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CalcMax

Calculadora de projeção de vetores

Resultado

3,0000

Projeção escalar

Componente x da projeção
3,0000
Componente y da projeção
0,0000
Componente z da projeção
0,0000

A calculadora de projeção de vetores calcula quanto de um vetor está na direção de outro e informa a resposta duas vezes: como um escalar com sinal e como um vetor. Digite os dois como listas de números, por exemplo 3 4 e 1 0, e a página dá primeiro a projeção escalar — o comprimento da sombra que o primeiro vetor lança ao longo do segundo, negativo quando os dois se inclinam em sentidos opostos — e em seguida o vetor da projeção, que é essa mesma sombra escrita como um vetor de verdade deitado sobre o segundo. A projeção escalar é o produto escalar dividido pelo módulo do vetor de destino; o vetor da projeção pega esse número e devolve a direção a ele. Dois ou três componentes são aceitos, e os dois vetores precisam ter a mesma quantidade. Mostrar as duas saídas é o ponto da página e não uma redundância: a projeção escalar mede ao longo de uma reta e por isso mantém um sinal, enquanto o vetor da projeção só sabe qual é a reta, então inverter o vetor de destino troca o sinal da primeira saída e deixa a segunda intacta. O vetor de destino não pode ser o vetor nulo, já que não haveria direção sobre a qual projetar; o vetor de origem pode ser nulo, e a projeção dele é então zero.

Vetores e as suas projeções

Vetor de origem uVetor de destino vProjeção escalar de u sobre vComponente x da projeçãoComponente y da projeçãoComponente z da projeção
3 41 03300
1 23 42.21.321.760
3 4-1 0-3300
1 00 10000
1 1 11 1 11.7321111
2 3 61 1 16.35093.66673.66673.6667
0 03 40000
1 2 22 2 12.66671.77781.77780.8889

Oito pares, projetados num único sentido, com o escalar primeiro e depois os três componentes do vetor a que ele corresponde. A primeira e a terceira linhas são um par casado e a razão de valer a pena ler a tabela: a origem é 3 4 nas duas, o destino é 1 0 numa e −1 0 na outra, e a projeção escalar passa de 3 para −3 enquanto o vetor da projeção continua exatamente (3, 0, 0) nos dois casos. Negativar o destino põe um sinal de menos no numerador e outro no denominador ao quadrado, então o vetor não percebe e o escalar percebe. A segunda linha é o caso comum, com nenhum dos dois vetores normalizado, e o escalar sai num 2,2 limpo enquanto os componentes não. A quarta linha é o par perpendicular: o escalar é 0 e o vetor da projeção é o vetor nulo, o que é uma resposta correta e o único lugar da tabela em que as duas saídas se anulam juntas sem que nenhuma das entradas seja nula. A quinta linha projeta um vetor sobre ele mesmo, então o escalar é o módulo dele, √3, e os componentes voltam iguais. A sexta linha é tridimensional com um destino de componentes iguais, dando três componentes iguais na projeção. A sétima linha é o vetor nulo como origem, aceito com projeção zero. A oitava linha é um par tridimensional cuja projeção tem três componentes que não são todos iguais, 1,7778, 1,7778 e 0,8889: é a única das três linhas tridimensionais cujos três componentes não coincidem, já que a quinta dá 1 nos três e a sexta dá 3,6667 nos três. Não há linha com vetor de destino nulo, de propósito: esse caso é recusado, porque o destino fornece tanto a direção quanto o divisor. Todo número é recalculado quando a página é construída; os espaços nas duas primeiras colunas são separadores e não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

s = (u · v) ÷ |v| proj_v u = (s ÷ |v|) · v = ((u · v) ÷ |v|²) · v

Vetor de origem u
O vetor que está sendo projetado — aquele cuja sombra se quer. Dois ou três números separados por espaços ou vírgulas. Ele pode ser o vetor nulo, e a projeção dele é então simplesmente zero
Vetor de destino v
O vetor sobre o qual a sombra cai, e o que fornece a direção. Esta caixa e a outra não são intercambiáveis: trocá-las muda a resposta, e é por isso que elas são rotuladas pelo papel que cumprem em vez de numeradas
u · v
O produto escalar dos dois vetores: cada par de componentes multiplicado e os produtos somados. Ele aparece no numerador das duas fórmulas, então vale notar que um produto escalar igual a zero significa que os dois vetores são perpendiculares — que é o caso que produz uma projeção nula
|v|
O módulo do vetor de destino, que é por ele que o produto escalar é dividido. Se o destino tiver módulo 1, essa divisão não muda nada e a projeção escalar é então apenas o produto escalar — a primeira linha da tabela de referência é esse caso, e é a linha mais fácil de conferir à mão
s
A projeção escalar: o quanto a origem alcança ao longo da direção do destino, como um número com sinal. Ela é negativa quando os dois apontam em direções amplamente opostas e zero quando são perpendiculares. Não é o módulo do vetor de origem nem o produto escalar — é o produto escalar dividido pelo módulo do destino
proj_v u
O vetor da projeção: a projeção escalar multiplicada pelo vetor unitário do destino, o que devolve a direção e dá um vetor deitado exatamente sobre a reta do destino. O módulo dele é o valor absoluto de s
Sinal de s
O que inverter o destino faz. Negativar o vetor de destino troca o sinal da projeção escalar, porque o numerador muda de sinal e o módulo ao quadrado no denominador não — mas o vetor da projeção fica inalterado, já que a mesma negação aparece uma vez em cima e uma vez embaixo
Vetor de destino nulo
Recusado. O destino fornece a direção e o divisor, e o vetor nulo não tem nenhum dos dois: o denominador seria zero e não há reta sobre a qual projetar. Um vetor de origem nulo é outra história e é aceito, dando uma projeção zero
Sem unidade
A projeção escalar e os três componentes do vetor da projeção são todos números puros aqui. A projeção escalar tem a mesma unidade das componentes de entrada, já que é um comprimento medido nelas, mas nada nesta página sabe qual era essa unidade
Quatro casas decimais
A largura com que as saídas são escritas. A projeção escalar muitas vezes é uma fração limpa das entradas — 11 dividido por 5 dá 2,2 exatamente —, enquanto os componentes do vetor quase sempre saem arredondados

Use esta página quando você quer a parte de um vetor que aponta ao longo de outro, que é o passo por trás de toda decomposição em componentes. Tomar as partes horizontal e vertical de uma força é uma projeção sobre os dois eixos; o trabalho realizado por uma força é a projeção da força sobre a direção do movimento multiplicada pela distância; uma sombra, uma componente ao longo de uma rampa e o coeficiente de um ajuste por mínimos quadrados são todos a mesma operação. As duas saídas respondem a duas perguntas diferentes sobre ela. O escalar com sinal responde quanto, incluindo para que lado: é ele que se usa na aritmética seguinte, em que um valor negativo significa que a origem se inclina para longe do destino. O vetor responde onde, e é ele que se usa quando a resposta tem de ser um vetor — ele está deitado exatamente sobre a reta do destino, então pode ser somado a outra coisa ou desenhado. Inverter o vetor de destino é o jeito mais rápido de ver a diferença: o escalar troca de sinal e o vetor não, porque o escalar é medido em relação a uma orientação e o vetor não. Vetores perpendiculares dão projeção zero nas duas saídas, e zero é uma resposta de verdade — ela diz que a origem não tem nenhuma componente ao longo do destino. A única entrada que não pode ser usada é o vetor de destino nulo, já que direção e divisor são exatamente o que ele não tem para oferecer.

Exemplos resolvidos

  1. 3 4 sobre 1 0

    1. Produto escalar: 3 × 1 + 4 × 0 = 3
    2. Módulo do vetor de destino: |1 0| = 1
    3. Projeção escalar: 3 ÷ 1 = 3
    4. Vetor da projeção: (3 ÷ 1) × (1, 0) = (3, 0, 0)

    A entrada com que a página abre, e o caso em que nada fica escondido: o vetor de destino é unitário, então dividir pelo módulo dele não muda nada e a projeção escalar é o próprio produto escalar. É também o caso mais fácil de conferir a olho, porque o destino está deitado sobre o eixo x e a projeção é o vetor de origem com o componente y descartado. É exatamente isso que uma projeção faz no cenário mais simples possível — guarda a parte do vetor que aponta ao longo do destino e descarta o resto.

  2. 1 2 sobre 3 4

    1. Produto escalar: 1 × 3 + 2 × 4 = 11
    2. Módulo do vetor de destino: √(9 + 16) = 5
    3. Projeção escalar: 11 ÷ 5 = 2,2
    4. Vetor da projeção: (2,2 ÷ 5) × (3, 4) = (1,32, 1,76, 0)

    O caso comum, em que o vetor de destino não é unitário e as duas divisões precisam ser feitas. A projeção escalar sai exata — 11 dividido por 5 é 2,2 —, enquanto os componentes do vetor não saem. Confira que a resposta está realmente sobre a reta do destino: 1,32 dividido por 3 é 0,44 e 1,76 dividido por 4 é 0,44, então os dois componentes estão na mesma razão dos componentes do destino, que é o que significa estar nessa reta. O módulo da projeção é 2,2, o escalar, como devia ser.

  3. 3 4 sobre −1 0

    1. Produto escalar: 3 × (−1) + 4 × 0 = −3
    2. Módulo do vetor de destino: |−1 0| = 1
    3. Projeção escalar: −3 ÷ 1 = −3
    4. Vetor da projeção: (−3 ÷ 1) × (−1, 0) = (3, 0, 0)

    O mesmo vetor de origem e a mesma reta do primeiro exemplo, com o destino apontando para o outro lado, e a demonstração mais clara que a página tem do que cada uma das duas saídas sabe. A projeção escalar virou −3: ela é medida ao longo de uma orientação, e a orientação mudou. O vetor da projeção é exatamente o do primeiro exemplo, (3, 0, 0), porque negativar o destino introduz um sinal de menos no numerador e outro no denominador ao quadrado, e os dois se cancelam. O escalar sabe para que lado o destino aponta; o vetor só sabe qual é a reta.

  4. 1 0 sobre 0 1

    1. Produto escalar: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Módulo do vetor de destino: |0 1| = 1
    3. Projeção escalar: 0 ÷ 1 = 0
    4. Vetor da projeção: (0 ÷ 1) × (0, 1) = (0, 0, 0)

    Dois vetores perpendiculares, e a projeção é zero nas duas saídas. Essa é uma resposta de verdade e não uma falha: ela diz que a origem não tem nenhuma parte apontando ao longo do destino, que é exatamente o que perpendicular significa. Um produto escalar igual a zero é o sinal a procurar, e é o único jeito de obter uma projeção escalar nula sem que um dos vetores seja nulo. Os dois vetores têm módulo 1 aqui, então nenhum deles é pequeno — uma projeção zero entre dois vetores de comprimento cheio merece uma pausa na primeira vez que aparece.

  5. 0 0 sobre 3 4

    1. Produto escalar: 0 × 3 + 0 × 4 = 0
    2. Módulo do vetor de destino: √(9 + 16) = 5
    3. Projeção escalar: 0 ÷ 5 = 0
    4. Vetor da projeção: (0 ÷ 5) × (3, 4) = (0, 0, 0)

    O vetor nulo como origem: todo produto dentro do produto escalar é zero, então as duas saídas são zero sem que apareça nenhum problema de divisão. Nada nesta página recusa essa entrada. A recusa corre para o outro lado — é o vetor de destino que não pode ser nulo, porque é ele que fornece a direção e o divisor, e uma projeção sobre o vetor nulo não tem reta onde aterrissar.

Limitações

Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e cada um precisa ter dois ou três. As duas caixas não são intercambiáveis e os rótulos dizem qual é qual: a origem é o vetor que está sendo projetado e o destino é aquele sobre o qual se projeta. Trocá-las produz uma resposta diferente que parece inteiramente razoável, então, se um resultado surpreender você, confira as duas caixas antes de conferir a aritmética. O vetor de destino não pode ser o vetor nulo, porque ele fornece tanto a direção quanto o divisor; o vetor de origem pode ser nulo, e a projeção dele é então zero. Os componentes são lidos como números comuns: uma vírgula seguida de espaço separa componentes, uma vírgula sem espaço depois dela é lida como separador decimal (1,5 é um e meio), e um agrupamento de milhar é recusado em vez de adivinhado — escreva 1500, e não 1.500. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma promessa de precisão, e o vetor da projeção é calculado a partir do escalar sem arredondamento, então ler um componente de volta e dividi-lo pelo componente correspondente do destino pode não reproduzir exatamente o escalar impresso. A tabela de referência mostra os vetores de destino e de origem como digitados e as quatro saídas, e de propósito não tem linha para um vetor de destino nulo, que esta página não consegue calcular. Uma sobreposição que vale nomear: o produto escalar aparece na fórmula da projeção como numerador, e o vetor unitário aparece na segunda fórmula como a direção que é multiplicada de volta — então esta página se apoia nas duas ferramentas sem ser nenhuma delas, e a projeção é o quociente, não o produto escalar e não um vetor normalizado.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre a projeção escalar e o vetor da projeção?
A projeção escalar é um número com sinal: o quanto a origem alcança ao longo da direção do destino, negativo quando os dois se inclinam para lados opostos. O vetor da projeção é essa mesma distância escrita como um vetor que aponta ao longo da reta do destino. O escalar sabe para que lado o destino aponta e o vetor não — inverta o destino e o escalar troca de sinal enquanto o vetor da projeção fica igual. Use o escalar na aritmética seguinte e o vetor quando a resposta tiver de ser um vetor.
Por que a projeção escalar sai negativa?
Porque o vetor de origem se inclina para longe do destino em vez de na direção dele. A projeção escalar é medida ao longo de uma orientação, então quando os dois vetores apontam em direções amplamente opostas a resposta é negativa. Não é um erro nem uma convenção de sinal que se possa descartar: uma força que puxa para trás ao longo de uma direção tem de fato componente negativa nessa direção, e o trabalho realizado pode sair negativo pela mesma razão.
Qual dos vetores é o que está sendo projetado?
O vetor de origem, na primeira caixa. A segunda caixa é o vetor de destino, que fornece a direção ao longo da qual a sombra cai. Os dois não são intercambiáveis nesta página: projetar u sobre v e projetar v sobre u são números diferentes, e se você trocar as duas caixas a resposta muda sem que nada pareça quebrado. É por isso que as caixas são rotuladas pelo papel que cumprem em vez de se chamarem vetor u e vetor v.
O que acontece quando os dois vetores são perpendiculares?
As duas saídas são zero, e isso é uma resposta de verdade e não uma falha. Um produto escalar igual a zero significa que os dois vetores são perpendiculares — é o único jeito de obter uma projeção escalar nula sem que um dos vetores seja nulo —, e uma projeção zero diz que a origem não tem nenhuma parte apontando ao longo do destino. A quarta linha da tabela de referência é esse caso. Forças perpendiculares não realizam trabalho uma sobre a outra, que é a mesma afirmação em física.
O vetor que está sendo projetado pode ser o vetor nulo?
Pode, e as duas saídas são zero: todo produto dentro do produto escalar é zero, e a divisão é pelo módulo do destino, o que não é problema. A recusa desta página corre para o outro lado. É o vetor de destino que não pode ser nulo, porque ele fornece a direção e o divisor, e não há reta sobre a qual projetar o vetor nulo.
Qual é a fórmula da projeção?
A projeção escalar é o produto escalar dos dois vetores dividido pelo módulo do vetor de destino: s = (u · v) ÷ |v|. O vetor da projeção multiplica esse escalar pelo vetor unitário do destino, o que é o mesmo que o produto escalar vezes o destino dividido pelo módulo do destino ao quadrado. Quando o destino já tem módulo 1 as duas fórmulas se simplificam e a projeção escalar é simplesmente o produto escalar, e é por isso que a primeira linha da tabela de referência é a que se confere à mão.

Referências

Calculadoras relacionadas

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