linha a olhar se você quiser ver quanto custa o arredondamento. Os dois módulos são raízes que não terminam, então o cosseno é calculado a partir dos valores sem arredondar e não a partir do 3,7417 e do 8,775 da tela. A conta com os números impressos serve de aviso: multiplicando 3,7417 por 8,775 e dividindo 32 pelo resultado dá 0,9746 e um ângulo de 12,9370 — perto do 12,9332 impresso, mas não igual, e a diferença de 0,0038 grau é justamente a prova de que a página não usa os módulos arredondados. O ângulo é pequeno porque os dois vetores estão quase paralelos — 4 5 6 é mais ou menos 1 2 3 multiplicado por uma constante.

  5. -1 0 0 e 1 0 0

    1. Produto escalar: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Módulo de cada um: 1
    3. Cosseno: −1 ÷ 1 = −1, e o arco cosseno de −1 é exatamente 180 graus

    A outra ponta da faixa. Dois vetores apontando em sentidos exatamente opostos têm produto escalar igual a menos o produto dos módulos deles, e aqui isso dá −1, o que leva a um cosseno de −1 e a um ângulo de 180 graus. É a linha que mostra por que o produto escalar pode ser negativo e o que um valor negativo significa: não um erro e não um ângulo menor, mas duas flechas apontando para lados contrários. Ao digitar este par, use o hífen comum do teclado no primeiro componente: o traço longo −, que é o sinal de menos correto na escrita do texto, não é aceito por este campo e a caixa fica vermelha.

Limitações

Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e a página recusa um par que não tenha em vez de completar o mais curto com zeros. O vetor nulo é recusado por inteiro: um vetor com todos os componentes iguais a zero não tem direção, então o ângulo entre ele e qualquer outra coisa é indefinido, e a página recusa a conta toda em vez de mostrar um ângulo de zero que seria lido como apontar no mesmo sentido. Os componentes são lidos como números comuns, com uma regra que não muda com o idioma: um ponto e vírgula ou um espaço separa componentes, uma vírgula seguida de espaço também separa (1, 2, 2 funciona), mas uma vírgula sem espaço depois é lida como separador decimal, então 2,4 é dois vírgula quatro, e um separador de milhar é recusado em vez de adivinhado — escreva 1500, não 1.500. Como o espaço separa componentes, escrever 1 500 entra como dois números, um e quinhentos, e não como mil e quinhentos. O sinal negativo tem de ser o hífen do teclado: o traço longo usado na escrita do texto não é reconhecido e o campo fica vermelho. São aceitos até 200 componentes em cada vetor, o que está muito além de qualquer caso escrito à mão e aquém dos tamanhos que um fluxo de dados usaria. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e o ângulo é calculado a partir dos módulos sem arredondar, então multiplicar os números impressos pode não reproduzir exatamente o ângulo impresso. A página é para o produto escalar e o ângulo apenas: ela não dá o produto vetorial, a projeção de um vetor sobre o outro nem os vetores unitários, e não leva em conta em que os componentes foram medidos, então um produto escalar calculado a partir de componentes em metros volta como um número comum em vez de metros quadrados.

Perguntas frequentes

Como digito os componentes?
Separe com espaço ou com ponto e vírgula: 1 2 2 e 1;2;2 funcionam, e 1, 2, 2 também (vírgula seguida de espaço). A regra da vírgula é a única que exige atenção: depois de um dígito ela vale como separador decimal quando não vem espaço nenhum, então 2,4 é dois vírgula quatro, e não dois e quatro. Usar vírgulas em sequência, como em 1,2,3, faz o campo recusar a lista inteira. Um separador de milhar também é recusado em vez de adivinhado: escreva 1500, não 1.500. E lembre que o espaço é separador, então 1 500 entra como dois números, um e quinhentos. Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e não há limite de quantos, desde que combinem — duas dimensões e três dimensões são a mesma página.
O que o produto escalar me diz de fato?
O quanto os dois vetores apontam no mesmo sentido. Ele é máximo quando são paralelos e apontam no mesmo sentido, zero quando são perpendiculares e negativo quando apontam em sentidos opostos. O valor também depende de quão longos os vetores são, então um produto escalar grande em vetores longos não quer dizer ângulo pequeno — divida pelos dois módulos, o que a página já faz, e você chega ao cosseno do ângulo.
Como sei se dois vetores são perpendiculares?
O produto escalar deles é zero. Esse é o teste inteiro, e ele usa só as multiplicações — nenhuma raiz e nenhuma trigonometria, e é por isso que é a forma usada em código. A página continua dando o ângulo, e ele vai aparecer como 90, mas se a perpendicularidade é tudo o que você precisa, o produto escalar sozinho resolve.
Por que o produto escalar pode ser negativo?
Porque ele acompanha a direção além do tamanho. Dois vetores apontando em linhas gerais um para o outro dão um número positivo; em ângulo reto as duas contribuições se cancelam e o produto é zero; apontando em linhas gerais para lados opostos dão um número negativo. Um produto escalar negativo anda sempre junto de um ângulo acima de 90 graus, e os dois nunca devem discordar — se discordarem, há algo errado nas entradas.
Por que ele recusa um vetor de zeros?
Porque o vetor nulo não tem direção, então o ângulo entre ele e qualquer outra coisa é indefinido. O produto escalar dele com qualquer vetor é zero e o módulo dele é zero, então calcular o cosseno seria dividir por zero. Uma página que devolvesse 0 grau estaria dizendo que ele aponta no mesmo sentido que o seu vetor, o que é uma afirmação sobre uma direção que não existe.
Em que unidades está a resposta?
O ângulo está em graus e as outras três saídas não têm unidade nenhuma. O produto escalar é uma soma de produtos de componentes, então se os componentes foram medidos em metros ele está em metros quadrados, e se eram números comuns ele é um número comum; a página deixa a unidade de fora em vez de adivinhar, já que a mesma aritmética serve para uma direção, uma força e uma lista de notas de prova.

Referências

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