O que é o módulo de um vetor?

É o comprimento do vetor: cada componente elevado ao quadrado, os quadrados somados e a raiz quadrada desse total. É um número único, e ele diz o tamanho do vetor sem dizer nada sobre para onde ele aponta. Um vetor desenhado da origem até um ponto tem o mesmo módulo que a distância da origem até esse ponto, e é por isso que a expressão se parece com a fórmula da distância — ela é a fórmula da distância.

Como calculo o comprimento de um vetor à mão?

Eleve cada componente ao quadrado, some os quadrados e extraia a raiz quadrada do total. Para 3 4 isso é 9 mais 16, que dá 25, e a raiz de 25 é 5. Para 1 1 é 1 mais 1, que dá 2, e a raiz de 2 é 1,4142 em quatro casas. O passo do meio é o único com espaço para erro, e é justamente o passo que a tabela de referência desta página lista em todas as linhas.

Posso digitar um vetor bidimensional ou tridimensional?

Qualquer um dos dois, e não há ajuste a mudar: duas entradas é um vetor bidimensional e três entradas é um tridimensional. O mesmo campo aceita os dois porque o cálculo é o mesmo cálculo — um vetor no plano é um vetor no espaço cujo terceiro componente por acaso é 0, e o comprimento dele é a mesma raiz com dois termos dentro em vez de três.

Qual é o módulo do vetor nulo?

Zero, e esta página informa esse valor em vez de recusar a entrada. Todos os componentes são 0, então todos os quadrados são 0, a soma é 0 e a raiz dela é 0. Nada no cálculo dividiu pelo comprimento, e é essa a razão de não haver erro aqui — a página do vetor unitário recusa essa mesma entrada justamente porque lá o comprimento é um divisor.

O módulo me diz a direção?

Não, e ele não tem como: é um número único, e uma direção precisa de pelo menos dois. Os vetores 3 4, −3 4 e 0 5 têm três direções diferentes e os três têm comprimento cinco, então o comprimento não serve para distingui-los. Se o que você precisa é da direção, leia as componentes diretamente ou normalize o vetor num vetor unitário, que guarda a direção e descarta o tamanho em vez disso.

Para que serve o módulo de um vetor?

Para comparar tamanhos e para alimentar o passo seguinte de uma conta maior. Duas forças ou duas velocidades são ordenadas pelo módulo quando as direções não interessam. Ele é também o número pelo qual muitas outras fórmulas dividem ou multiplicam — normalizar um vetor, projetar um vetor sobre outro e o produto escalar todos o consomem —, então calculá-lo sozinho é comum mesmo quando o comprimento não é a resposta final.

Calculadora de módulo do vetor

Resultado

5,0000

Módulo do vetor

A calculadora de módulo do vetor dá o comprimento de um vetor a partir das suas componentes. Digite dois ou três números separados por espaços ou vírgulas — 3 4, ou 2 3 6 para um vetor tridimensional — e a página eleva cada componente ao quadrado, soma os quadrados e extrai a raiz quadrada. Esse número único é o módulo de um vetor, e é também a distância da origem até o ponto que aquelas componentes nomeiam, já que o comprimento de uma seta desenhada a partir da origem é exatamente essa distância. Dois e três componentes são aceitos, e a contagem de entradas é o que diz qual dos dois você quis. Ser um número único é ao mesmo tempo a utilidade e o limite da resposta: é assim que se comparam tamanhos quando a direção é irrelevante, e é exatamente o que se joga fora quando você precisa saber para onde algo aponta. Três vetores bastante diferentes compartilham o comprimento 5 na tabela abaixo. Nada aqui divide por coisa alguma, então o vetor nulo é uma entrada comum e o seu comprimento 0 é uma resposta comum.

Vetores e os seus módulos

Vetor	Módulo do vetor
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Oito vetores e os seus comprimentos. A segunda coluna é a que se lê primeiro, porque três das oito linhas imprimem o mesmo valor: 3 4, −3 4 e 0 5 são três vetores diferentes — um para cima e para a direita, um para cima e para a esquerda, um reto para cima — e todos os três têm comprimento 5. Essa repetição é o ponto da tabela. Um módulo é um número único e um número único não tem como dizer para onde um vetor aponta, então a página que informa apenas o módulo jogou essa informação fora de propósito. As duas primeiras linhas são os casos de número inteiro, 3-4-5 e 5-12-13, em que a soma dos quadrados por acaso dá um quadrado perfeito e nada é arredondado. A terceira e a sexta linhas são os casos de componentes iguais, no plano e no espaço, e as duas dão raízes que nunca terminam. A quinta linha é o caso tridimensional de número inteiro: 2-3-6 dá exatamente 7. A sétima linha está deitada sobre um eixo, então o comprimento dela é apenas o componente que não é zero. A oitava linha é o vetor nulo, imprimindo 0 — que esta página responde em vez de recusar, porque aqui um comprimento não é um divisor. A primeira coluna guarda a entrada exatamente como digitada; os espaços nela são separadores e não parte dos números. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

|u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)

Vetor u: O vetor cujo comprimento se quer: dois ou três números separados por espaços ou vírgulas. Nada mais indica de que tipo ele é — o número de entradas é o que diz se você quis um vetor no plano ou um no espaço
|u|: O comprimento em si: cada componente ao quadrado, os quadrados somados e a raiz quadrada desse total. É este o número do painel
u₁² + u₂² + …: A soma dos quadrados, que os exemplos resolvidos abaixo listam termo a termo. É o único passo intermediário do cálculo, e vê-lo escrito é o que torna o resultado conferível à mão
√: A raiz quadrada, que é a razão de tantas respostas serem irracionais. 3 4 dá 5 exatamente porque 9 mais 16 por acaso dá 25; 1 1 dá 1,4142 e nenhum decimal finito é igual a esse valor
Dois componentes: Um vetor no plano. As duas contagens são aceitas e nenhuma delas é um caso especial: um vetor bidimensional é um vetor tridimensional cujo terceiro componente é 0
Vetor nulo: Um vetor cujos componentes são todos 0. O comprimento dele é 0, e isso é uma resposta e não uma recusa — esta página não divide por nada, que é justamente a razão de o vetor nulo ser aceito aqui e recusado pelas páginas que normalizam
Quatro casas decimais: A largura com que a resposta é escrita. Exata quando a soma dos quadrados é um quadrado perfeito, arredondada em quatro casas nos outros casos
Sem unidade: Nada nesta página sabe em que as componentes foram medidas, e a resposta carrega a unidade que elas tiverem. Um comprimento de 5 quer dizer 5 do que quer que tenha sido digitado

Use esta página quando o tamanho de algo importa e para onde ele aponta não. O caso mais claro é comparar tamanhos: duas forças, duas velocidades ou dois deslocamentos são ordenados só pelo comprimento, e a direção apenas atrapalha. O segundo caso é um comprimento que é um passo dentro de uma conta maior — o módulo é o divisor ao normalizar um vetor, o denominador na fórmula da projeção e um dos dois fatores de um produto escalar, então ele é calculado sozinho muito mais vezes do que é usado por si mesmo. O terceiro caso é o mais concreto de todos: os componentes de um vetor são as coordenadas de um ponto, então o comprimento dele é o quanto esse ponto está longe da origem, e a expressão é a fórmula da distância que você talvez já conheça com outro nome. O que a resposta não carrega é a direção, e vale ser explícito sobre isso porque é fácil ler demais no número. Um comprimento de 5 veio de 3 4, de −3 4 e de 0 5 do mesmo jeito. Se você precisa saber qual desses três você tem, o comprimento não é a página que você quer — as componentes ou o vetor unitário são. Uma entrada de dois componentes é válida e não é completada: é um vetor no plano, e o comprimento dela é a mesma fórmula da distância com dois termos. O vetor nulo é aceito, e o comprimento 0 dele é uma afirmação verdadeira e não um erro.

Exemplos resolvidos

3 4
1. Eleve cada componente ao quadrado: 3² = 9 e 4² = 16
2. Some os quadrados: 9 + 16 = 25
3. Extraia a raiz quadrada: √25 = 5
A entrada com que a página abre e o caso mais limpo que existe. 9 mais 16 é 25, um quadrado perfeito, então a resposta é um número inteiro e nada é arredondado — o que acontece porque 3 e 4 são os dois catetos do triângulo retângulo 3-4-5. Confira pelo caminho inverso: um ponto três para o lado e quatro para cima está a cinco da origem, que é a mesma coisa que dizer que o vetor 3 4 tem comprimento cinco.
5 12
1. Eleve cada componente ao quadrado: 5² = 25 e 12² = 144
2. Some os quadrados: 25 + 144 = 169
3. Extraia a raiz quadrada: √169 = 13
O próximo terno pitagórico depois de 3-4-5, e o que mostra que resposta exata não é caso isolado. Os dois componentes são maiores do que no primeiro exemplo e a resposta ainda sai inteira. Mostra também que a resposta não é limitada por nenhum dos componentes: 13 é maior do que 5 e maior do que 12, que é o que a raiz de uma soma faz.
1 1
1. Eleve cada componente ao quadrado: 1² = 1 e 1² = 1
2. Some os quadrados: 1 + 1 = 2
3. Extraia a raiz quadrada: √2 = 1,414214, impresso como 1,4142
O caso comum e não a exceção: a maioria das somas de quadrados não dá um quadrado perfeito, então a maioria das respostas é irracional e sai arredondada em quatro casas. √2 é a mais simples delas e a que vale reconhecer — ela aparece sempre que uma unidade é dividida em partes iguais entre dois componentes. Verifique que a definição vale no caminho inverso: 1,4142 ao quadrado é 1,99996, que é 2 dentro do arredondamento.
0 0
1. Eleve cada componente ao quadrado: 0² = 0 e 0² = 0
2. Some os quadrados: 0 + 0 = 0
3. Extraia a raiz quadrada: √0 = 0
O vetor nulo, e esta página responde em vez de recusar. O comprimento de um vetor da origem até a origem é 0, e nada no cálculo dividiu por coisa alguma, então não há motivo para recusar. As páginas que normalizam um vetor recusam essa mesma entrada, porque lá o comprimento é um divisor — o veredito pertence à pergunta feita e não à entrada.

Limitações

Dois ou três componentes são aceitos, e só esses: um número sozinho é uma grandeza com sinal e não uma direção, e quatro ou mais não correspondem a nenhum comprimento que alguém tenha pedido a esta página. Uma entrada de dois componentes não é completada até três — ela está no plano, e a mesma direção escrita em três coordenadas tem terceiro componente 0, e é por isso que o campo não precisa perguntar qual dos dois você quis. Os componentes são lidos como números comuns: uma vírgula seguida de espaço separa componentes, uma vírgula sem espaço depois dela é lida como separador decimal (1,5 é um e meio), e um agrupamento de milhar é recusado em vez de adivinhado — escreva 1500, e não 1.500. As quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma promessa de precisão, e a resposta é calculada a partir da soma dos quadrados sem arredondamento, então o número impresso pode não voltar exatamente ao valor de partida quando elevado ao quadrado. O comprimento é um número puro: nada aqui sabe se as componentes eram metros, newtons ou coisa nenhuma, e o módulo carrega a unidade que elas tiverem. A única coisa que a resposta genuinamente não consegue fazer é dizer qualquer coisa sobre a direção. Um comprimento de 5 é compartilhado por 3 4, por −3 4 e por 0 5, e uma página que informa só o comprimento jogou essa distinção fora por construção. Para a direção use as próprias componentes ou o vetor unitário construído a partir delas; para uma comparação que ignora a direção esta página é a resposta inteira, que é o ponto dela.

Perguntas frequentes

O que é o módulo de um vetor?: É o comprimento do vetor: cada componente elevado ao quadrado, os quadrados somados e a raiz quadrada desse total. É um número único, e ele diz o tamanho do vetor sem dizer nada sobre para onde ele aponta. Um vetor desenhado da origem até um ponto tem o mesmo módulo que a distância da origem até esse ponto, e é por isso que a expressão se parece com a fórmula da distância — ela é a fórmula da distância.
Como calculo o comprimento de um vetor à mão?: Eleve cada componente ao quadrado, some os quadrados e extraia a raiz quadrada do total. Para 3 4 isso é 9 mais 16, que dá 25, e a raiz de 25 é 5. Para 1 1 é 1 mais 1, que dá 2, e a raiz de 2 é 1,4142 em quatro casas. O passo do meio é o único com espaço para erro, e é justamente o passo que a tabela de referência desta página lista em todas as linhas.
Posso digitar um vetor bidimensional ou tridimensional?: Qualquer um dos dois, e não há ajuste a mudar: duas entradas é um vetor bidimensional e três entradas é um tridimensional. O mesmo campo aceita os dois porque o cálculo é o mesmo cálculo — um vetor no plano é um vetor no espaço cujo terceiro componente por acaso é 0, e o comprimento dele é a mesma raiz com dois termos dentro em vez de três.
Qual é o módulo do vetor nulo?: Zero, e esta página informa esse valor em vez de recusar a entrada. Todos os componentes são 0, então todos os quadrados são 0, a soma é 0 e a raiz dela é 0. Nada no cálculo dividiu pelo comprimento, e é essa a razão de não haver erro aqui — a página do vetor unitário recusa essa mesma entrada justamente porque lá o comprimento é um divisor.
O módulo me diz a direção?: Não, e ele não tem como: é um número único, e uma direção precisa de pelo menos dois. Os vetores 3 4, −3 4 e 0 5 têm três direções diferentes e os três têm comprimento cinco, então o comprimento não serve para distingui-los. Se o que você precisa é da direção, leia as componentes diretamente ou normalize o vetor num vetor unitário, que guarda a direção e descarta o tamanho em vez disso.
Para que serve o módulo de um vetor?: Para comparar tamanhos e para alimentar o passo seguinte de uma conta maior. Duas forças ou duas velocidades são ordenadas pelo módulo quando as direções não interessam. Ele é também o número pelo qual muitas outras fórmulas dividem ou multiplicam — normalizar um vetor, projetar um vetor sobre outro e o produto escalar todos o consomem —, então calculá-lo sozinho é comum mesmo quando o comprimento não é a resposta final.

Referências

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

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