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Calculadora de ângulo entre vetores

Resultado

60,0000 °

Ângulo entre os vetores

Cosseno do ângulo
0,5000
Ângulo em radianos
1,0472

Uma calculadora de ângulo entre vetores recebe dois vetores e devolve o ângulo entre eles, junto com o cosseno de onde esse ângulo veio e o mesmo ângulo em radianos. Digite os componentes de cada vetor separados por espaços ou vírgulas — 1 1 0 para um vetor tridimensional, 0 3 para um bidimensional — e a página faz o resto. Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, mas fora isso não há limite de quantos, e componentes negativos não são problema. A aritmética por trás da resposta é curta. Multiplique os dois primeiros componentes entre si, os dois segundos, e assim por diante, e some os produtos: isso é o produto escalar. Tire o módulo de cada vetor, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus componentes. Divida o produto escalar pelo produto dos dois módulos e você tem o cosseno do ângulo. O ângulo em si é o arco cosseno desse número. Passar pelo cosseno em vez de ir direto ao ângulo é o truque inteiro, porque o cosseno é o que o produto escalar produz naturalmente, e é também o número que vale a pena olhar: ele vai de 1, para dois vetores que apontam no mesmo sentido, passa por 0 no ângulo reto e chega a −1, para dois vetores que apontam em sentidos opostos. Esses três são os resultados que as pessoas de fato reconhecem, e nenhum deles precisa de calculadora para ser notado. Vetores perpendiculares, o caso para o qual a página é mais usada, são os de cosseno exatamente zero. Todo o resto cai em algum ponto entre esses valores, e a página informa o resultado com quatro casas decimais, em graus e em radianos ao mesmo tempo, já que metade das fórmulas do mundo quer o segundo e a maioria das pessoas lê o primeiro. Uma entrada é recusada em vez de respondida: o vetor nulo, cujo módulo é zero e que, por isso, não tem direção nenhuma. Dividir pelo seu módulo para obter um cosseno seria dividir por zero, e devolver um ângulo de zero grau seria afirmar que ele aponta no mesmo sentido que o seu vetor, então a página recusa a conta inteira.

Pares de vetores e o ângulo entre eles

Vetor uVetor vCosseno do ânguloÂngulo (°)
1 1 01 0 10.560
1 00 1090
1 0 01 0 010
-1 0 01 0 0-1180
1 11 00.707145
3 4 04 3 00.9616.2602
1 2 22 2 10.888927.266
2 -34 5-0.3032107.6501

Oito pares, e a primeira linha é a que a página carrega. A coluna do cosseno é o motivo de a tabela existir: sozinha, a coluna do ângulo esconde o padrão, e com o cosseno ao lado os três valores especiais saltam aos olhos. A primeira linha é um cosseno de exatamente 0,5 dando exatamente 60 graus, e a sexta é um cosseno de 0,96 dando 16,26 graus — entre essas duas linhas está todo o aviso desta página, o de que o cosseno comprime a faixa de 0 a 90 graus dentro do intervalo de 1 a 0, e comprime de forma desigual. A segunda linha é o ângulo reto mais simples que existe e a terceira é um vetor contra ele mesmo, dando as duas pontas da faixa do cosseno, 0 e 1, com a quarta linha fornecendo a terceira ponta, em −1, ao parear um vetor com o seu próprio oposto. Essas três linhas juntas são a escala inteira. A quinta linha é um par de 45 graus, o meio ângulo reto que aparece o tempo todo na prática, e a sétima é a tridimensional desajeitada: os dois módulos são exatamente 3, mas o produto escalar é 8, então o cosseno é 8 ÷ 9 e não termina nunca. A oitava linha é um caso obtuso com componentes de sinais misturados: um cosseno de −0,3032 e um ângulo de 107,6501, os dois concordando como têm de concordar, já que um cosseno negativo e um ângulo abaixo de 90 graus não podem estar certos ao mesmo tempo. O valor em radianos, de propósito, não é uma coluna aqui — é o mesmo ângulo em outra notação, e uma quinta coluna não diria nada de novo. Cada número é recalculado quando a página é construída, e os espaços nas duas primeiras colunas são os separadores, não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|) θ = arccos(cos θ) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

Vetor u
O primeiro vetor, escrito como seus componentes separados por espaços ou vírgulas: 1 1 0 para três dimensões, 0 3 para duas, ou quantos você precisar. Não há um número fixo de campos porque a página aceita qualquer dimensão, e os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes entre si
Vetor v
O segundo vetor, escrito do mesmo jeito e com a mesma quantidade de componentes do primeiro. Trocar os dois vetores não muda nada — o ângulo entre eles é o mesmo nas duas ordens
u · v
O produto escalar, que esta página usa mas não imprime: multiplique os dois primeiros componentes, os dois segundos, e assim por diante, e some os produtos. Aqui ele é a matéria-prima do ângulo, não uma resposta por si só
|u| e |v|
O módulo de cada vetor, na unidade em que os componentes foram medidos: a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus componentes. São os dois números pelos quais o produto escalar é dividido, e cada um é assunto do seu próprio vetor — um deles ser grande não diz nada sobre o outro
cos θ
O cosseno do ângulo entre os dois vetores: o produto escalar dividido pelo produto dos dois módulos. Ele vai de 1, para vetores que apontam no mesmo sentido, passa por 0 no ângulo reto e chega a −1, para vetores que apontam em sentidos opostos, e nunca sai dessa faixa. É desse número que o ângulo é de fato calculado, e é por isso que a página o imprime
θ
O ângulo entre os dois vetores, em graus, de 0 quando eles apontam no mesmo sentido, passando por 90 quando são perpendiculares, até 180 quando apontam em sentidos opostos. É o arco cosseno do número acima, então herda a faixa dele e nunca pode voltar fora dela
Radianos
O mesmo ângulo escrito do outro jeito: 180 graus são π radianos, 90 é metade disso, e a saída é um número puro, sem unidade. As fórmulas de cálculo e a maioria das linguagens de programação querem radianos, então a página dá os dois em vez de obrigar você a multiplicar por π e dividir por 180
Graus
A unidade da saída principal, e a única saída da página que tem unidade. O cosseno e o valor em radianos são números puros
Quatro casas decimais
A largura com que todas as saídas são escritas. O cosseno só é exato nos casos especiais — 0, 0,5, 1 e −1 — e o ângulo só é exato quando o cosseno é um desses, então quase toda linha desta página carrega números arredondados

Esta é a página para quando você quer o ângulo em si, e não apenas a relação entre duas direções. Três ângulos valem ser reconhecidos sem conta nenhuma: um cosseno de 1 significa 0 grau e vetores que apontam no mesmo sentido, um cosseno de 0 significa 90 graus e vetores perpendiculares, e um cosseno de −1 significa 180 graus e vetores em sentidos opostos. Qualquer outro valor é um ângulo de verdade, e a página o dá com quatro casas decimais. O uso real mais comum é conferir uma direção contra uma de referência — quanto o vento virou em relação ao norte, quanto uma câmera girou, quanto uma direção medida se afastou da que deveria ter. Problemas de geometria com duas direções conhecidas são a mesma conta, e o ângulo entre duas retas também, depois que você escreve cada uma como vetor. A conferência útil em qualquer resposta é que o cosseno e o ângulo contem a mesma história: um cosseno acima de zero sempre anda junto com um ângulo abaixo de 90 graus, um cosseno negativo com um ângulo acima disso, e um cosseno de zero com exatamente 90. Se os dois discordarem, os componentes não são o que você pensava. A saída em radianos existe para o caso em que o ângulo vai entrar numa fórmula ou numa linha de código, já que essas quase sempre querem radianos, e converter à mão é de onde vêm os erros de sinal e os erros de fator 180.

Exemplos resolvidos

  1. 1 1 0 e 1 0 1

    1. Produto escalar: 1 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 1
    2. Módulo de u: √(1 + 1 + 0) = √2 = 1,414214
    3. Módulo de v: √(1 + 0 + 1) = √2 = 1,414214
    4. Cosseno: 1 ÷ (1,414214 × 1,414214) = 1 ÷ 2 = 0,5
    5. Ângulo: o arco cosseno de 0,5 é 60 graus, que são 60 × π ÷ 180 = 1,047198 radianos

    A entrada com que a página abre, e a linha mais limpa que existe: o cosseno dá exatamente um meio e o ângulo, exatamente 60 graus. Repare que o produto escalar, 1, não aparece em lugar nenhum do painel — esta página imprime o cosseno e o ângulo, e o produto escalar é o passo do meio. Os dois módulos são a raiz de dois, então o produto deles é exatamente 2, e é por isso que o cosseno e o ângulo saem exatos em vez de arredondados.

  2. 3 4 0 e 4 3 0

    1. Produto escalar: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 24
    2. Módulo de cada um: √(9 + 16) = 5, já que o terceiro componente é zero
    3. Cosseno: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96
    4. Ângulo: o arco cosseno de 0,96 é 16,2602 graus, que são 0,2838 radianos

    A linha que mostra por que vale a pena imprimir o cosseno. Um cosseno de 0,96 soa como dois vetores quase idênticos, e o ângulo é de 16,26 graus — cerca de um sexto de um ângulo reto. O cosseno comprime toda a faixa de 0 a 90 graus dentro dos números entre 1 e 0, e comprime de forma desigual, que é por que ler o cosseno como fração de qualquer coisa dá errado. Aqui os dois módulos são exatamente 5, então o triângulo 3-4-5 está fazendo o trabalho de sempre.

  3. 1 0 e 0 1

    1. Produto escalar: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Módulo de cada um: 1
    3. Cosseno: 0 ÷ 1 = 0
    4. Ângulo: o arco cosseno de zero é exatamente 90 graus, que são 1,570796 radianos

    A resposta pela qual a página é mais aberta, e o caso exato: um cosseno de zero significa vetores perpendiculares, e o ângulo volta como exatamente 90, não como um número arredondado. Esses dois são o par perpendicular mais simples que existe, um ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y. O valor em radianos, 1,5708, é π ÷ 2.

  4. -1 0 0 e 1 0 0

    1. Produto escalar: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Módulo de cada um: 1
    3. Cosseno: −1 ÷ 1 = −1
    4. Ângulo: o arco cosseno de −1 é exatamente 180 graus, que são 3,141593 radianos

    A outra ponta da faixa. Um cosseno de −1 é o maior ângulo que dois vetores podem fazer, 180 graus, e o valor em radianos é π. Dois vetores apontando em sentidos exatamente opostos continuam sendo dois vetores, e o ângulo entre eles não é zero — esta é a linha para olhar quando uma resposta de 180 parece errada. Não é: oposto é uma relação, do mesmo jeito que paralelo é.

  5. 2 -3 e 4 5

    1. Produto escalar: 2 × 4 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7
    2. Módulo de u: √(4 + 9) = √13 = 3,605551
    3. Módulo de v: √(16 + 25) = √41 = 6,403124
    4. Cosseno: −7 ÷ (3,605551 × 6,403124) = −7 ÷ 23,086793 = −0,303201
    5. Ângulo: o arco cosseno de −0,303201 é 107,6501 graus, que são 1,8788 radianos

    Uma resposta obtusa, que é o caso que pega as pessoas de surpresa: dois vetores podem formar um ângulo maior que 90 graus, e formam sempre que o produto escalar é negativo. Um componente de u é negativo aqui, que é como se escreve um vetor apontando para a esquerda ou para baixo. O cosseno de −0,3032 é pequeno, mas o sinal dele é a mensagem inteira — ele diz que os dois vetores se inclinam para lados opostos, e o ângulo de 107,6501 graus concorda com isso.

Limitações

Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e um par que não bate é recusado em vez de completado com zeros. O vetor nulo é recusado por inteiro: um vetor cujos componentes são todos zero não tem direção, então o ângulo entre ele e qualquer outra coisa é indefinido, e a página recusa a conta toda em vez de mostrar um ângulo de zero que seria lido como «aponta no mesmo sentido». Os componentes são lidos como números comuns: espaço, vírgula seguida de espaço ou ponto e vírgula separam componentes, e uma vírgula ou um ponto colado nos dígitos é o separador decimal, então 1,5 e 1.5 valem um e meio. Um separador seguido de exatamente três dígitos, porém, é recusado em vez de adivinhado, porque não há como saber se é agrupamento de milhar ou decimal: escreva 1500, e não 1.500 nem 1,500. Cada vetor aceita até 200 componentes, muito além de qualquer caso escrito à mão, mas longe dos tamanhos que um fluxo de dados usaria. O produto escalar não está entre as saídas, de propósito: ele é o passo do qual o ângulo é calculado, e a página que o imprime como resposta é outra. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão, e as duas saídas são calculadas a partir dos módulos sem arredondamento, então multiplicar de volta os números impressos pode não reproduzir o ângulo impresso exatamente. Nada na página sabe em que os componentes foram medidos — as entradas são números puros, e o cosseno e o valor em radianos também, sendo os graus a única unidade em toda a página.

Perguntas frequentes

Como eu digito os componentes?
Separe-os com espaços ou com vírgula e espaço: 1 1 0 e 1, 1, 0 funcionam igual. Vírgula ou ponto colado nos dígitos é lido como separador decimal (1,5 e 1.5 valem um e meio); um agrupamento de milhar como 1.500 ou 1,500 é recusado em vez de adivinhado, então escreva 1500. Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e não há limite de quantos desde que batam — duas dimensões e três dimensões são a mesma página.
Para que serve o cosseno do ângulo?
É o número do qual o ângulo é calculado, e nos três casos que importam ele é mais fácil de ler que o ângulo. Um cosseno de 1 significa vetores no mesmo sentido, 0 significa perpendiculares e −1 significa opostos. Qualquer valor no meio é um ângulo de verdade, e a página o dá em graus e em radianos.
Como eu sei se dois vetores são perpendiculares?
O cosseno do ângulo entre eles é zero, e a página vai mostrar exatamente 90 graus. Esse teste não precisa de nada da trigonometria que a saída de ângulo usa — ele é verdadeiro exatamente quando o produto escalar é zero, o que exige só as multiplicações. Esta página mostra o cosseno justamente para que o caso do ângulo reto fique visível sem conta nenhuma.
Por que o ângulo nunca passa de 180 graus?
Porque o cosseno do ângulo está limitado entre −1 e 1, e o arco cosseno só devolve valores de 0 a 180 graus. Um ângulo de 180 graus significa que os dois vetores apontam em sentidos exatamente opostos, e não existe ângulo de 200 graus entre duas direções — 200 e 160 descrevem o mesmo par de setas.
Por que há duas saídas de ângulo, graus e radianos?
Porque os dois públicos são diferentes. As pessoas leem graus; fórmulas e linguagens de programação quase sempre querem radianos, e 180 graus são π radianos. Imprimir os dois significa que ninguém precisa multiplicar por π e dividir por 180, que é de onde vêm os erros de fator 180. O valor em radianos é um número puro, sem unidade.
Por que a página recusa um vetor de componentes todos zero?
Porque o vetor nulo não tem direção, então o ângulo entre ele e qualquer outra coisa é indefinido. O módulo dele é zero e o cosseno é o produto escalar dividido pelo produto dos dois módulos, então calculá-lo seria dividir por zero. Uma página que devolvesse 0 grau estaria dizendo que ele aponta no mesmo sentido que o seu vetor, o que é uma afirmação sobre uma direção que não existe.

Referências

Calculadoras relacionadas

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