일 계산기

일 = 힘 × 거리 × cos θ, 여기서 θ는 힘과 변위 사이의 각도

F

물체에 작용한 힘의 크기입니다. 단위는 N이며 같은 필드에서 kN, lbf, kgf도 고를 수 있습니다. 크기만 들어가고 방향은 각도 항이 따로 처리하므로, 이 값에 부호를 붙이지 않습니다. 방향은 각도로만 표현하는 것이 이 공식의 약속이며, 각도를 0으로 두고 힘에 음수를 넣는 방식은 쓰지 않습니다

d

물체가 실제로 움직인 거리입니다. m, cm, km, ft, in으로 넣습니다. 힘을 가했지만 물체가 움직이지 않았다면 이 값이 0이므로 일도 0입니다. 벽을 아무리 세게 밀어도 벽이 움직이지 않으면 물리적으로는 일을 하지 않은 것이고, 그래서 이 공식에서 거리는 힘만큼이나 중요한 항입니다

θ

힘의 방향과 물체가 움직인 방향 사이의 각도입니다. 0도는 같은 방향, 180도는 정반대이며 이 페이지에서 결과의 부호와 크기를 함께 정하는 입력입니다. 90도에서는 코사인이 0이므로 힘이 아무리 커도 일은 0입니다. 각도를 재는 기준은 힘과 변위 둘이며, 어느 쪽에서 재도 결과는 같습니다

W

한 일이며 줄, 킬로줄, 피트 파운드로 표시됩니다. 양수는 물체에 에너지를 더한 경우, 음수는 빼앗은 경우이고, 0은 힘이 있었지만 운동 방향과 수직이었던 경우입니다. 운동 에너지와 같은 단위를 쓰지만 같은 양은 아닙니다. 일은 과정에서 오가는 양이고 에너지는 상태가 가진 양입니다

F cos θ

변위 방향에 실제로 놓인 힘의 몫입니다. 주 결과가 왜 그 값인지를 설명하는 줄이고, 100 N의 힘이 60도에서 50 N으로 줄어드는 것이 여기서 보입니다. 이 값이 음수이면 힘이 운동을 거스르고 있다는 뜻이며, 마찰이나 중력이 그런 경우입니다. 힘의 크기와 이 값의 차이가 각도의 효과 전부입니다

어떤 작업에 에너지가 얼마나 필요한지, 또는 어떤 힘이 얼마나 도움이 되는지 계산할 때 씁니다. 짐을 밀거나 끌 때 실제로 드는 품이 힘의 크기가 아니라 각도에 따라 달라진다는 것이 이 계산의 요점이고, 손잡이가 낮게 달린 수레를 미는 것이 힘든 이유가 여기 있습니다. 기계의 효율을 따질 때도 같은 계산이 쓰입니다. 로프가 비스듬히 당기는 크레인, 경사진 방향으로 미는 피스톤, 삽을 비스듬히 넣는 동작이 모두 각도 항을 가진 일입니다. 반대로 읽는 용도도 있습니다. 일정한 일을 해야 할 때 각도를 어떻게 잡아야 힘을 덜 쓸 수 있는지가 역산되고, 도르래를 설치하는 각도가 그렇게 정해집니다. 일과 운동 에너지의 관계도 이 페이지에서 확인할 수 있습니다. 물체에 해 준 알짜일이 양수이면 운동 에너지가 늘고 음수이면 줄어들며, 마찰이 한 일이 음수인 이유가 이것입니다.

1. 기본값: 100 N으로 5 m를, 운동 방향으로

   1. 각도가 0이므로 cos 0° = 1이고, 힘이 전부 일을 합니다
   2. 100 × 5 × 1 = 500 J
   3. 킬로줄로는 0.5 kJ입니다
   4. 피트 파운드로는 500 ÷ 1.355818 = 368.78 ft·lb입니다
   5. 변위 방향의 힘: 100 × cos 0° = 100 N입니다. 힘의 전부가 일에 쓰였습니다

   힘과 운동 방향이 일치할 때가 가장 단순한 경우이고, 공식의 코사인 항이 1이 되어 힘과 거리를 곱하기만 하면 됩니다. 넷째 출력이 100 N으로 힘과 같은 것도 이 때문입니다. 화면에서 주 결과가 500이 아니라 500.00으로 표시되는 것은 이 페이지의 출력이 소수 둘째 자리까지 보여 주기 때문이며, 값 자체는 500 J입니다. 500 J은 1 kg짜리 물건을 51 m 들어 올리는 정도이고, 사람이 몇 초에 해낼 수 있는 양입니다.

2. 같은 힘을 60도로: 일이 절반이 됩니다

   1. cos 60° = 0.5이므로 힘의 절반만 변위 방향에 놓입니다
   2. 변위 방향의 힘: 100 × 0.5 = 50 N
   3. 50 × 5 = 250 J
   4. 힘과 거리를 그대로 곱해도 같습니다: 100 × 5 × 0.5 = 250 J
   5. 킬로줄로는 0.25 kJ, 피트 파운드로는 184.39 ft·lb입니다

   100 N을 가했는데 50 N어치만 일을 했습니다. 나머지 50 N은 물체를 들어 올리는 쪽으로 쓰였고, 수평으로 끌고 가는 데는 보태지 못했습니다. 이것이 손잡이가 낮은 수레를 밀 때 팔이 아픈 이유입니다. 각도를 60도로 잡으면 같은 거리를 가는 데 두 배의 힘이 들고, 그래서 로프를 수평에 가깝게 당기는 것이 유리합니다. 각도를 더 키우면 어떻게 되는지는 다음 두 예시가 보여 줍니다. 90도에서 최소가 아니라 0이 되고, 그 뒤로는 부호가 뒤집힙니다.

3. 90도로 옆에서 밀기: 일이 정확히 0

   1. cos 90° = 0이므로 변위 방향에 놓인 힘이 없습니다
   2. 변위 방향의 힘: 100 × 0 = 0 N
   3. 0 × 5 = 0 J
   4. 세 출력이 모두 0입니다

   힘이 0이 아니라 일이 0입니다. 100 N을 분명히 가했고 물체도 5 m를 움직였는데, 두 방향이 수직이라서 서로 아무 일도 하지 않았습니다. 짐을 든 채 수평으로 걸어가는 경우가 이 상황이고, 팔은 무게를 받치느라 지치지만 그 짐에 대해서는 물리적으로 일을 하지 않습니다. 같은 이유로 원운동에서 구심력은 일을 하지 않고, 그래서 등속 원운동에서 속력이 일정하게 유지됩니다. 0이라는 결과를 “계산이 안 된 것”으로 오해하지 않도록 하십시오. 이것은 정확한 답입니다.

4. 마찰: 180도, 그래서 일이 음수

   1. cos 180° = −1이므로 힘이 운동을 정면으로 거스릅니다
   2. 변위 방향의 힘: 100 × (−1) = −100 N
   3. −100 × 5 = −500 J
   4. 킬로줄로는 −0.5 kJ, 피트 파운드로는 −368.78 ft·lb입니다

   음의 일은 계산 실수가 아니라 물체가 에너지를 잃었다는 뜻입니다. 미끄러지는 상자에 작용하는 마찰력이 정확히 이 경우이고, 500 J만큼 상자의 운동 에너지가 줄어듭니다. 그 에너지는 사라지지 않고 열로 바뀌어 바닥과 상자를 데웁니다. 첫째 예시와 부호만 다르고 크기가 같은 것을 눈여겨보십시오. 같은 힘으로 같은 거리를 밀었지만 방향이 반대이므로, 하나는 에너지를 주고 하나는 빼앗습니다. 일이 벡터가 아니라 스칼라이면서도 부호를 가지는 이유가 이 두 줄에 함께 있습니다.

힘이 일정하다고 가정합니다. 실제로는 물체가 움직이는 동안 힘의 크기나 방향이 변하고, 그때는 구간을 잘게 나누어 각각의 일을 더해야 합니다. 스프링을 당기는 경우가 대표적이며, 늘어날수록 더 큰 힘이 필요하므로 힘과 거리를 단순히 곱할 수 없습니다. 각도도 고정되어 있다고 봅니다. 로프를 당기는 사람이 걸어가면서 각도가 변하면 그 순간순간의 코사인을 따로 계산해야 하고, 이 계산기는 하나의 각도만 받습니다. 알짜일의 합은 다루지 않습니다. 한 물체에 여러 힘이 작용하면 각각의 일을 따로 구해 더해야 하고, 그 합이 운동 에너지의 변화와 같아집니다. 이 페이지는 힘 하나에 대한 일만 계산합니다. 열로 바뀌는 몫도 표시하지 않습니다. 마찰이 한 음의 일은 사라지는 것이 아니라 열이 되는데, 그 열이 얼마인지는 이 계산기의 출력에 없습니다. 마지막으로 상대론적 영역은 범위 밖입니다. 광속에 가까운 속도에서는 힘과 변위의 관계가 달라져 이 공식을 그대로 쓸 수 없습니다.

일 공식은 무엇인가요?

W = F × d × cos θ이며 힘, 이동 거리, 그리고 두 방향 사이의 각도를 곱한 값입니다. 각도가 0이면 코사인이 1이라 힘과 거리의 곱이 되고, 90도면 0, 180도면 음수가 됩니다. 변위 방향에 놓인 힘의 몫을 따로 보여 주는 F cos θ가 함께 표시되므로, 답이 왜 그렇게 나왔는지가 한 화면에서 확인됩니다. 일의 단위는 줄이고 에너지와 같은 단위를 씁니다.

음의 일은 무엇인가요?

힘이 물체의 운동을 거스르는 방향으로 작용할 때 나오는 값이며, 물체가 에너지를 잃었다는 뜻입니다. 마찰이 대표적인 예이고, 물체를 잡아당겨 감속시키는 힘도 마찬가지입니다. 그 에너지는 사라지지 않고 열이나 소리로 바뀝니다. 부호를 절댓값으로 바꾸면 정보가 사라지므로, 이 계산기는 음수를 그대로 표시합니다. 양의 일과 음의 일을 더한 알짜일이 운동 에너지의 변화와 같습니다.

힘을 가했는데 왜 일이 0인가요?

물체가 움직이지 않았거나, 힘의 방향이 운동 방향과 수직이기 때문입니다. 벽을 밀어도 벽이 움직이지 않으면 거리가 0이라 일도 0이고, 짐을 든 채 수평으로 걸어가면 힘은 위쪽, 운동은 옆쪽이라 각도가 90도이므로 일이 0입니다. 두 경우 모두 힘을 들이고 있으므로 사람은 지치지만, 물리에서 말하는 일은 물체에 전달된 에너지를 세는 양이라 결과가 다릅니다.

일 에너지 정리는 무엇인가요?

물체에 해 준 알짜일이 그 물체의 운동 에너지 변화와 같다는 정리입니다. 그래서 500 J의 일을 해 주면 운동 에너지가 500 J 늘고, 마찰이 500 J의 음의 일을 하면 500 J만큼 줄어듭니다. 이 정리가 일과 에너지를 같은 단위로 묶어 주고, 힘을 직접 다루기 어려운 문제를 에너지로 우회해 풀 수 있게 합니다. 이 페이지의 주 결과와 운동 에너지 페이지의 값이 서로 맞아떨어지는 것도 이 정리 때문입니다.

일과 에너지는 같은 것인가요?

단위는 같지만 같은 양은 아닙니다. 일은 힘이 작용하며 물체가 움직이는 과정에서 오가는 양이고, 에너지는 물체가 어떤 상태에서 가지고 있는 양입니다. 일을 해 주면 에너지가 늘어나고, 에너지로 일을 할 수 있습니다. 둘의 관계를 정량적으로 묶은 것이 일 에너지 정리이며, 그래서 두 양을 같은 줄에 놓고 더하거나 빼는 계산이 성립합니다. 다만 열이 끼면 이야기가 달라지고, 그때는 열역학 쪽의 몫입니다.

• Work: The Scientific Definition (College Physics 2e, §7.1) — the definition of work as force times displacement times the cosine of the angle between them, and the cases where it comes out zero or negative — 힘 곱하기 변위 곱하기 사이각의 코사인이라는 일의 정의, 그리고 0이나 음수가 나오는 경우들 — OpenStax
• Work (physics) — the sign convention, the work energy theorem, and why a force perpendicular to the displacement does no work — 부호 규약, 일 에너지 정리, 그리고 변위에 수직인 힘이 일을 하지 않는 이유 — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — 알파벳순 단위 계수 중 피트 파운드힘 항목(1 ft·lbf = 1.355 818 J)이며, 이 페이지의 셋째 출력 줄이 이 값을 씁니다 — National Institute of Standards and Technology