Calculadora de produto vetorial

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = área do paralelogramo

Vetor u

O primeiro vetor: exatamente três números, separados por espaços ou vírgulas, como 1 2 3. Três é a única contagem aceita, porque o produto vetorial é uma operação tridimensional — um par bidimensional é recusado em vez de completado com um zero, o que mudaria a resposta em silêncio

Vetor v

O segundo vetor, também exatamente três números. A ordem dos dois vetores importa aqui de um jeito que não importa no produto escalar: trocá-los inverte o sinal de todos os componentes da resposta

Componente x

O primeiro componente da resposta: o segundo componente do primeiro vetor vezes o terceiro do segundo, menos o terceiro do primeiro vezes o segundo do segundo. Todo componente de um produto vetorial é uma diferença de dois produtos, e é daí que vêm os sinais

Componente y

O mesmo padrão deslocado uma casa: o terceiro componente do primeiro vetor vezes o primeiro do segundo, menos o primeiro do primeiro vezes o terceiro do segundo. Errar esse deslocamento é o engano mais comum — ele não produz uma resposta absurda, só um componente com o sinal trocado

Componente z

O padrão deslocado mais uma vez: o primeiro componente do primeiro vetor vezes o segundo do segundo, menos o segundo do primeiro vezes o primeiro do segundo. Os três componentes juntos são o vetor perpendicular aos dois inputs

Módulo

O módulo do vetor resultante: a raiz quadrada da soma dos quadrados dos três componentes. É também a área do paralelogramo que os dois vetores de entrada geram, e o dobro da área do triângulo com esses dois lados — que costuma ser a leitura mais útil

|u| × |v| × sin θ

O mesmo módulo escrito pelo outro lado, com θ sendo o ângulo entre os dois inputs. Ele diz que o módulo é maior quando os dois vetores são perpendiculares e cai a zero conforme eles se alinham, que é por que um produto vetorial zero significa paralelos — e por que o produto escalar, que se comporta exatamente ao contrário, é o complemento desta página

Perpendicular aos dois

A propriedade que faz a saída valer a pena: o resultado fica em ângulo reto com cada um dos dois inputs. Dá para conferir na própria saída fazendo qualquer um dos dois produtos escalares — ambos dão zero, a menos do arredondamento

Quatro casas decimais

A largura com que as saídas são escritas. Os componentes são exatos sempre que as entradas são números inteiros e pequenos, o que cobre a maior parte das contas à mão; quando não são, os números vêm arredondados

O produto vetorial responde a uma pergunta diferente da do produto escalar, e os dois são complementos, não alternativas. O produto escalar recebe dois vetores e dá um número que é maior quando eles apontam no mesmo sentido; o produto vetorial recebe dois vetores e dá um vetor que é mais longo quando eles são perpendiculares. Use esta página quando você precisa de uma direção em ângulo reto com duas direções conhecidas — a normal de uma superfície, o eixo em torno do qual uma rotação acontece, a direção em que uma força magnética empurra uma carga em movimento. Use quando quiser a área de um paralelogramo ou de um triângulo a partir de dois vetores que são lados: o módulo da resposta é a área do paralelogramo, então metade dele é a do triângulo. Use quando quiser testar se dois vetores são paralelos, já que a resposta é três zeros exatamente quando são. E use quando precisar da direção perpendicular na orientação certa, que é onde entram a ordem dos dois vetores e a regra da mão direita: o primeiro vetor é aquele de que os dedos se afastam e o segundo aquele para o qual eles giram, com o polegar dando a resposta. Duas ressalvas. O resultado é perpendicular aos dois inputs, então não é uma direção para a qual qualquer um deles apontava — se você esperava uma resposta ao longo de um deles, queria o produto escalar. E um módulo zero é uma resposta de verdade, não uma falha: ele diz que os dois vetores são paralelos, incluindo o caso em que um deles é o vetor nulo.

1. 1 2 3 e 4 5 6

   1. Componente x: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. Componente y: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. Componente z: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. Módulo: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469

   A entrada com que a página abre, e a linha que mostra como a aritmética é comum: três diferenças de dois produtos e nada mais. Os três componentes são diferentes de zero, o que faz desta a linha mais útil para conferir um passo feito à mão contra a página, já que um erro de sinal não tem como se esconder atrás de um zero. O módulo, 7,3485, é a área do paralelogramo que esses dois vetores geram — o triângulo com esses dois lados tem metade disso.

2. 1 0 0 e 0 1 0

   1. Componente x: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. Componente y: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. Componente z: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. Módulo: √(0 + 0 + 1) = 1

   Os vetores unitários ao longo dos dois primeiros eixos, e o produto vetorial volta como o terceiro. É a linha que mostra a ordem cíclica sobre a qual a página é construída: x vetorial y é z, e o módulo 1 diz que os dois inputs eram perpendiculares e o paralelogramo é um quadrado unitário. Vale escrever os três componentes à mão aqui uma vez — é o caso em que todo termo que deveria sumir some.

3. 0 1 0 e 1 0 0

   1. Componente x: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. Componente y: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. Componente z: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. Módulo: √(0 + 0 + 1) = 1

   A linha anterior com os dois campos trocados, e toda a diferença é o sinal do terceiro componente. Essa é a propriedade de ordem desta operação, e esta página a demonstra sem nenhuma álgebra: digite o mesmo par duas vezes, troque os campos, veja um componente mudar de sinal. O módulo continua 1, que é a outra metade da afirmação — trocar os dois vetores inverte a direção da resposta, mas não o tamanho dela.

4. 1 2 3 e 2 4 6

   1. Componente x: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. Componente y: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. Componente z: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. Módulo: √(0 + 0 + 0) = 0

   Dois vetores apontando ao longo da mesma reta — o segundo é exatamente o dobro do primeiro — e a resposta são três zeros. Esse é o caso paralelo, e é o que vale reconhecer, porque o módulo de um produto vetorial é a área que os dois vetores geram e vetores paralelos não geram área. Receber todos os zeros de volta é uma resposta correta, não uma falha: ela diz que as duas direções são a mesma reta, e nenhum vetor é perpendicular a essa reta do jeito que uma normal de superfície seria.

5. 3 4 0 e 4 3 0

   1. Componente x: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. Componente y: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. Componente z: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. Módulo: √(0 + 0 + 49) = 7

   Dois vetores deitados no plano, então a direção perpendicular é a que sai dele e os dois primeiros componentes são zero. O módulo 7 é a área do paralelogramo que tem esses dois como lados, e o triângulo com esses dois lados tem 3,5. O sinal do terceiro componente diz para que lado do plano a resposta aponta, e aqui ele é negativo porque o primeiro vetor é o que gira em direção ao segundo no sentido anti-horário visto do outro lado. Os dois vetores têm módulo 5, o produto escalar deles é 24, e 7, 24 e 25 formam um trio pitagórico — o que é outra maneira de dizer que o módulo daqui e o produto escalar são os dois catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o produto dos dois módulos.

Os dois vetores precisam ter exatamente três componentes, e um par com dois ou quatro é recusado em vez de completado. Não existe produto vetorial bidimensional: a operação é tridimensional por definição, e acrescentar um zero em silêncio para fazer um par bidimensional caber produziria uma direção que não tem nada a ver com o plano em que os dois vetores estão. Os componentes são lidos como números comuns: espaço, vírgula seguida de espaço ou ponto e vírgula separam componentes, e uma vírgula ou um ponto colado nos dígitos é o separador decimal, então 1,5 e 1.5 valem um e meio. Um separador seguido de exatamente três dígitos, porém, é recusado em vez de adivinhado: escreva 1500, e não 1.500 nem 1,500. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão. O vetor nulo é aceito aqui, ao contrário das páginas de produto escalar e de ângulo, e essa diferença é deliberada: o produto vetorial com o vetor nulo é mesmo o vetor nulo, porque o vetor nulo não gera área com nada, então há uma resposta verdadeira a dar em vez de um cálculo a recusar. Receber três zeros de volta é, por isso, ambíguo de um jeito que a página não consegue resolver para você — significa que os dois vetores são paralelos, e significa também que um deles é o vetor nulo, e só você sabe qual. Os dois casos são saídas corretas. Não há tratamento de unidades: os componentes são números puros e o módulo da resposta também, ainda que o módulo carregue a unidade que os inputs tinham ao serem elevados ao quadrado. Nada na página confere a orientação do resultado contra uma mão direita física, então, se você estiver usando a saída como normal ou como eixo de rotação, é a ordem em que os dois vetores foram digitados que decide qual das duas direções perpendiculares você recebe.

Por que não consigo digitar vetores bidimensionais?

Porque não existe produto vetorial de dois vetores num plano. A operação é definida em três dimensões — a resposta precisa ser perpendicular aos dois inputs, e num plano não sobra direção nenhuma para ela apontar. Completar um par bidimensional com um zero para fazê-lo caber produziria uma resposta sem relação com o plano, então a página recusa.

O que a resposta significa geometricamente?

É o vetor em ângulo reto com os dois inputs, e o módulo dele é a área do paralelogramo que os dois inputs geram. Metade desse módulo é a área do triângulo com esses dois lados. É essa dupla leitura que faz o mesmo cálculo aparecer tanto quando você quer uma normal de superfície quanto quando quer uma área.

Deu três zeros. Alguma coisa deu errado?

Não — um produto vetorial zero é uma resposta de verdade. Significa que os dois vetores são paralelos, não gerando área nenhuma, e também aparece quando um deles é o vetor nulo. Os dois casos são resultados corretos, não falhas, e a página não tem como dizer em qual deles você está, já que ambos produzem os mesmos três zeros.

A ordem dos dois vetores importa?

Importa, e é o ponto em que esta página mais se diferencia da página do produto escalar. Trocar os dois vetores inverte a direção da resposta: todos os componentes mudam de sinal, enquanto o módulo fica exatamente igual. Digite o mesmo par duas vezes com os campos trocados e você vê isso acontecer. Qual das duas direções perpendiculares você quer é decidido pela regra da mão direita.

Qual componente vem primeiro?

O componente x, depois y, depois z, e a resposta é impressa como vetor do mesmo jeito que os inputs foram digitados. Cada um é uma diferença de dois produtos, com o padrão andando uma casa no ciclo a cada vez: o componente y repete a receita do x com os componentes girados, e o z gira mais uma vez.

Qual é a diferença em relação ao produto escalar?

O produto escalar recebe dois vetores e dá um número, maior quando os dois apontam no mesmo sentido; o produto vetorial dá um vetor, mais longo quando eles são perpendiculares. Os dois são complementares. Se você queria um número único — um ângulo, uma projeção, uma semelhança — queria o produto escalar; se queria uma direção em ângulo reto com os dois, queria esta página.

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)