O que é um vetor unitário?

Um vetor de módulo 1 apontando numa direção dada. É o que se obtém dividindo um vetor pelo seu próprio módulo, e ele carrega a direção sem o tamanho. Dois vetores que diferem apenas no comprimento têm o mesmo vetor unitário, e é isso que faz dele o jeito de comparar direções em escalas diferentes.

Por que a quarta linha mostra o módulo da entrada e não 1?

Porque o módulo de um vetor unitário é 1 em todos os casos, e uma linha lendo 1,0000 para sempre seria uma constante em vez de um resultado. O módulo da entrada é o número que foi dividido para fora, então imprimi-lo torna a divisão visível: digite 3 4, veja 5, e leia que 0,6 e 0,8 são cada um daqueles sobre 5.

Posso digitar um vetor com apenas dois componentes?

Pode, e o terceiro componente volta como 0. Isso não é preenchimento — um vetor bidimensional está no plano, e 0 é o que o terceiro componente dele vale quando a mesma direção é escrita em três coordenadas. O painel tem três linhas de componente, então entradas de dois e de três componentes dividem o mesmo layout.

Por que a resposta mantém o sinal de menos?

Porque dividir por um módulo não tem como virar um vetor ao contrário. O módulo é um número positivo, então cada componente conserva o seu sinal: o vetor unitário de −3 4 é −0,6 e 0,8. Se você esperava que a resposta viesse positiva, essa seria outra direção, não a mesma normalizada.

Por que um vetor de componentes todos zero é recusado?

Porque normalizá-lo significa dividir pelo seu módulo, e o módulo dele é zero. Além da divisão há uma segunda razão: o vetor nulo não tem direção nenhuma, então não há nada para a resposta preservar. As páginas de ângulo e de produto escalar também o recusam, enquanto a de produto vetorial o aceita — lá ele de fato produz o vetor nulo.

Para que serve normalizar um vetor?

Para separar uma direção de um tamanho. As fórmulas de reflexão, de projeção e de iluminação pressupõem que o vetor entregue a elas tem módulo 1, e passar um de módulo 5 no lugar escala a resposta por 5 sem nenhum aviso. Comparar duas direções medidas em escalas diferentes é o outro uso: normalize as duas e os tamanhos param de atrapalhar.

Calculadora de vetor unitário

Resultado

0,6000

Componente x do vetor unitário

Componente y do vetor unitário: 0,8000
Componente z do vetor unitário: 0,0000
Módulo do vetor: 5,0000

Uma calculadora de vetor unitário transforma um vetor no vetor de módulo 1 que aponta na mesma direção, e imprime o módulo pelo qual ela dividiu. Digite os componentes separados por espaços ou vírgulas — 3 4 para um vetor bidimensional, 2 3 6 para um tridimensional — e a página faz o resto. Dois ou três componentes são aceitos, e somente essas duas contagens: o painel tem três linhas de componente, e um vetor de uma dimensão é, na verdade, um número com sinal e não uma direção. A aritmética é uma única divisão. Meça o módulo do vetor, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus componentes, e divida cada componente por ele. O resultado tem módulo 1 por construção, aponta exatamente ao longo da mesma reta do input, e é chamado de vetor unitário naquela direção. Para que serve a resposta é separar direção de tamanho. Dois vetores que diferem apenas no módulo têm o mesmo vetor unitário, o que faz dele o jeito natural de comparar direções quando os módulos não são comparáveis — a velocidade de um vento contra um rumo de bússola, ou uma inclinação medida contra uma de referência. É também assim que uma direção entra numa fórmula que pressupõe uma entrada normalizada, que é a maioria das fórmulas de geometria e de computação gráfica. Dois detalhes valem ser conhecidos antes de usar a saída. O sinal da resposta acompanha o input: o vetor unitário de 3 4 é 0,6 e 0,8, e o vetor unitário de −3 4 é −0,6 e 0,8. Dividir por um módulo positivo não tem como inverter uma direção, e um vetor apontando para a esquerda ou para baixo é uma entrada perfeitamente comum. E o módulo impresso ao lado é o módulo do vetor que você digitou, não o da resposta — o módulo da resposta é 1 por definição e não diria nada. Ver o módulo do input é o que torna a divisão visível: os números no painel são aquele módulo dividido para fora dos números que estão no campo. A única entrada recusada é o vetor nulo, cujo módulo é zero, o que não deixa nada pelo que dividir e, mais importante, nenhuma direção a preservar.

Vetores e seus vetores unitários

Vetor	Módulo do vetor	Componente x do vetor unitário	Componente y do vetor unitário	Componente z do vetor unitário
3 4	5	0.6	0.8	0
1 0	1	1	0	0
1 1	1.4142	0.7071	0.7071	0
0 5	5	0	1	0
-3 4	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071

Oito vetores e seus vetores unitários, e a segunda coluna é a que faz a tabela valer a pena: ela guarda o divisor, não a constante 1 que sai no fim. A primeira linha é a que a página carrega, e ela sai exata dos dois lados, um triângulo 3-4-5 dando módulo 5 e dois componentes decimais que são exatos. A segunda e a quarta linhas são vetores já deitados sobre um eixo, então o vetor unitário é a própria direção do eixo, e a quarta delas tem módulo 5 em vez de 1 — o lugar mais claro para ver que a coluna guarda o módulo da entrada e não o da resposta. A terceira linha é o caso de componentes iguais no plano, dando dois componentes de 0,7071 e um módulo de √2. A quinta linha é a primeira com o sinal trocado em um dos números, e o sinal do vetor unitário acompanha: −0,6 e 0,8. Nada em normalizar vira um vetor ao contrário, e esta linha é a prova. A sexta e a sétima linhas são tridimensionais: uma com módulo inteiro 7 e nenhum componente exato, outra com módulo √3 e três componentes iguais. A oitava tem o terceiro componente negativo e dá o único vetor unitário da tabela com z negativo. Não há linha para o vetor nulo, de propósito: ele não tem direção e a página o recusa. Todo número é recalculado quando a página é construída, e os espaços na primeira coluna são os separadores, não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

Vetor u: O vetor a normalizar: dois ou três números separados por espaços ou vírgulas, como 3 4. Dois componentes é um vetor no plano e três é um vetor no espaço; não há campo de quantidade a preencher, e é o comprimento da lista que diz qual dos dois você quis
|u|: O módulo do vetor de entrada: a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus componentes. É o número pelo qual tudo é dividido, e é a quarta saída do painel — o módulo do vetor que você digitou, não o do vetor unitário, cujo módulo é sempre 1
û: O vetor unitário: cada componente da entrada dividido pelo seu módulo. Ele aponta exatamente ao longo da mesma reta da entrada e tem módulo 1, então os dois diferem no tamanho e não na direção. O circunflexo é a forma padrão de escrevê-lo
Componente x: O primeiro componente da resposta: o primeiro componente da entrada dividido pelo módulo. O sinal dele é o sinal da entrada — dividir por um módulo positivo não inverte uma direção, então um vetor apontando para a esquerda dá um vetor unitário apontando para a esquerda
Componente y: O segundo componente, dividido do mesmo jeito. Com o componente x ele fixa a direção no plano, qualquer que seja o módulo do original
Componente z: O terceiro componente, dividido do mesmo jeito, e 0 quando a entrada tem dois componentes. Esse zero não é preenchimento: um vetor bidimensional está no plano, e a mesma direção escrita em três coordenadas tem o terceiro componente exatamente 0
|û| = 1: A propriedade para a qual a resposta foi construída, e a razão de ela não ser impressa como quinta linha. O módulo de um vetor unitário é 1 em todos os casos, então uma linha do painel lendo 1,0000 seria uma constante fantasiada de resultado
Quatro casas decimais: A largura com que as saídas são escritas. Exatas só quando o módulo da entrada dá um número inteiro ou uma raiz curta — 3 4 dá 5, e terços e raízes em geral não fecham redondo

Use esta página quando você quer a direção sozinha, sem o tamanho junto. O caso mais claro é comparar duas direções cujos módulos estão em escalas diferentes: dois vetores que diferem apenas no módulo têm o mesmo vetor unitário, então normalizar tira justamente a parte que você não estava pedindo. O outro caso comum é preparar uma entrada para uma fórmula que pressupõe um vetor de módulo 1 — reflexões, projeções e cálculos de iluminação pressupõem, e entregar a elas um vetor de módulo 5 escala a resposta por 5 sem avisar. O módulo impresso ao lado é o que torna a divisão conferível: 3 4 dá 0,6 e 0,8, e dá para ver o 5 saindo dos dois. Duas coisas para lembrar. A saída carrega os sinais da entrada, então um vetor apontando para a esquerda ou para baixo dá um vetor unitário apontando para a esquerda ou para baixo — normalizar muda o tamanho de um vetor e nada mais. E o módulo da saída é 1 seja o que for que você digitou, que é por isso que a página imprime o módulo da entrada; é ele o número que tem informação. Um vetor de dois componentes é válido e volta com o terceiro componente em 0, porque é assim que a mesma direção se escreve em três coordenadas. O vetor nulo é a única entrada recusada, já que não tem direção para normalizar.

Exemplos resolvidos

3 4
1. Módulo: √(9 + 16) = √25 = 5
2. Componente x: 3 ÷ 5 = 0,6
3. Componente y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0, já que um vetor de dois componentes está no plano
A entrada com que a página abre, e o caso mais limpo que existe: um triângulo 3-4-5 faz o módulo dar um número inteiro, então os dois componentes saem exatos. É esta a linha que mostra para que serve a quarta saída — o 5 no painel é o módulo pelo qual 3 e 4 foram divididos, e ler 0,6 e 0,8 ao lado dele é a conta inteira. Confira elevando ao quadrado: 0,36 + 0,64 = 1.
2 3 6
1. Módulo: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
2. Componente x: 2 ÷ 7 = 0,285714
3. Componente y: 3 ÷ 7 = 0,428571
4. Componente z: 6 ÷ 7 = 0,857143
Um caso tridimensional cujo módulo também dá um número inteiro, 7, enquanto nenhum dos três componentes dá: os três são dízimas periódicas arredondadas em quatro casas. Essa combinação é o caso comum e não uma esquisitice — módulo inteiro é bastante frequente, componentes inteiros do vetor unitário não são. A direção é a mesma de 2 3 6, e o módulo foi dividido para fora dela.
-3 4
1. Módulo: √(9 + 16) = √25 = 5, o mesmo de 3 4
2. Componente x: −3 ÷ 5 = −0,6
3. Componente y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0
O primeiro exemplo com o primeiro componente negativado, e o vetor unitário mantém o sinal: −0,6 e 0,8. Dividir por um módulo positivo não tem como virar um vetor ao contrário, e é nesta linha que isso fica visível. Um vetor apontando para a esquerda e para cima é uma entrada perfeitamente comum, e o vetor unitário dele aponta para a esquerda e para cima também. O módulo é 5 nos dois casos, já que negativar um componente não o altera.
0 5
1. Módulo: √(0 + 25) = 5
2. Componente x: 0 ÷ 5 = 0
3. Componente y: 5 ÷ 5 = 1
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0
Um vetor já deitado sobre um dos eixos, então o vetor unitário é a própria direção do eixo: 0, 1, 0. A quarta saída é a linha para olhar aqui — ela lê 5, não 1. Um vetor de módulo 5 apontando para cima tem um vetor unitário de módulo 1, e o painel diz isso imprimindo o módulo que foi dividido para fora em vez da constante 1 que sobrou.
1 1 1
1. Módulo: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1,732051
2. Cada componente: 1 ÷ 1,732051 = 0,577350
A diagonal de um cubo, e os três componentes saem iguais — como têm de sair, já que os três componentes da entrada eram iguais e dividi-los todos pelo mesmo número não pode desfazer o empate. O módulo é uma raiz e não um número inteiro, então nada aqui é exato. Confira o resultado do jeito que a própria definição da página manda: 0,5774 ao quadrado é 0,3334, e três desses somam 1 dentro do arredondamento.

Limitações

Dois ou três componentes são aceitos, e só esses: um número é uma grandeza com sinal e não uma direção, e quatro ou mais não cabem nas três linhas de componente do painel. Um vetor de dois componentes não é completado até três em nenhum sentido real — ele está no plano, e o 0 da terceira linha é a cara que essa mesma direção tem em três coordenadas, que é por que a página não precisa perguntar qual dos dois você quis dizer. O vetor nulo é recusado por inteiro: o módulo dele é zero, então não haveria pelo que dividir, e ele não tem direção para a resposta preservar. Os componentes são lidos como números comuns: espaço, vírgula seguida de espaço ou ponto e vírgula separam componentes, e uma vírgula ou um ponto colado nos dígitos é o separador decimal, então 1,5 e 1.5 valem um e meio. Um separador seguido de exatamente três dígitos, porém, é recusado em vez de adivinhado: escreva 1500, e não 1.500 nem 1,500. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão, e os componentes são calculados a partir do módulo sem arredondamento, então os números impressos podem não fechar em 1 ao serem elevados ao quadrado e somados. O módulo impresso no painel é o da entrada, não o da resposta; o módulo da resposta é 1 por definição, e imprimi-lo seria imprimir uma constante. Nada nesta página sabe em que os componentes foram medidos — um vetor unitário não tem unidade, que é justamente a graça dele, e o módulo carrega a unidade que a entrada tinha. Há uma sutileza aritmética que vale enunciar: o sinal de cada componente acompanha a entrada, então um vetor apontando para a esquerda dá um vetor unitário apontando para a esquerda. Se você esperava uma resposta positiva, esperava outro vetor.

Perguntas frequentes

O que é um vetor unitário?: Um vetor de módulo 1 apontando numa direção dada. É o que se obtém dividindo um vetor pelo seu próprio módulo, e ele carrega a direção sem o tamanho. Dois vetores que diferem apenas no comprimento têm o mesmo vetor unitário, e é isso que faz dele o jeito de comparar direções em escalas diferentes.
Por que a quarta linha mostra o módulo da entrada e não 1?: Porque o módulo de um vetor unitário é 1 em todos os casos, e uma linha lendo 1,0000 para sempre seria uma constante em vez de um resultado. O módulo da entrada é o número que foi dividido para fora, então imprimi-lo torna a divisão visível: digite 3 4, veja 5, e leia que 0,6 e 0,8 são cada um daqueles sobre 5.
Posso digitar um vetor com apenas dois componentes?: Pode, e o terceiro componente volta como 0. Isso não é preenchimento — um vetor bidimensional está no plano, e 0 é o que o terceiro componente dele vale quando a mesma direção é escrita em três coordenadas. O painel tem três linhas de componente, então entradas de dois e de três componentes dividem o mesmo layout.
Por que a resposta mantém o sinal de menos?: Porque dividir por um módulo não tem como virar um vetor ao contrário. O módulo é um número positivo, então cada componente conserva o seu sinal: o vetor unitário de −3 4 é −0,6 e 0,8. Se você esperava que a resposta viesse positiva, essa seria outra direção, não a mesma normalizada.
Por que um vetor de componentes todos zero é recusado?: Porque normalizá-lo significa dividir pelo seu módulo, e o módulo dele é zero. Além da divisão há uma segunda razão: o vetor nulo não tem direção nenhuma, então não há nada para a resposta preservar. As páginas de ângulo e de produto escalar também o recusam, enquanto a de produto vetorial o aceita — lá ele de fato produz o vetor nulo.
Para que serve normalizar um vetor?: Para separar uma direção de um tamanho. As fórmulas de reflexão, de projeção e de iluminação pressupõem que o vetor entregue a elas tem módulo 1, e passar um de módulo 5 no lugar escala a resposta por 5 sem nenhum aviso. Comparar duas direções medidas em escalas diferentes é o outro uso: normalize as duas e os tamanhos param de atrapalhar.

Referências

Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)

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