Calculadora de matrizes

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

Matriz A, linha 1 / linha 2

A primeira matriz, uma linha por campo e dois números em cada, como 4 7 e 2 6. Linhas em vez de quatro células separadas porque uma matriz é um objeto só: dividi-la em quatro campos transformaria uma entrada em quatro e permitiria preencher algo que não é uma matriz

Matriz B, linha 1 / linha 2

A segunda matriz, escrita do mesmo jeito, e a única entrada opcional da página. Somar e multiplicar precisam dela; inverter a ignora por completo, então com essa operação selecionada você pode deixar os dois campos vazios. Deixá-los vazios não é erro — a chave simplesmente não existe

Operação

Qual das três coisas fazer: somar as duas matrizes, multiplicá-las ou inverter a primeira. Uma página em vez de três, porque as três recebem a mesma entrada e diferem só na aritmética aplicada a ela

Resultado, linha 1 coluna 1

O elemento superior esquerdo da resposta, e com ele os outros três, pelos mesmos rótulos. Na soma ele é a soma dos dois números superiores esquerdos; na multiplicação é a linha 1 inteira de A contra a coluna 1 inteira de B, e é por isso que ele não é simplesmente o produto dos dois elementos superiores esquerdos

det A

O determinante da primeira matriz: superior esquerdo vezes inferior direito, menos superior direito vezes inferior esquerdo. Impresso em toda operação e pertencendo sempre a A, não à resposta — é uma propriedade da matriz que você digitou, então não muda quando você passa de somar para multiplicar para inverter os mesmos números

1 ÷ det A

O fator de escala da inversa, e a razão de o determinante zero ser recusado: é o número pelo qual a inversa é dividida. Nada na soma nem na multiplicação precisa dele, e é por isso que essas duas continuam funcionando numa matriz de determinante zero

A⁻¹

A matriz que desfaz A: multiplique as duas em qualquer ordem e você obtém a identidade, com uns na diagonal e zeros fora dela. É isso que a torna útil, e ela existe exatamente quando o determinante não é zero

Identidade

A matriz com uns na diagonal e zeros fora dela, que é para a multiplicação de matrizes o que o número 1 é para a multiplicação comum. A conferência de que uma inversa está certa é multiplicá-la de volta e chegar nesta

Quatro casas decimais

A largura com que as saídas são escritas. Somar e multiplicar números inteiros dá resultados exatos, e inverter qualquer matriz de determinante 1 ou −1 também; o resto vem arredondado, e uma matriz diagonal com um 3 nela é o caso mais comum que não fecha redondo

A soma é a operação que quase ninguém quer, e está aqui principalmente para que as três possam ficar lado a lado: ela soma elemento a elemento, funciona sempre, e é o único lugar em que matrizes se comportam como números comuns. A multiplicação é a que importa para transformações — aplicar uma rotação e depois uma escala à mesma figura é multiplicar as duas matrizes, e a ordem em que você as multiplica é a ordem em que você as aplica. A inversão serve para desfazer: se uma matriz leva as coordenadas para um lado, a inversa as traz de volta, que é o que você quer quando tem o resultado de uma transformação e precisa da entrada que o produziu. O determinante, impresso ao lado, vale ser lido por si. Um determinante zero significa que a matriz achata o plano sobre uma reta, então entradas diferentes caem na mesma saída e nada pode ser desfeito — é a mesma afirmação que «a inversa não existe». O sinal dele diz se a matriz preserva a orientação do plano ou a inverte. Duas coisas para ter em mente ao usar a página. A multiplicação não é comutativa: trocar as duas matrizes dá uma resposta diferente, então, se você estiver compondo transformações, a ordem faz parte do problema e não é detalhe. E só o determinante da primeira matriz é mostrado, então, se você quiser também o da segunda, inverta-a sozinha — o menu, e não os campos, é o que decide qual matriz conta como a primeira.

1. 4 7 sobre 2 6, vezes 1 2 sobre 3 4

   1. Superior esquerdo: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. Superior direito: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. Inferior esquerdo: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. Inferior direito: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. Determinante de A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   A entrada com que a página abre. Cada elemento da resposta é uma linha inteira da primeira matriz contra uma coluna inteira da segunda, e é nisso que vale reparar aqui: o superior esquerdo da resposta é 25, e nenhum dos dois números que estão no superior esquerdo das entradas, 4 e 1, é 25. O produto deles é 4. O determinante 10 também é impresso, e ele é o de A — 4 e 7 sobre 2 e 6 —, não o da resposta.

2. As mesmas duas matrizes, somadas

   1. Superior esquerdo: 4 + 1 = 5
   2. Superior direito: 7 + 2 = 9
   3. Inferior esquerdo: 2 + 3 = 5
   4. Inferior direito: 6 + 4 = 10
   5. Determinante de A: continua 10, já que A é a mesma matriz do exemplo anterior

   O exemplo anterior com uma coisa trocada: o menu. Todo elemento agora é uma soma simples, e esta é a única das três operações em que matrizes se comportam como números comuns — a ordem não importa e não há nada que possa dar errado. O determinante continua 10, porque é um fato sobre A e A não mudou. Alternar o menu entre somar e multiplicar é o jeito mais rápido de ver que o determinante não é uma propriedade do cálculo.

3. Invertendo 4 7 sobre 2 6

   1. Determinante de A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. Troque os dois elementos da diagonal: 6 e 4
   3. Inverta o sinal dos dois elementos fora da diagonal: −7 vira 7, 2 vira −2
   4. Divida cada um pelo determinante: 6 ÷ 10 = 0,6, −7 ÷ 10 = −0,7, −2 ÷ 10 = −0,2, 4 ÷ 10 = 0,4
   5. Conferência: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, que é o superior esquerdo da identidade

   A primeira das três operações com condição, e os campos da segunda matriz estão vazios de propósito — inverter lê só A, e a página não reclama. A receita são sempre os mesmos quatro passos: trocar a diagonal, inverter o sinal dos outros dois, dividir pelo determinante. A conferência do fim vale ser feita à mão uma vez: multiplicar a resposta de volta pela original dá uns na diagonal e zeros fora dela, e qualquer outra coisa significa que um sinal escapou.

4. 1 2 sobre 3 4, vezes 5 6 sobre 7 8

   1. Superior esquerdo: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. Superior direito: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. Inferior esquerdo: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. Inferior direito: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. Determinante de A: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   A linha para trocar. Coloque os mesmos quatro números com A e B permutados e a resposta vira 23, 34, 31 e 46 — uma matriz completamente diferente, a partir das mesmas entradas em outra ordem. A multiplicação de matrizes não é comutativa, e é isso que aquilo significa na prática: se as duas matrizes são duas transformações, a ordem em que são multiplicadas é a ordem em que são aplicadas. Repare que o determinante de A é −2 aqui e −2 lá, já que as duas matrizes por acaso têm o mesmo determinante — as duas respostas diferem nos quatro elementos do resultado, e a coluna do determinante não consegue distingui-las.

5. Uma matriz de determinante zero, multiplicada

   1. Superior esquerdo: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. Superior direito: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. Inferior esquerdo: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. Inferior direito: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. Determinante de A: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   A primeira matriz tem determinante zero — a segunda linha dela é exatamente o dobro da primeira, então ela comprime o plano sobre uma reta — e mesmo assim a multiplicação é calculada normalmente. É esse o ponto do exemplo: determinante zero é problema para inverter e para mais nada. Peça a essa mesma página para inverter essa matriz e ela vai recusar. Peça para somar ou multiplicar e ela responde, porque as duas têm respostas perfeitamente bem definidas aqui. A coluna do determinante lê 0 nos dois casos.

Só matrizes 2×2 são aceitas, uma linha por campo, dois números em cada. Matrizes maiores precisariam de outro layout, e não de um campo maior, já que o número de células cresce com o quadrado do tamanho. Os campos da segunda matriz podem ficar vazios, e se eles precisam ser preenchidos depende da operação, não do campo: somar e multiplicar precisam das duas matrizes, inverter lê só a primeira. A inversa só existe quando o determinante não é zero, e esse teste é feito contra zero exato, não contra quase zero, o que é uma limitação real e não apenas uma decisão. Uma tolerância teria de recusar matrizes genuinamente invertíveis para pegar os casos perto da fronteira, então não há nenhuma; o preço é que uma matriz digitada com elementos decimais que é singular na aritmética exata pode produzir um determinante como 1,4e−17 em vez de 0 e ser invertida, devolvendo quatro números enormes em vez de uma recusa. Digitar números inteiros evita isso por completo, e um determinante desse tamanho já é um sinal por si. Só o determinante da primeira matriz é mostrado, então o da segunda precisa ser obtido colocando-a na primeira posição. Os componentes são lidos como números comuns: espaço, vírgula seguida de espaço ou ponto e vírgula separam os dois números de uma linha, e uma vírgula ou um ponto colado nos dígitos é o separador decimal, então 1,5 e 1.5 valem um e meio. Um separador seguido de exatamente três dígitos, porém, é recusado em vez de adivinhado: escreva 1500, e não 1.500 nem 1,500. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão, e a inversa é calculada a partir do determinante sem arredondamento, então multiplicar a resposta impressa de volta por A pode não dar exatamente uns e zeros nos números impressos. Não há unidades em lugar nenhum desta página, e nenhuma está implícita: os elementos são números puros, e as quatro casas decimais são a única coisa que se afirma sobre eles.

Por que um campo por linha em vez de um por número?

Porque uma matriz é um objeto só, e quatro campos a transformariam em quatro entradas que podem ser preenchidas de forma independente — inclusive de formas que não são uma matriz. A matriz inteira num campo único tem o problema oposto: não há como distinguir um elemento faltando de um elemento fora de lugar. Um campo por linha mantém os dois números de uma linha juntos e ainda permite que a página confira que cada linha tem exatamente dois.

Quando posso deixar a segunda matriz vazia?

Quando a operação que você escolheu não precisa dela. Inverter lê apenas a primeira matriz, então os dois campos da segunda podem ficar vazios sem que falte nada. Somar e multiplicar precisam das duas, e a página vai esperar em vez de reclamar enquanto você ainda está digitando. Se um campo precisa ser preenchido é decidido pela operação, não pelo campo.

Por que inverter uma matriz às vezes é recusado?

Porque a inversa é a matriz que desfaz a primeira, e uma matriz singular — de determinante zero — não tem inversa: ela achata o plano sobre uma reta, então entradas diferentes caem na mesma saída e nada pode ser revertido. A página recusa em vez de imprimir quatro números com cara de resposta. Somar e multiplicar essa mesma matriz funcionam normalmente.

A qual matriz o determinante pertence?

Sempre à primeira, qualquer que seja a operação escolhida, então ele fica parado enquanto você alterna entre somar, multiplicar e inverter a mesma entrada. É uma propriedade daquela matriz, não da resposta, e é ele que decide se a inversa existe. Se você quiser o determinante da segunda matriz, coloque-a na primeira posição e inverta-a.

A ordem das duas matrizes importa?

Na multiplicação, sim, e é uma diferença real, não um detalhe técnico: trocar as duas matrizes dá quatro elementos diferentes. Se elas são duas transformações, a ordem em que são multiplicadas é a ordem em que são aplicadas. A soma é a exceção — matrizes somam como números comuns, e a ordem não faz diferença nenhuma.

Para que serve a inversa?

Para desfazer a matriz. Multiplique uma matriz pela sua inversa em qualquer ordem e você obtém a identidade: uns na diagonal, zeros fora dela. É isso que a torna útil para voltar atrás — de um conjunto de coordenadas transformado para o que o produziu. A página imprime o determinante ao lado dela porque determinante zero é exatamente o caso em que isso não pode ser feito.

• Matrix — the object this page takes as input, with the definitions of addition, multiplication and the identity matrix that the three operations here follow — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — the matrix that undoes another, its formula for the 2×2 case as used on this page, and the condition that it exists only when the determinant is not zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the number the page prints beside every answer: how it is computed for a 2×2 matrix, why the inverse is divided by it, and what a value of zero says about the matrix — Wolfram MathWorld (United States)