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CalcMax

Calculadora de soma de vetores

Resultado

4,0000

Componente x do vetor resultante

Componente y do vetor resultante
6,0000
Componente z do vetor resultante
0,0000
Módulo do vetor resultante
7,2111

Uma calculadora de soma de vetores soma ou subtrai dois vetores componente por componente e imprime o resultado como três componentes mais o módulo. Digite cada vetor como uma lista de números — 3 4 e 1 2 — e escolha se quer somá-los ou subtraí-los. Somar dois vetores é somar os primeiros componentes, depois os segundos, depois os terceiros, e tomar esses totais como os componentes da resposta. Não há multiplicação entre eles nem ângulo a calcular, e é isso que faz somar vetores ser muito mais simples do que multiplicá-los: a operação nunca mistura um componente com outro. A subtração de vetores é a mesma operação com os sinais do segundo vetor invertidos, então u − v e u + (−v) são uma conta escrita de duas maneiras, e as duas ficam atrás de um único controle aqui porque o sinal é toda a diferença. Dois ou três componentes são aceitos, e os dois vetores precisam ter a mesma quantidade. O resultado pode perfeitamente ser o vetor nulo — somar um vetor ao seu próprio negativo é uma soma correta, não uma falha — então nada nesta página recusa uma entrada por dar zeros.

Vetores e as suas somas

Vetor uVetor vComponente x de u + vComponente y de u + vComponente z de u + vMódulo de u + v
3 41 24607.2111
1 00 11101.4142
1 1 11 1 12223.4641
2 -34 56206.3246
-1 23 -52-303.6056
1 0 01 0 02002
1 2 3-1 -2 -30000
3 4 -51 2 246-37.8102

Oito pares de vetores e as suas somas, com o módulo de cada soma na última coluna. Esta tabela é só de soma: a opção de subtrair não pode aparecer aqui porque a tabela é gerada sem saber qual opção está escolhida, e é por isso que a subtração fica por conta dos exemplos resolvidos e de uma frase — subtraia invertendo os sinais do segundo vetor e somando. A primeira linha é o par com que a página abre. A segunda é o par deitado sobre os dois eixos, perpendicular a si mesmo, com módulo √2 para dois vetores de módulo 1: é o caso do teorema de Pitágoras, e o resultado não é nem o maior nem o menor da tabela quando comparado com os tamanhos dos dois vetores de entrada. A terceira linha é a primeira de duas linhas de mesma direção, em que o segundo vetor é uma cópia exata do primeiro e a resposta é o dobro dele; aqui o módulo da soma é de fato a soma dos módulos, 2√3, e esse é o único tipo de par para o qual isso vale. A quarta e a quinta linhas envolvem componentes negativos em dois padrões diferentes: na quarta os sinais opostos se cancelam em parte no componente y, com −3 + 5 = 2, um total menor do que o maior dos dois números somados; na quinta o mesmo padrão aparece no componente x e o primeiro componente maior do segundo vetor empurra a soma para além do zero, com −1 + 3 = 2. A sexta linha é o segundo caso de mesma direção, e o mais fácil de conferir a olho: os dois vetores têm módulo 1 e a soma tem módulo 2. A sétima linha é um vetor somado ao seu negativo exato, dando o vetor nulo com módulo 0 — o extremo oposto, e um resultado comum e não um erro. A oitava linha é tridimensional e sem nenhum componente zero, então a terceira coluna dela está trabalhando de verdade. Todo número é recalculado quando a página é construída; os espaços nas duas primeiras colunas são separadores e não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

Vetor u
O primeiro vetor, escrito como uma lista de dois ou três números separados por espaços ou vírgulas. Em qual das duas caixas ele vai não muda a resposta na soma e apenas inverte o sinal na subtração, então nada se perde em tratá-lo como simplesmente o primeiro
Vetor v
O segundo vetor, escrito do mesmo jeito. Ele precisa ter a mesma quantidade de componentes do primeiro: não há regra para somar um vetor de dois componentes a um de três, já que o terceiro número não teria com o que formar par
u + v
A soma, feita componente por componente. Cada componente da resposta usa apenas os componentes que estão na mesma posição nos dois vetores — os primeiros entre si, os segundos entre si, e assim por diante
u − v
A diferença, que é a soma com cada componente do segundo vetor antes negativado. Inverter o sinal do segundo vetor é toda a diferença entre somar e subtrair, e é por isso que um único controle serve para as duas
Componentes x, y e z do resultante
As três linhas da resposta, lidas juntas como um vetor. O terceiro é 0 sempre que os dois vetores têm dois componentes: esse zero não é preenchimento, é a cara que a mesma direção tem escrita em três coordenadas
|u + v|
O módulo do vetor resultante: a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes dele. É uma pergunta separada das três componentes e merece uma linha própria — os componentes dizem para onde a resposta aponta, o módulo diz até onde ela chega
Somar ou subtrair
A única escolha que esta página pede, e a única coisa que muda entre os dois modos. As mesmas duas caixas e as mesmas quatro linhas de saída servem para os dois; só a aritmética muda
Vetor nulo
Um vetor cujos componentes são todos 0. Uma soma ou uma diferença pode dar o vetor nulo, e isso é uma resposta correta e não uma falha — somar um vetor ao seu negativo dá exatamente isso, e a tabela de referência tem uma linha em que acontece
Quatro casas decimais
A largura com que as saídas são escritas. Os componentes são exatos sempre que as entradas são números inteiros, já que só há somas e subtrações envolvidas; o arredondamento é para o módulo, que é uma raiz quadrada

Use esta página quando dois vetores agem ao mesmo tempo sobre a mesma coisa e você quer o efeito combinado deles. Duas forças sobre um corpo, duas velocidades somadas numa correnteza, dois deslocamentos percorridos um depois do outro — todos são somas componente por componente, e a resposta é o único vetor que faria o serviço dos dois. A subtração responde à outra metade da mesma pergunta: u − v é o vetor que leva da ponta de v até a ponta de u, e é por isso que ela é a operação por trás de todo cálculo de posição relativa e de velocidade relativa. A razão de os vetores somarem tão facilmente é que os componentes nunca se misturam — cada posição da resposta depende da mesma posição nos vetores de entrada e de mais nada —, e isso vale saber porque não é verdade na multiplicação, em que cada componente da resposta depende de todos os componentes dos dois vetores e aparece um ângulo. Duas e três componentes servem, e os dois vetores precisam combinar entre si. Uma soma zero é um resultado comum: um vetor mais o seu negativo dá zero, e zero é um vetor perfeitamente bom. A única coisa a não confundir é que o módulo impresso ao lado é o módulo do resultado e não a soma dos módulos dos dois vetores — a menos que os dois apontem na mesma direção, esses são números diferentes, e a diferença entre eles é toda a razão de vetores não serem somados somando os seus tamanhos.

Exemplos resolvidos

  1. 3 4 + 1 2

    1. Componente x: 3 + 1 = 4
    2. Componente y: 4 + 2 = 6
    3. Componente z: 0 + 0 = 0, já que os dois vetores têm dois componentes
    4. Módulo: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103

    A entrada com que a página abre, e um caso em que todos os passos ficam visíveis. Os dois vetores apontam mais ou menos na mesma direção, então a resposta é longa: 7,2111 contra módulos de 5 e 2,2361, cuja soma daria 7,2361. Os dois números ficam próximos aqui, mas não são iguais, e só são iguais quando os dois vetores apontam exatamente na mesma direção — duas linhas da tabela de referência são esse caso, e em todas as outras a soma sai menor do que a soma dos dois módulos.

  2. 3 4 − 1 2

    1. Componente x: 3 − 1 = 2
    2. Componente y: 4 − 2 = 2
    3. Componente z: 0 − 0 = 0
    4. Módulo: √(4 + 4) = √8 = 2,828427

    Os mesmos dois vetores do primeiro exemplo com a outra opção escolhida, e a única coisa que mudou foi o sinal aplicado ao segundo vetor. A resposta é, na prática, 2u − (u + v) e sai bem mais curta do que qualquer um dos dois vetores, porque eles apontam em direções parecidas e desfazê-los deixa pouco atrás. Alternar entre este exemplo e o primeiro é o jeito mais rápido de ver o que o controle faz.

  3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

    1. Componente x: 1 + (−1) = 0
    2. Componente y: 2 + (−2) = 0
    3. Componente z: 3 + (−3) = 0
    4. Módulo: √(0 + 0 + 0) = 0

    Um vetor somado ao seu próprio negativo, dando o vetor nulo. Nada deu errado: as duas setas têm o mesmo comprimento e sentidos opostos, então o percurso que elas descrevem termina onde começou. A página informa esse resultado em vez de recusá-lo, e a sétima linha da tabela de referência é o mesmo caso. Mude o controle para subtração nessa mesma entrada e a resposta dobra — 2 4 6 com módulo 7,4833 —, que é a forma mais clara de ver o efeito do sinal.

  4. −1 2 − 3 −5

    1. Componente x: −1 − 3 = −4
    2. Componente y: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
    3. Componente z: 0 − 0 = 0
    4. Módulo: √(16 + 49) = √65 = 8,062258

    O caso em que os sinais não se cancelam e a aritmética tem de ser feita com cuidado. Subtrair menos cinco soma cinco, então o componente y sobe para 7, e o componente x fica negativo porque o primeiro componente do segundo vetor é maior. O resultado é mais longo do que qualquer um dos dois vetores, o que acontece quando eles apontam em direções opostas — e o módulo é o sinal mais claro disso, já que os componentes −4 e 7 não parecem um vetor longo enquanto não são elevados ao quadrado e somados.

Limitações

Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes, e cada um precisa ter dois ou três: o painel tem três linhas de componente, e uma diferença de contagem deixaria o terceiro número de um dos vetores sem par do outro lado. Um vetor de dois componentes não é completado até três — ele está no plano, e o 0 impresso na terceira linha é a cara que essa direção tem em três coordenadas. Os componentes são lidos como números comuns: uma vírgula seguida de espaço separa componentes, uma vírgula sem espaço depois dela é lida como separador decimal (1,5 é um e meio), e um agrupamento de milhar é recusado em vez de adivinhado — escreva 1500, e não 1.500. A tabela de referência mostra só a soma, porque ela é gerada sem saber qual opção está escolhida; a subtração são as mesmas linhas com os sinais do segundo vetor invertidos, e os exemplos resolvidos abaixo cobrem esse caso. O módulo impresso ao lado do resultado é o do resultado, e não a soma dos módulos dos dois vetores. Somar os dois módulos dá a resposta certa apenas quando os vetores apontam exatamente na mesma direção; somar um vetor ao seu negativo dá 0 em vez do dobro do módulo, que é o mais longe possível desse caso. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma promessa de precisão. Nada aqui sabe em que os componentes foram medidos, e a resposta carrega a unidade que eles tiverem — os componentes e o módulo estão todos nessa mesma unidade, então os três componentes não devem ser lidos como um comprimento por conta própria.

Perguntas frequentes

O que significa somar dois vetores?
Somar dois vetores é somar os componentes posição por posição: os primeiros entre si, depois os segundos, depois os terceiros, e os três totais são os componentes da resposta. Nada é multiplicado e nenhum ângulo entra na conta, e é isso que torna a soma de vetores muito mais fácil do que a multiplicação — os componentes nunca se misturam, então cada entrada da resposta depende de exatamente uma entrada de cada vetor.
Qual é a diferença entre somar e subtrair vetores?
Um sinal. Subtrair é somar com o segundo vetor antes negativado, então u − v e u + (−v) são a mesma conta escrita de duas maneiras. É por isso que as duas ficam atrás de um único controle nesta página: a aritmética que muda é um único sinal, e colocá-las lado a lado com as mesmas entradas é o jeito mais claro de ver isso. Subtraia 1 2 de 3 4 e você obtém 2 2; some e você obtém 4 6.
A soma pode dar o vetor nulo?
Pode, e é uma resposta correta e não uma falha. Somar um vetor ao seu negativo exato dá zero: as duas setas têm comprimentos iguais e sentidos opostos, então o deslocamento que elas descrevem volta ao ponto de partida. A página informa 0 nos três componentes e módulo 0. A sétima linha da tabela de referência é esse caso, e a mesma entrada na subtração dá 2u.
Os dois vetores precisam ter a mesma quantidade de componentes?
Precisam. Não há regra para somar um vetor de dois componentes a um de três, porque o terceiro número não teria com o que formar par. Cada vetor pode ter dois ou três componentes — esse é o limite do painel, não o da aritmética —, mas as duas contagens têm de combinar, e a página diz isso em vez de tratar em silêncio a entrada que falta como um zero.
O módulo da soma é a soma dos módulos?
Não, e este é o erro que a página mais quer evitar. O módulo da soma só é a soma dos dois módulos quando os vetores apontam exatamente na mesma direção; quando apontam em direções opostas ele pode ser a diferença entre os módulos, e quando são perpendiculares ele fica menor do que qualquer um dos dois. A razão é que os componentes podem se cancelar em parte, e para que lado o cancelamento vai depende das direções e não dos tamanhos.
Posso somar um vetor bidimensional a um tridimensional?
Não, e a página recusa em vez de preencher com zero o terceiro componente que falta. Um vetor de dois componentes é um vetor do plano, que é a mesma coisa que um vetor de três componentes cuja terceira entrada é 0 — mas isso é um fato sobre como o plano está dentro do espaço, e não uma licença para somar um número com nada. Escreva o terceiro componente explicitamente se é isso que você quer dizer.

Referências

Calculadoras relacionadas

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