탄성 에너지 계산기

탄성 위치 에너지 = ½ × 용수철 상수 × 변위² 용수철 힘 = 용수철 상수 × 변위

k

N/m 단위의 스프링 상수(강성) — 입력란은 kN/m, N/mm, lbf/in도 받습니다. 용수철을 한 단위 길이만큼 움직이는 데 드는 힘이므로, 뻣뻣한 용수철일수록 k가 큽니다

x

센티미터 단위의 변위 — 자연 길이에서 얼마나 늘어나거나 압축되었는지를 나타내며, 입력란의 기본 단위가 센티미터입니다. 부호는 상관없습니다. 당길 때와 압축할 때 저장되는 에너지가 같기 때문입니다

E

줄 단위의 탄성 위치 에너지로, 용수철을 변형시키는 데 한 일입니다. 세 번째 출력 행은 같은 에너지를 ft·lb로 보여 줍니다

F

훅의 법칙 F = kx로 구한 뉴턴 단위의 용수철 힘 — 당기는 동안의 평균이 아니라 최대로 늘어난 지점의 힘입니다

용수철이나 고무줄, 활, 트램폴린, 서스펜션이 등장하고 그 안에 에너지가 얼마나 담기는지, 또는 얼마나 세게 당기는지 알아야 할 때 씁니다. 가장 자주 나오는 질문은 주어진 에너지에 맞춰 용수철 상수를 정하는 일, 곧 발사기나 균형추, 도어 기구를 설계하는 일과, 그것이 풀려 버리면 무슨 일이 생기는지 계산하는 일입니다. 습관 두 가지가 답을 더 쓸모 있게 만듭니다. 첫째, 수를 믿기 전에 변위의 단위를 확인하십시오. 입력란의 기본값이 센티미터라서, 10 mm를 뜻한 값을 10 cm로 넣으면 에너지가 백 배가 됩니다. 둘째, 에너지는 변위의 제곱으로 늘고 힘은 선형으로만 늘어난다는 점을 기억하십시오. 그래서 압축의 마지막 구간에 에너지가 몰립니다. 90퍼센트까지 압축한 용수철은 아직 81퍼센트만 들고 있고, 마지막 10퍼센트가 나머지 5분의 1을 더합니다.

1. 1 lbf/in 용수철을 2인치 늘릴 때 — 175 N/m를 5.08 cm

   1. 1 lbf/in = 175.127 N/m입니다(강성 입력란은 N/m를 받으므로 인치당 파운드 용수철은 이 값으로 들어갑니다)
   2. 변위: 2 in = 5.08 cm
   3. 용수철 힘: 175.127 × 0.0508 = 8.90 N이며, 끝에서 손으로 느끼게 되는 2 lbf에 해당합니다
   4. 변위의 제곱: 0.0508 × 0.0508 = 0.002581
   5. 에너지: ½ × 175.127 × 0.002581 = 0.226 J
   6. 다른 단위로는 0.226 ÷ 1.3558179 = 0.167 ft·lb입니다

   참고표에서 2인치에 해당하는 행이고, 값이 일부러 작습니다. 몇 인치 늘어난 가벼운 용수철이 드는 에너지는 5분의 1줄 남짓으로, 떨어진 사과 한 개 정도입니다. 흥미로운 것은 두 출력의 비입니다. 힘은 2 lbf이고 에너지는 0.167 ft·lb이므로, 용수철은 평균 1 lbf의 힘에 맞서 12분의 2피트만큼 움직인 셈입니다. 에너지는 힘 곱하기 거리인데 여기서 힘은 일정하지 않았습니다. 0에서 2까지 올라갔고, ½kx²의 그 ½이 바로 여기서 나옵니다.

2. 180 lbf/in 서스펜션 용수철을 3인치 압축할 때 — 31,522.8 N/m를 7.62 cm

   1. 180 lbf/in = 31,522.830 N/m입니다
   2. 변위: 3 in = 7.62 cm
   3. 용수철 힘: 31,522.830 × 0.0762 = 2,402.04 N이며 약 540 lbf에 해당합니다
   4. 변위의 제곱: 0.0762 × 0.0762 = 0.005806
   5. 에너지: ½ × 31,522.830 × 0.005806 = 91.518 J
   6. 다른 단위로는 67.5 ft·lb입니다

   실제 자동차 용수철이고, 가져갈 값은 힘입니다. 이 압축 상태에서 그 모서리에 540 lbf, 곧 약 2,402 N이 걸리는데, 이는 1,500 kg 차의 무게에서 6분의 1쯤입니다. 91.5 J이 던진 공이 가진 운동 에너지보다 작다는 점도 보십시오. 용수철은 뻣뻣해서 에너지가 큰 것이 아니라 멀리 움직여서 큽니다. 서스펜션 용수철은 3인치밖에 움직이지 않지만 활은 60 cm를 움직이고, 에너지는 거기서 나옵니다.

3. 같은 용수철을 6인치로 — 두 배 멀리

   1. 변위: 6 in = 15.24 cm로 위 예제의 두 배입니다
   2. 용수철 힘: 31,522.830 × 0.1524 = 4,804.08 N으로 정확히 두 배입니다 — 훅의 법칙은 선형입니다
   3. 변위의 제곱: 0.1524 × 0.1524 = 0.023226으로 위의 0.005806의 네 배입니다
   4. 에너지: ½ × 31,522.830 × 0.023226 = 366.071 J로 위의 91.518 J의 정확히 네 배입니다
   5. 다른 단위로는 270 ft·lb입니다

   이 예제를 위 예제와 나란히 놓으면 이 페이지 전체가 두 개의 비율로 정리됩니다. 압축을 두 배로 하면 힘은 두 배, 에너지는 네 배입니다. 첫 1인치에서는 감당할 만해 보이던 용수철이 네 번째 1인치에서는 진짜로 위험해지는 이유가 여기 있고, 활이 최대 당기는 무게가 아니라 저장 에너지로 등급이 매겨지는 이유도 같습니다. 당기는 무게는 선형인 부분이고, 에너지는 제곱인 부분입니다.

이것은 훅의 법칙이고, 용수철이 탄성 범위 안에서 거동할 때만 성립합니다. 실제 용수철을 항복점 너머로 밀면 힘이 변위에 비례하지 않게 되고, 끝까지 밀어 코일이 닿으면 강성이 완전히 달라져 위의 ½kx²는 에너지를 과대평가합니다. 감쇠도 이력 현상도 질량도 없습니다. 실제 용수철은 매 주기마다 내부 마찰로 에너지를 조금씩 잃고, 질량이 있는 용수철은 움직이는 동안 자체 운동 에너지를 가집니다. 미리 하중이 걸린 용수철, 곧 밸브 스프링이나 볼트 뒤에 들어간 용수철도 모형에 없습니다. 그런 경우 저장된 에너지는 변위 0을 기준으로 한 총량이 아니라 두 상태의 차이인데, 이 페이지가 주는 수는 자연 길이에서 잰 에너지입니다. 용수철 전체가 같은 양만큼 움직인다고 가정하므로, 테이퍼 용수철이나 서로 다른 두 용수철을 직렬로 이은 것, 코일마다 변위를 똑같이 나누지 않는 물체는 하나의 k로 기술되지 않습니다. 정적 계산이라는 점도 한계입니다. 용수철을 놓았을 때 뒤따르는 진동은 다루지 않는데, 그것은 질량이 함께 필요하고 다른 페이지의 몫입니다. 마지막으로 저장된 에너지가 쓸모 있게 풀릴지는 따지지 않습니다. 같은 366 J이 발사체를 띄울 수도 있고 댐퍼에서 열로 사라질 수도 있습니다. 변위가 용수철 축을 따라 잰 값이라고 가정하며, 비스듬한 방향은 다루지 않습니다.

탄성 위치 에너지 공식은 무엇인가요?

E = ½kx²이고, k는 뉴턴 퍼 미터 단위의 스프링 상수, x는 미터 단위의 변위입니다. ½이 붙는 이유는 용수철이 움직이는 동안 힘이 0에서 kx까지 커지므로 변위 전체에 걸친 평균 힘이 최종값의 절반밖에 되지 않기 때문입니다. 1 lbf/in 용수철을 2인치 늘리면 0.226 J이 저장되며, 손으로 검산하려면 위의 계산 과정을 그대로 따라가면 됩니다.

변위가 왜 곱하기가 아니라 제곱인가요?

용수철에 한 일이 힘 곱하기 거리인데 힘이 일정하지 않기 때문입니다. 시작할 때는 0이고 끝에서는 kx이므로 평균이 ½kx이고, 한 일은 ½kx에 x를 곱한 값이 됩니다. 실무적인 결과는 변위를 두 배로 하면 에너지는 네 배가 되는데 용수철 힘은 두 배에 그친다는 것이고, 압축의 마지막 구간이 힘든 이유와 활이 당기는 무게가 아니라 저장 에너지로 등급이 매겨지는 이유가 여기 있습니다.

스프링 상수는 무엇이고 어떻게 구하나요?

용수철을 한 단위 길이만큼 움직이는 데 드는 힘이므로 N/m로 재며, 입력란은 N/mm와 lbf/in도 받습니다. 재는 방법은 아는 무게를 용수철에 매달아 늘어난 길이를 읽고 나누는 것입니다. 8 N에 4 cm 늘어난 용수철이라면 k = 8 ÷ 0.04 = 200 N/m입니다. 자동차 서스펜션 용수철은 30 N/mm쯤으로 30,000 N/m이고, 실험실의 가벼운 용수철은 100 N/m에 가깝습니다.

압축할 때와 당길 때 에너지가 같은가요?

용수철이 대칭이라면 같습니다. 대부분의 코일 용수철이 그렇습니다. 식이 x²를 쓰므로 5 cm 압축과 5 cm 인장은 둘 다 ½ × k × 0.0025 J을 저장합니다. 실제 용수철은 완벽하게 대칭이 아닙니다. 코일 용수철은 많이 압축하면 좌굴할 수 있고, 보조 코일이 달린 용수철은 한쪽 방향이 다른 쪽보다 훨씬 뻣뻣합니다. 그래서 이 등식은 작동 범위 안에서는 성립하지만 행정의 양 끝까지는 아닙니다.

완전히 압축된 용수철은 에너지를 얼마나 담고 있나요?

완전히 압축된 지점의 변위를 ½kx²에 넣으면 됩니다. 30 N/mm 서스펜션 용수철을 10 cm 압축하면 150 J이고, 같은 용수철을 20 cm 압축하면 600 J로 행정이 두 배일 때 에너지는 네 배입니다. 다만 행정이 실제로 어디서 끝나는지는 확인하십시오. 코일이 맞닿는 순간부터는 용수철처럼 거동하지 않으므로 식이 더 이상 무슨 일이 일어나는지 기술하지 못합니다.

스프링 레이트를 lbf/in에서 N/m로 어떻게 바꾸나요?

175.127을 곱하면 됩니다. 1파운드힘(4.448222 N)을 1인치(0.0254 m)로 나눈 값입니다. 그래서 180 lbf/in 용수철은 31,522.83 N/m이고 300 lbf/in은 52,538.05 N/m입니다. 두 계수 모두 정의상 정확하므로 환산에서 오차가 더해지지는 않습니다. 값이 9.8배쯤 어긋난다면 어딘가에서 파운드힘 대신 파운드 질량을 쓴 것입니다.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — F = kx와 변형된 용수철에 저장되는 탄성 위치 에너지 — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain (College Physics 2e, §5.3) — 탄성 한계, 그리고 힘과 변위의 선형 관계가 더 이상 성립하지 않는 지점 — OpenStax
• NIST Guide to the SI — 강성의 일관 단위인 N/m, 그리고 lbf/in 환산의 바탕이 되는 파운드(0.45359237 kg)와 인치(0.0254 m)의 정확한 계수 — National Institute of Standards and Technology