Qual é a diferença entre a taxa de juros e o rendimento percentual anual?

A taxa de juros é a taxa declarada. O rendimento percentual anual é o que a conta de fato paga ao longo de um ano depois de levada em conta a capitalização, expresso como taxa. Sobre 10.000 a 5 por cento capitalizados ao mês, a taxa de juros é 5 por cento e o rendimento percentual anual é 5,116 por cento, porque os juros creditados em janeiro rendem juros pelo resto do ano. Os dois só são iguais quando os juros são capitalizados uma vez por ano. As divulgações de depósito nos Estados Unidos são obrigadas a informar os dois, com esses nomes.

Como se calcula o rendimento percentual anual?

Divida a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização no ano, some um, eleve o resultado a esse mesmo número de períodos e subtraia um. A 5 por cento capitalizados ao mês, isso é 1,0041667 elevado à décima segunda potência menos um, que dá 0,051162, ou 5,116 por cento. A norma americana escreve a mesma ideia em termos de valores: 100 vezes a quantidade um mais juros sobre principal, elevada a 365 dividido pelos dias do prazo, menos um. As duas dão a mesma resposta quando o prazo é de um ano.

Qual frequência de capitalização paga mais?

A mais frequente, e a capitalização contínua é o teto. A uma taxa nominal de 5 por cento, a anual paga 500 sobre 10.000, a trimestral paga 509,45, a mensal paga 511,62, a diária paga 512,67 e a contínua paga 512,71. As diferenças encolhem conforme a frequência sobe — o passo de anual para trimestral vale 9,45, e o passo de diária para contínua vale 4 centavos. Uma conta que capitaliza diariamente sempre vence a mesma taxa capitalizada ao mês, mas por muito pouco, e um quarto de ponto na taxa vale muito mais do que qualquer mudança de frequência.

O rendimento percentual anual inclui um bônus de abertura ou uma taxa promocional?

Não, e isso é um limite deliberado da norma americana: o rendimento reflete apenas juros e não inclui o valor de um bônus, e juros que dependem de circunstâncias que podem ou não ocorrer — uma taxa promocional que expira, uma taxa que sobe se você mantiver a conta aberta — também não são contados. Um bônus de 200 sobre um saldo de 10.000 vale dois pontos percentuais por um ano, muito mais do que a diferença entre quaisquer duas frequências de capitalização desta página, então vale acrescentá-lo à comparação à mão em vez de supor que o rendimento já o cobre.

O que significa capitalização contínua?

É o limite para o qual o fator de crescimento tende conforme o período de capitalização encolhe na direção de zero — a uma taxa nominal de 5 por cento, um crescimento de 1,051271 no ano, ou um rendimento de 5,1271 por cento. Não é um cronograma que banco algum publique, mas é um teto útil: é o máximo que uma taxa nominal pode valer, então ele diz quanto espaço resta acima da frequência que de fato lhe oferecem. A 5 por cento, a capitalização diária já está a 0,0004 de ponto percentual dele.

Por que esta página pede um valor de depósito?

Porque o rendimento é definido em termos dos juros de fato pagos sobre dinheiro de fato depositado, então o valor faz parte da definição e não é apenas uma entrada para escalar. Ele também dá a segunda cifra do painel, os juros ganhos em valores, que é o número que a maioria das pessoas de fato quer — um rendimento de 5,116 por cento não significa nada até virar 511,62 sobre um saldo de 10.000. O rendimento em si não depende do tamanho do depósito; 4,577 por cento é 4,577 por cento sobre 100 ou sobre 500.000.

Calculadora de APY

Resultado

5,116%

Taxa anual efetiva (APY, %)

Juros ganhos: 511,62
Valor total: 10.511,62

Uma calculadora de APY responde à pergunta que uma taxa anunciada não responde: quanto esta conta de fato paga ao longo de um ano? Informe um depósito, uma taxa anual nominal e com que frequência os juros são capitalizados, e a página devolve o rendimento percentual anual, os juros ganhos em um ano e o saldo final. O nome tem dono: APY, o rendimento percentual anual, é um conceito de divulgação dos Estados Unidos, definido pelo Truth in Savings Act e detalhado no Regulamento DD, que obriga as instituições de depósito americanas a informar a taxa de juros e o rendimento percentual anual, com esses nomes, nas divulgações de conta. O Brasil não tem um número equivalente obrigatório por lei. A poupança brasileira tem rendimento definido por norma, e um CDB costuma ser cotado como percentual do CDI, mas nenhum dos dois é o APY americano, e esta página não calcula nenhum dos dois. A distinção sobre a qual ela é construída é a que a norma americana faz: a taxa de juros é a taxa declarada, e o rendimento percentual anual é a taxa que reflete o total de juros de fato pagos ao longo de um período de 365 dias dada a frequência de capitalização — uma taxa percentual, como diz a norma, baseada na taxa de juros e na frequência de capitalização, calculada segundo as regras do Apêndice A. Os dois números só são iguais quando os juros são capitalizados uma vez por ano. 10.000 a 5 por cento capitalizados anualmente pagam 500 e rendem 5 por cento. Os mesmos 10.000 à mesma taxa de 5 por cento capitalizados ao mês pagam 511,62 e rendem 5,116 por cento. Capitalizados ao dia pagam 512,67 e rendem 5,127 por cento. Capitalizados continuamente — o limite quando o período tende a zero — pagam 512,71. Nada na taxa mudou em nenhum desses casos; o que mudou foi a frequência com que os juros já creditados passam a render juros por conta própria. Esse é todo o conteúdo da diferença, e é por isso que as regras de divulgação exigem o rendimento e não a taxa: duas contas que anunciam 5 por cento não pagam o mesmo valor. A tabela de referência mantém o depósito e a taxa fixos e percorre as seis frequências, de modo que a coluna da capitalização é a única que se move. Duas coisas vale saber sobre a própria cifra. Ela é calculada sobre um ano de 365 dias assumido — é a convenção da norma, e a instituição pode usar 366 dias em ano bissexto. E ela reflete apenas juros: um bônus de abertura, uma tarifa dispensada ou uma taxa promocional que pode não durar não fazem parte dela, que é justamente o tipo de coisa que uma taxa anunciada costuma deixar de fora. Onde esta página difere das vizinhas é no que você precisa saber antes de começar. Esta pede um saldo, porque o rendimento de uma conta é uma afirmação sobre dinheiro de fato depositado. E há uma armadilha de leitura para quem vem do português: o resultado sai em taxa anual, e no Brasil a conversa é em taxa mensal. A 5 por cento nominais com capitalização mensal, a taxa mensal é 0,41667 por cento e o rendimento anual é 5,116 por cento — os dois números descrevem a mesma conta, e confundi-los faz uma conta medíocre parecer muito melhor do que é. A parente mais próxima desta página, a calculadora de taxa efetiva, calcula a mesma cifra anual a partir de uma taxa e de uma contagem arbitrária de capitalizações, que é a versão a usar quando a contagem que você tem em mente — 26, 52 — não é uma das seis que uma lista oferece. E a calculadora de taxa efetiva anual parte de uma taxa cobrada por período em vez de uma taxa anual nominal, que é a versão a usar quando você está trabalhando a partir de um extrato e não de um anúncio.

10.000 a 5% ao ano, capitalizados de seis maneiras

Frequência de capitalização	Rendimento percentual anual	Juros ganhos	Saldo final
Anual — juros somados uma vez, no fim do ano	5	500	10500
Semestral — juros somados duas vezes por ano	5.062	506.25	10506.25
Trimestral — juros somados quatro vezes por ano	5.095	509.45	10509.45
Mensal — juros somados doze vezes por ano	5.116	511.62	10511.62
Diária — juros somados 365 vezes por ano	5.127	512.67	10512.67
Contínua — capitalizada a cada instante	5.127	512.71	10512.71

Todas as linhas têm os mesmos depósitos e a mesma taxa declarada, então a terceira e a quarta colunas são a história inteira: quanto vale a frequência. A capitalização anual paga 500, que é exatamente 5 por cento de 10.000, e o rendimento é igual à taxa — a linha que mostra contra o que as outras cinco são medidas. A semestral paga 6,25 a mais, a trimestral 9,45 a mais, a mensal 11,62 a mais, a diária 12,67 a mais e a contínua 12,71 a mais, que é o teto. Vale ler os incrementos duas vezes, porque eles encolhem rápido: a segunda linha ganha 6,25 sobre a primeira, e a última linha ganha 4 centavos sobre a de cima. Duas regras práticas decorrem disso. A frequência de capitalização importa mais quando a taxa é alta e o saldo é grande — sobre um milhão a 25 por cento a diferença entre capitalização anual e diária chega a dezenas de milhares. E quando um banco anuncia duas contas à mesma taxa, a que capitaliza com mais frequência é estritamente melhor, mas o quanto ela é melhor costuma ser pequeno o bastante para que tarifas e saldos mínimos decidam a comparação no lugar disso.

Fórmula

Juros = principal × [(1 + taxa ÷ períodos por ano)^(períodos por ano) − 1] Rendimento percentual anual = juros ÷ principal × 100

Valor inicial: O que está depositado no início do ano, que a norma trata como intocado por todo o prazo — sem novos depósitos e sem saques, de modo que o rendimento descreva a conta e não o comportamento de um poupador
Taxa anual nominal: A taxa anunciada ou declarada, por ano, antes de qualquer capitalização — o número impresso ao lado do rendimento em uma divulgação e que quase sempre é o menor dos dois
Frequência de capitalização: Quantas vezes por ano os juros são calculados e somados ao saldo: anual, semestral, trimestral, mensal, diária ou contínua. É a única entrada que muda a resposta quando todo o resto fica fixo, e a tabela de referência percorre as seis
Juros ganhos: O valor creditado ao longo do ano — a cifra que de fato entra na conta, e a que se deve comparar quando duas contas anunciam a mesma taxa com capitalizações diferentes
Rendimento percentual anual: Os juros ganhos divididos pelo valor depositado, expressos como taxa anual. Em um prazo de 365 dias é o mesmo que a taxa efetiva anual; o nome é o que as divulgações de depósito americanas usam, e ele é calculado para um período de 365 dias segundo o Apêndice A do Regulamento DD

Use quando você estiver olhando para uma conta de depósito e não para um empréstimo, e quando quiser o número que descreve o que um ano naquela conta paga. O caso mais claro é comparar duas contas que anunciam a mesma taxa: 5 por cento capitalizados ao mês vencem 5 por cento capitalizados ao trimestre, que vencem 5 por cento capitalizados ao ano, e os rendimentos são 5,116, 5,095 e 5,000 por cento, uma diferença que você consegue ver nos juros de um ano sem esperar um ano. O segundo caso é conferir uma divulgação. As regras americanas exigem que a divulgação de conta traga tanto a taxa de juros quanto o rendimento percentual anual, usando esses termos, junto com a frequência com que os juros são capitalizados e creditados; então um banco que mostra 5 por cento e 5,116 por cento está dizendo que a conta capitaliza ao mês — e um banco cujo rendimento é igual à taxa está dizendo que capitaliza ao ano, ou que algo na divulgação está errado. Um terceiro caso é o que pega as pessoas no topo da faixa: quanto menor a taxa, menos a capitalização importa, e a uma taxa nominal de 50 por cento capitalizada ao dia o ano chega a 64,816 por cento, enquanto a capitalização mensal dá 63,21 e a anual dá 50. Escolha uma frequência só se a conta realmente a usar: a capitalização contínua é um limite matemático e não um recurso de produto, e ela está aqui porque o teto que descreve é a maneira certa de ver quanto espaço resta entre a capitalização diária e o limite — a 5 por cento, a capitalização diária está 0,0004 de ponto percentual abaixo dele. E não perca de vista o que esta página não é: ela calcula o conceito americano a partir dos seus números. Se você quer saber quanto a poupança brasileira rende, ou quanto um CDB indexado ao CDI paga, esta página não responde — as regras desses produtos são outras e nenhuma delas está implementada aqui.

Exemplos resolvidos

10.000 a 5% capitalizados ao mês
1. Taxa do período: 5% ÷ 12 = 0,41667% ao mês
2. Crescimento ao longo do ano: 1,0041667¹² = 1,051162
3. Juros ganhos: 10.000 × 0,051162 = 511,62
4. Saldo final: 10.000 + 511,62 = 10.511,62
5. Rendimento percentual anual: 511,62 ÷ 10.000 × 100 = 5,116%
O caso padrão. A capitalização mensal acrescenta 11,62 a mais do que os 500 que a taxa sozinha sugeriria, o que é 0,116 de ponto percentual de rendimento — pouco, mas é a diferença entre a taxa anunciada e o que a conta paga, e é exatamente essa lacuna que as regras de divulgação existem para expor.
A mesma conta capitalizada ao dia
1. Taxa do período: 5% ÷ 365 = 0,0137% ao dia
2. Crescimento ao longo do ano: 1,00013699³⁶⁵ = 1,051267
3. Juros ganhos: 10.000 × 0,051267 = 512,67
4. Saldo final: 10.000 + 512,67 = 10.512,67
5. Rendimento percentual anual: 512,67 ÷ 10.000 × 100 = 5,127%
A capitalização diária ganha 1,05 sobre a mensal em um saldo de 10.000 — 0,011 de ponto percentual de rendimento. Esse é o formato da página inteira: os passos entre frequências ficam menores conforme a frequência sobe, e o último passo, da diária para a contínua, vale 0,04 por ano. Quem escolhe entre duas contas deveria se importar muito mais com a diferença entre anual e mensal do que com a diferença entre diária e contínua.
Meio milhão a 4,5% capitalizado ao trimestre
1. Taxa do período: 4,5% ÷ 4 = 1,125% ao trimestre
2. Crescimento ao longo do ano: 1,01125⁴ = 1,045765
3. Juros ganhos: 500.000 × 0,045765 = 22.882,54
4. Saldo final: 500.000 + 22.882,54 = 522.882,54
5. Rendimento percentual anual: 22.882,54 ÷ 500.000 × 100 = 4,577%
Um saldo maior não muda o rendimento — 4,577 por cento é uma propriedade da taxa e da frequência, e seria o mesmo sobre 100. O que o saldo muda são os valores, e é por isso que o rendimento é a cifra para comparar contas e os juros ganhos são a cifra para comparar resultados. Neste tamanho, os 0,077 de ponto que a capitalização trimestral acrescenta sobre a taxa declarada valem 385 por ano.

Limitações

Ela pressupõe que o saldo fique intocado por todo o ano. Sem novos depósitos, sem saques, sem transferências de entrada ou de saída — o rendimento é uma propriedade da conta sob essa premissa, que é o que a norma americana especifica e o que torna duas contas comparáveis, mas não é o que a maior parte dos poupadores de fato faz. Ela calcula apenas juros. Um bônus de abertura, uma tarifa mensal dispensada, uma taxa promocional válida por três meses, uma taxa escalonada que paga mais acima de um determinado saldo — nada disso entra nesta cifra, e cada um deles pode valer mais do que a diferença de capitalização que a página foi feita para mostrar. Ela pressupõe que a taxa se mantenha por todo o ano: em uma conta de taxa variável o rendimento é um retrato da taxa de hoje, e a própria divulgação diz isso, razão pela qual divulgações de taxa variável precisam informar que a taxa e o rendimento podem mudar. Ela usa um ano de 365 dias, a convenção da norma; um banco pode usar 366 dias em ano bissexto, e um banco que calcule sobre uma base de 360 dias, como fazem bancos em alguns países, não vai coincidir com esta página até o último dígito. Ela não modela o caso de os juros creditados no meio do ano serem sacados: em uma conta que credita ao mês mas paga os juros todo mês em vez de deixá-los capitalizar, o saldo nunca cresce e o rendimento desaba para a taxa declarada, e esse é um produto diferente do que esta página descreve. Por fim, ela é uma calculadora e não uma divulgação: o rendimento percentual anual que uma instituição de depósito americana é obrigada a lhe entregar é apurado sob a norma escrita, incluindo regras para taxas escalonadas por degraus e contas com prazo superior a um ano que esta página não implementa. E, para quem lê em português, três coisas que esta página não faz e que nenhuma delas é uma falha: ela não calcula o rendimento da poupança brasileira, que tem regras próprias de remuneração e de data de aniversário do depósito; ela não calcula o rendimento de um CDB, que no Brasil costuma ser cotado como percentual do CDI e não como taxa prefixada; e ela não produz nenhum número com validade legal no Brasil, porque o Brasil não exige um rendimento percentual anual nos moldes americanos. O que ela faz é mostrar, com os seus números, como a frequência de capitalização muda o que uma taxa declarada de fato paga.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre a taxa de juros e o rendimento percentual anual?: A taxa de juros é a taxa declarada. O rendimento percentual anual é o que a conta de fato paga ao longo de um ano depois de levada em conta a capitalização, expresso como taxa. Sobre 10.000 a 5 por cento capitalizados ao mês, a taxa de juros é 5 por cento e o rendimento percentual anual é 5,116 por cento, porque os juros creditados em janeiro rendem juros pelo resto do ano. Os dois só são iguais quando os juros são capitalizados uma vez por ano. As divulgações de depósito nos Estados Unidos são obrigadas a informar os dois, com esses nomes.
Como se calcula o rendimento percentual anual?: Divida a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização no ano, some um, eleve o resultado a esse mesmo número de períodos e subtraia um. A 5 por cento capitalizados ao mês, isso é 1,0041667 elevado à décima segunda potência menos um, que dá 0,051162, ou 5,116 por cento. A norma americana escreve a mesma ideia em termos de valores: 100 vezes a quantidade um mais juros sobre principal, elevada a 365 dividido pelos dias do prazo, menos um. As duas dão a mesma resposta quando o prazo é de um ano.
Qual frequência de capitalização paga mais?: A mais frequente, e a capitalização contínua é o teto. A uma taxa nominal de 5 por cento, a anual paga 500 sobre 10.000, a trimestral paga 509,45, a mensal paga 511,62, a diária paga 512,67 e a contínua paga 512,71. As diferenças encolhem conforme a frequência sobe — o passo de anual para trimestral vale 9,45, e o passo de diária para contínua vale 4 centavos. Uma conta que capitaliza diariamente sempre vence a mesma taxa capitalizada ao mês, mas por muito pouco, e um quarto de ponto na taxa vale muito mais do que qualquer mudança de frequência.
O rendimento percentual anual inclui um bônus de abertura ou uma taxa promocional?: Não, e isso é um limite deliberado da norma americana: o rendimento reflete apenas juros e não inclui o valor de um bônus, e juros que dependem de circunstâncias que podem ou não ocorrer — uma taxa promocional que expira, uma taxa que sobe se você mantiver a conta aberta — também não são contados. Um bônus de 200 sobre um saldo de 10.000 vale dois pontos percentuais por um ano, muito mais do que a diferença entre quaisquer duas frequências de capitalização desta página, então vale acrescentá-lo à comparação à mão em vez de supor que o rendimento já o cobre.
O que significa capitalização contínua?: É o limite para o qual o fator de crescimento tende conforme o período de capitalização encolhe na direção de zero — a uma taxa nominal de 5 por cento, um crescimento de 1,051271 no ano, ou um rendimento de 5,1271 por cento. Não é um cronograma que banco algum publique, mas é um teto útil: é o máximo que uma taxa nominal pode valer, então ele diz quanto espaço resta acima da frequência que de fato lhe oferecem. A 5 por cento, a capitalização diária já está a 0,0004 de ponto percentual dele.
Por que esta página pede um valor de depósito?: Porque o rendimento é definido em termos dos juros de fato pagos sobre dinheiro de fato depositado, então o valor faz parte da definição e não é apenas uma entrada para escalar. Ele também dá a segunda cifra do painel, os juros ganhos em valores, que é o número que a maioria das pessoas de fato quer — um rendimento de 5,116 por cento não significa nada até virar 511,62 sobre um saldo de 10.000. O rendimento em si não depende do tamanho do depósito; 4,577 por cento é 4,577 por cento sobre 100 ou sobre 500.000.

Referências

12 CFR 1030.2(c) — annual percentage yield: a percentage rate reflecting the total amount of interest paid on an account, based on the interest rate and the frequency of compounding for a 365-day period and calculated according to the rules in Appendix A — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR Part 1030, Appendix A (Annual Percentage Yield Calculation) — the formula APY = 100[(1 + Interest ÷ Principal)^(365 ÷ Days in term) − 1], the 365-day year, the 366-day election in a leap year, and the assumption that all principal and interest remain on deposit for the entire term — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR 1030.4(b) — account disclosures must state both the annual percentage yield and the interest rate using those terms, and the frequency with which interest is compounded and credited — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)

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