O que esta página dá que as outras páginas de vetor não dão?

As componentes, impressas como números ao lado do vetor unitário em que foram divididas. A linha do módulo é o mesmo número que a página do módulo do vetor dá e as linhas do vetor unitário são os mesmos números que a página do vetor unitário dá, então as leituras em si não são novas. O que é novo é tê-las num mesmo painel com as componentes, que é o único lugar em que dá para ver 3 e 4 num grupo e 0,6 e 0,8 no seguinte e ler a divisão diretamente.

Qual desses números é a direção?

As três linhas do vetor unitário, e elas precisam ser lidas juntas: um componente sozinho não é uma direção. O vetor unitário aponta exatamente ao longo da mesma reta do vetor que você digitou, com o módulo dividido para fora, então o módulo dele é 1 em todos os casos e os valores que ele guarda são puramente sobre a direção. A linha do módulo acima dele é um número único e não tem como expressar uma direção, e é por isso que as três linhas são necessárias.

Por que as componentes são impressas se fui eu que as digitei?

Porque ver a entrada como números ao lado do vetor unitário é o ponto da página. Isso também resolve como a entrada foi lida: 0 0 5 como digitado poderia passar por um vetor com um número só, e as linhas de componente mostram que é um vetor tridimensional com duas entradas nulas. Sem elas o painel mostraria um módulo e uma direção sem nenhuma ligação visível entre a entrada e cada um dos dois.

Por que o vetor nulo é recusado aqui se a página do módulo o aceita?

Porque esta página promete três leituras e apenas duas delas existem para o vetor nulo: as componentes são 0 0 0 e o módulo é 0, mas não há direção — normalizá-lo seria dividir por um módulo igual a zero. A página do módulo promete uma leitura e consegue fornecê-la, então a mesma entrada é respondida lá. O painel imprime um valor em todas as linhas, então um resultado parcialmente vazio não é algo que esta página possa mostrar.

Qual é a diferença em relação à calculadora de módulo do vetor?

Aquela página responde a uma pergunta e esta responde a três; o número do módulo é idêntico nas duas. Se o módulo é tudo o que você quer, a página mais curta chega lá mais depressa. Esta página é para quando você quer o módulo e a direção e quer ver como os dois se relacionam — os componentes do vetor unitário são as componentes divididas pelo módulo, e ter os dois na tela transforma isso em algo que você confere em vez de aceitar por confiança.

Posso digitar um vetor bidimensional?

Pode, e o terceiro componente de todas as linhas volta como 0. Um vetor de dois componentes é um vetor no plano, que é a mesma coisa que um vetor tridimensional cuja terceira entrada é 0, então um painel só serve para os dois sem nenhum ajuste de dimensão. O módulo é a mesma raiz com dois termos dentro, e o vetor unitário são os dois componentes divididos por esse módulo.

Calculadora de vetores

Resultado

5,0000

Módulo do vetor

Componente x do vetor unitário: 0,6000
Componente y do vetor unitário: 0,8000
Componente z do vetor unitário: 0,0000
Componente x do vetor: 3,0000
Componente y do vetor: 4,0000
Componente z do vetor: 0,0000

Uma calculadora de vetores lê um vetor e informa três coisas sobre ele de uma vez: o módulo, a direção para a qual ele aponta e quais são as suas componentes. Digite dois ou três números no campo Vetor (2 ou 3 números) — 3 4, ou 2 3 6 — e o painel se preenche. O módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus componentes, e é o número único que diz o tamanho do vetor. A direção de um vetor é dada como um vetor unitário: a mesma direção com o módulo dividido para fora, de modo que o módulo dele é 1 e os valores dos seus componentes carregam a informação. Os componentes do vetor são impressos exatamente como digitados, convertidos em números, e ficam ao lado do vetor unitário de propósito — ler 3 e 4 num grupo e 0,6 e 0,8 no seguinte torna a divisão visível, e é essa comparação lado a lado que faz desta página um resumo em vez de três perguntas separadas. Quem quer apenas o módulo de um vetor ou apenas a direção vai encontrar uma página mais curta que responde só aquilo. O vetor nulo é recusado aqui: ele não tem direção, então uma das três leituras não existiria.

Um vetor, três leituras

Vetor	Componente x	Componente y	Componente z	Módulo do vetor	Componente x do vetor unitário	Componente y do vetor unitário	Componente z do vetor unitário
3 4	3	4	0	5	0.6	0.8	0
0 0 5	0	0	5	5	0	0	1
1 1	1	1	0	1.4142	0.7071	0.7071	0
-3 4	-3	4	0	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	2	3	6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1	1	1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	3	4	-5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071
0 2 0	0	2	0	2	0	1	0

Oito vetores e as três leituras que esta página dá para cada um, na ordem em que o painel as imprime: as componentes, depois o módulo, depois a direção. A segunda, a terceira e a quarta colunas guardam a entrada lida de volta como números, e existem porque vê-las ao lado do vetor unitário é o que transforma a divisão de resultado em passo visível — cada número das três últimas colunas é o número correspondente da mesma linha dividido pelo módulo da quinta coluna. A primeira linha é a entrada com que a página abre, e é exata dos dois lados porque 3-4-5 é um triângulo retângulo. A segunda linha traz um vetor com um único componente não nulo, e é o caso mais claro para as colunas de componente: 0 0 5 como digitado poderia ser confundido com um número só, e as colunas mostram que é um vetor tridimensional. A terceira linha é o caso de componentes iguais no plano, dando dois componentes iguais de 0,7071 no vetor unitário. A quarta linha é a primeira com um sinal trocado, e mostra até onde o sinal chega: os componentes e o vetor unitário carregam o sinal, o módulo não — o componente x do vetor unitário é −0,6 e o módulo continua 5. A quinta linha é tridimensional com módulo inteiro e nenhum componente exato no vetor unitário. A sexta é a diagonal do cubo, cujos três componentes do vetor unitário são iguais. A sétima é tridimensional com um componente negativo, e é a única linha cuja entrada negativa do vetor unitário cai no componente z, valendo −0,7071: a quarta linha também tem um sinal de menos no vetor unitário, mas no componente x. A oitava está deitada sobre um eixo, então o vetor unitário dela é a própria direção do eixo. Não há linha para o vetor nulo, de propósito: ele não tem direção e a página o recusa. Todo número é recalculado quando a página é construída; os espaços na primeira coluna são separadores e não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

Vetor u: A única entrada: dois ou três números separados por espaços ou vírgulas. Duas entradas é um vetor no plano e três é um vetor no espaço, e a contagem é a única coisa que diz qual dos dois você quis — não há ajuste de dimensão a mudar
u = (u₁, u₂, u₃): As componentes: os números que você digitou, lidos de volta como um vetor. O terceiro é 0 quando a entrada tem dois componentes, e isso não é preenchimento — é a cara que a mesma direção tem escrita em três coordenadas
|u|: O módulo: cada componente elevado ao quadrado, os quadrados somados e a raiz extraída. É a primeira linha de saída e a resposta para o tamanho do vetor
û: O vetor unitário, também chamado de direção: cada componente dividido pelo módulo. Ele aponta exatamente ao longo da mesma reta da entrada e tem módulo 1 por construção, então os valores que ele carrega são a direção e mais nada
u ÷ |u|: A divisão que separa as duas leituras. As componentes são o que entrou, os componentes do vetor unitário são aquilo dividido pelo módulo, e esta página imprime os dois para que o passo fique visível em vez de subentendido — que é justamente o que as páginas irmãs não fazem
Vetor nulo: Recusado, e a razão é estreita: o módulo dele é 0, então a divisão para o vetor unitário seria 0 ÷ 0 e não há direção a informar. O vetor nulo não é uma entrada ilegal — a página do módulo responde à mesma lista de zeros com 0 —, mas esta página promete três leituras e só consegue fornecer duas delas
Dois componentes: Aceitos. Um vetor de dois componentes é um vetor no plano, o módulo dele é a mesma raiz com dois termos dentro, e o terceiro componente de todas as saídas é 0
Quatro casas decimais: A largura com que as saídas são escritas. As linhas de componente reproduzem a entrada exatamente quando ela era um número inteiro ou um decimal finito; o módulo muitas vezes é inteiro; o vetor unitário quase sempre é arredondado, já que dividir por uma raiz raramente termina
Sem unidade: Componentes, módulo e componentes do vetor unitário são todos números puros. Nada aqui sabe em que as componentes foram medidas, e as três leituras carregam essa mesma unidade desconhecida — com exceção do vetor unitário, que é adimensional

Use esta página quando você tem um vetor e quer tudo o que se pode dizer sobre ele sem envolver um segundo. As linhas de componente são a entrada lida de volta como números, úteis quando ela foi escrita à mão e você quer ver como foi interpretada; a linha do módulo é o tamanho dele; as linhas do vetor unitário são para onde ele aponta. As duas últimas são o par que mais importa na prática, porque juntas são as duas metades de um vetor — um tamanho e uma direção — e é nesta página que elas podem ser comparadas diretamente. Ela é um resumo e não um substituto: se você quer só o módulo, uma página que imprime só o módulo responde mais depressa, e o mesmo vale para a direção, e para qualquer trabalho com dois vetores, como somar, projetar ou fazer um produto escalar, você quer uma página com duas caixas. O que esta página acrescenta é a visão lado a lado. As linhas do vetor unitário são as linhas de componente divididas pelo módulo, impressas no mesmo painel, então a divisão pode ser lida em vez de aceita por confiança. Dois e três componentes são aceitos, e o terceiro componente de um vetor de dois componentes é 0 em todas as leituras. O vetor nulo é a única entrada recusada, e é recusado porque uma das três leituras prometidas não existe para ele, e não porque a entrada seja inválida.

Exemplos resolvidos

3 4
1. Componentes: a entrada lida de volta é (3, 4, 0)
2. Módulo: √(9 + 16) = √25 = 5
3. Componente x do vetor unitário: 3 ÷ 5 = 0,6
4. Componente y do vetor unitário: 4 ÷ 5 = 0,8
5. Componente z do vetor unitário: 0 ÷ 5 = 0
A entrada com que a página abre, e a linha que mostra por que as componentes são impressas. Cada número do segundo grupo é um número do primeiro grupo dividido por 5, e ter os dois grupos na tela faz com que a divisão seja lida em vez de calculada. O módulo é um número inteiro aqui porque 3-4-5 é um triângulo retângulo, que é também a razão de os dois componentes do vetor unitário saírem exatos. Confira a divisão pelo caminho inverso: 0,6 vezes 5 é 3 e 0,8 vezes 5 é 4, então multiplicar o vetor unitário pelo módulo devolve o vetor original.
0 0 5
1. Componentes: a entrada lida de volta é (0, 0, 5)
2. Módulo: √(0 + 0 + 25) = 5
3. Componente x do vetor unitário: 0 ÷ 5 = 0
4. Componente y do vetor unitário: 0 ÷ 5 = 0
5. Componente z do vetor unitário: 5 ÷ 5 = 1
Um vetor deitado sobre o eixo z, e o caso em que as linhas de componente mais ganham o seu lugar. A entrada como digitada, 0 0 5, poderia ser lida como um vetor com um número só; as linhas de componente deixam claro que é um vetor tridimensional cujas duas primeiras entradas por acaso são zero. O vetor unitário é então a própria direção do eixo, 0 0 1, e a terceira leitura é a conferência mais fácil possível da divisão: 5 dividido por 5 é 1 e 0 dividido por 5 é 0.
2 3 6
1. Componentes: (2, 3, 6)
2. Módulo: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
3. Componente x do vetor unitário: 2 ÷ 7 = 0,285714
4. Componente y do vetor unitário: 3 ÷ 7 = 0,428571
5. Componente z do vetor unitário: 6 ÷ 7 = 0,857143
O caso tridimensional comum, e o que mostra que as três leituras são números genuinamente diferentes. O módulo é um número inteiro, 7, enquanto nenhum componente do vetor unitário é: os três são dízimas periódicas arredondadas em quatro casas. As componentes em si são exatas, e compará-las com o grupo do vetor unitário é a conta inteira — 2 sobre 7, 3 sobre 7 e 6 sobre 7. Repare também que o maior componente, 6, dá o maior componente do vetor unitário, já que dividir três números pelo mesmo valor não tem como reordená-los.
−3 4
1. Componentes: (−3, 4, 0)
2. Módulo: √(9 + 16) = 5, o mesmo de 3 4
3. Componente x do vetor unitário: −3 ÷ 5 = −0,6
4. Componente y do vetor unitário: 4 ÷ 5 = 0,8
5. Componente z do vetor unitário: 0 ÷ 5 = 0
O primeiro exemplo com um sinal trocado, e a linha que mostra até onde o sinal chega nas três leituras. O módulo não muda, continua 5, porque negativar um componente não altera a soma dos seus quadrados. As componentes guardam o sinal, como era de esperar. O vetor unitário também guarda, porque dividir por um módulo positivo não tem como virar um vetor ao contrário — então, das três leituras, apenas as linhas de componente e de vetor unitário carregam a direção, e o módulo é a que não pode carregá-la. Compare com a primeira linha da tabela: as duas são o mesmo vetor com um sinal trocado, e diferem em exatamente um sinal.

Limitações

Dois ou três componentes são aceitos e nada mais. As sobreposições com as ferramentas vizinhas são reais e vale nomeá-las, porque esta página é um resumo e as irmãs são especialistas: a linha do módulo carrega exatamente o mesmo número da página do módulo do vetor, as três linhas do vetor unitário carregam exatamente os mesmos números da página do vetor unitário, e nenhuma dessas páginas imprime as componentes. Se o que você quer é uma dessas respostas isoladas, a página mais curta a dá mais depressa; o que esta página acrescenta são as componentes ao lado do vetor unitário, que é o único lugar em que a divisão aparece como divisão. Ela lida com um vetor, então tudo o que envolve dois — somar, subtrair, projetar, produtos escalares, ângulos — pertence às páginas que têm duas caixas. O vetor nulo é recusado: o módulo dele é 0 e ele não tem direção, então as linhas do vetor unitário não poderiam ser preenchidas, e o painel ou imprime um número em todas as linhas ou em nenhuma. Essa recusa é sobre a promessa desta página e não sobre a entrada, à qual a página do módulo responde com 0. Os componentes são lidos como números comuns: uma vírgula seguida de espaço separa componentes, uma vírgula sem espaço depois dela é lida como separador decimal (1,5 é um e meio), e um agrupamento de milhar é recusado em vez de adivinhado — escreva 1500, e não 1.500. Um vetor de dois componentes é aceito e o terceiro componente dele é 0 em todas as leituras, e não está faltando. Nada aqui sabe em que as componentes foram medidas — o vetor unitário é adimensional, e as componentes e o módulo carregam a unidade que a entrada tiver. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão.

Perguntas frequentes

O que esta página dá que as outras páginas de vetor não dão?: As componentes, impressas como números ao lado do vetor unitário em que foram divididas. A linha do módulo é o mesmo número que a página do módulo do vetor dá e as linhas do vetor unitário são os mesmos números que a página do vetor unitário dá, então as leituras em si não são novas. O que é novo é tê-las num mesmo painel com as componentes, que é o único lugar em que dá para ver 3 e 4 num grupo e 0,6 e 0,8 no seguinte e ler a divisão diretamente.
Qual desses números é a direção?: As três linhas do vetor unitário, e elas precisam ser lidas juntas: um componente sozinho não é uma direção. O vetor unitário aponta exatamente ao longo da mesma reta do vetor que você digitou, com o módulo dividido para fora, então o módulo dele é 1 em todos os casos e os valores que ele guarda são puramente sobre a direção. A linha do módulo acima dele é um número único e não tem como expressar uma direção, e é por isso que as três linhas são necessárias.
Por que as componentes são impressas se fui eu que as digitei?: Porque ver a entrada como números ao lado do vetor unitário é o ponto da página. Isso também resolve como a entrada foi lida: 0 0 5 como digitado poderia passar por um vetor com um número só, e as linhas de componente mostram que é um vetor tridimensional com duas entradas nulas. Sem elas o painel mostraria um módulo e uma direção sem nenhuma ligação visível entre a entrada e cada um dos dois.
Por que o vetor nulo é recusado aqui se a página do módulo o aceita?: Porque esta página promete três leituras e apenas duas delas existem para o vetor nulo: as componentes são 0 0 0 e o módulo é 0, mas não há direção — normalizá-lo seria dividir por um módulo igual a zero. A página do módulo promete uma leitura e consegue fornecê-la, então a mesma entrada é respondida lá. O painel imprime um valor em todas as linhas, então um resultado parcialmente vazio não é algo que esta página possa mostrar.
Qual é a diferença em relação à calculadora de módulo do vetor?: Aquela página responde a uma pergunta e esta responde a três; o número do módulo é idêntico nas duas. Se o módulo é tudo o que você quer, a página mais curta chega lá mais depressa. Esta página é para quando você quer o módulo e a direção e quer ver como os dois se relacionam — os componentes do vetor unitário são as componentes divididas pelo módulo, e ter os dois na tela transforma isso em algo que você confere em vez de aceitar por confiança.
Posso digitar um vetor bidimensional?: Pode, e o terceiro componente de todas as linhas volta como 0. Um vetor de dois componentes é um vetor no plano, que é a mesma coisa que um vetor tridimensional cuja terceira entrada é 0, então um painel só serve para os dois sem nenhum ajuste de dimensão. O módulo é a mesma raiz com dois termos dentro, e o vetor unitário são os dois componentes divididos por esse módulo.

Referências

Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)

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