종단 속도 계산기

종단 속도 = √( 2 × 질량 × 중력가속도 ÷ ( 유체 밀도 × 전면 면적 × 항력 계수 ) ) 항력 = 질량 × 중력가속도

m

떨어지는 물체의 질량입니다. kg, g, t, lb, oz로 넣습니다. 무게와 함께 항력도 정하는 값이므로 분자에 들어가고, 그래서 무거운 물체가 더 빨리 떨어집니다. 종단 속도가 질량의 제곱근에 비례하므로 질량을 네 배로 해도 속도는 두 배가 될 뿐입니다

g

중력가속도이며 기본값은 9.80665 m/s²입니다. 질량과 함께 아래로 당기는 힘을 정하고, 항력이 그것과 같아지는 지점이 종단 속도입니다. 다른 천체의 값을 넣으면 그곳의 종단 속도를 구할 수 있습니다. 달에서는 중력이 육분의 일이므로 같은 자세로도 속도가 그 제곱근만큼 작아집니다

ρ

물체가 지나가는 유체의 밀도입니다. 기본값 1.225 kg/m³는 해수면 공기의 값이고, 물속이라면 약 1000으로 바꿉니다. 밀도가 클수록 항력이 커지므로 종단 속도는 작아집니다. 물이 공기보다 약 800배 무거우므로 물속에서는 같은 물체가 훨씬 천천히 가라앉고, 고도가 높은 곳에서는 공기가 희박해 더 빨리 떨어집니다

A

흐름에 수직인 방향으로 본 물체의 단면적입니다. m², cm², ft², in²로 넣습니다. 이 값이 종단 속도의 제곱에 반비례하므로 면적을 네 배로 하면 속도가 절반이 됩니다. 스카이다이버가 팔다리를 벌리거나 낙하산을 펴는 것이 이 값을 키우는 일이고, 그래서 같은 사람이 자세만 바꾸어 속도를 두 배 가까이 바꿉니다

Cd

항력 계수이며 단위가 없는 순수한 수입니다. 모양이 얼마나 유선형인지를 나타내고, 공기 저항을 계산할 때 면적과 함께 쓰입니다. 납작한 판이 1.28 근처로 가장 크고 잘 다듬어진 자동차가 0.3 근처입니다. 값 자체가 속도에 따라 조금씩 달라지므로 참고 표의 값을 하나의 수가 아니라 범위로 읽어야 합니다

떨어지는 물체가 어느 속도에 이르는지 알아야 할 때 씁니다. 스카이다이빙의 자유 낙하 시간과 고도 계산, 낙하산 설계, 우박이나 빗방울의 충돌 속도, 화산재가 얼마나 멀리 퍼지는지가 모두 같은 식으로 들어옵니다. 물속이나 다른 유체에서도 그대로 쓸 수 있습니다. 유체 밀도만 바꾸면 되고, 물속에서 물체가 가라앉는 속도를 구하는 문제가 같은 계산입니다. 반대로 읽는 용도도 있습니다. 어떤 속도로 착지해야 안전한지 정해져 있으면 거기서 필요한 면적이나 항력 계수가 역산되고, 낙하산의 크기가 그렇게 정해집니다. 종단 속도는 속도의 상한이라는 점도 기억해 둘 만합니다. 진공에서는 끝없이 빨라지지만 대기 중에서는 이 값에 수렴하고, 실제로 도달하는 데에도 어느 정도 거리가 필요합니다. 사람의 경우 450 m 남짓이고, 그래서 아주 높은 곳에서 뛰어내려도 낮은 곳에서 뛰어내린 것과 같은 속도로 착지합니다.

1. 200 lb 스카이다이버, 배를 아래로

   1. 질량 90.718474 kg, 전면 면적 0.6967728 m²입니다. 영미권 단위로는 200 lb인 사람이 7.5 ft²를 바람에 내미는 자세이고, 미터법으로는 약 90.7 kg이 0.70 m²를 내미는 것과 같습니다
   2. 아래로 당기는 힘: 90.718474 × 9.80665 = 889.64 N
   3. 분모: 1.225 × 0.6967728 × 0.7 = 0.5975
   4. 2 × 889.64 ÷ 0.5975 = 2,977.6
   5. 제곱근을 취합니다: √2,977.6 = 54.6 m/s
   6. 시속으로는 196.5 km, 마일로는 122.1 mph입니다

   넷째 출력인 889.64 N은 종단 속도에서의 항력이며, 정의상 무게와 정확히 같습니다. 이 값은 세 예시에서 모두 같습니다. 낙하산을 펴든 자세를 바꾸든 질량이 그대로라면 무게가 같고, 종단 상태에서는 항력이 무게와 같아야 하기 때문입니다. 이 불변성이 이 페이지에서 가장 눈여겨볼 만한 대목입니다. 속도와 면적만 바뀌고 힘은 그대로이며, 그래서 54.6과 4.5라는 전혀 다른 속도가 같은 항력 위에 서 있습니다. 54.6 m/s는 시속 196 km이고, 이 속도로 지면에 닿으면 살아남기 어렵습니다. 낙하산이 필요한 이유가 이 수 하나에 들어 있습니다.

2. 같은 사람, 머리를 아래로

   1. 질량과 항력 계수와 공기 밀도는 그대로이고 전면 면적만 0.232258 m²로 줄었습니다. 2.5 ft², 곧 약 0.23 m²입니다
   2. 무게는 여전히 889.64 N입니다
   3. 분모: 1.225 × 0.232258 × 0.7 = 0.1992
   4. 2 × 889.64 ÷ 0.1992 = 8,934.5
   5. 제곱근을 취합니다: √8,934.5 = 94.5 m/s
   6. 시속으로는 340.3 km, 마일로는 211.4 mph입니다

   자세만 바꾸었는데 속도가 54.6에서 94.5로 늘었습니다. 면적이 3분의 1로 줄었고 속도는 그 제곱근의 역수만큼 커졌기 때문입니다. 스카이다이버가 급강하할 때 하는 일이 정확히 이것이고, 같은 사람이 같은 하늘에서 두 배 가까이 다른 속도로 떨어집니다. 무게가 여전히 889.64 N이라는 것을 확인해 두십시오. 항력도 889.64 N으로 같고, 그래서 두 경우 모두 종단 상태입니다. 속도가 두 배 가까이 차이 나는데 항력이 같다는 것이 이상하게 들릴 수 있는데, 항력이 속도의 제곱에 비례하고 면적에 비례하기 때문에 두 변화가 서로를 상쇄한 결과입니다.

3. 같은 사람, 540 ft² 낙하산 아래에서

   1. 전면 면적이 50.167642 m²로 커졌습니다. 540 ft², 곧 약 50 m²이고 방의 절반쯤 되는 넓이입니다
   2. 항력 계수도 0.7에서 1.42로 올라갔습니다. 낙하산 천은 날개가 아니라 일부러 항력을 키우는 물건이기 때문입니다
   3. 분모: 1.225 × 50.167642 × 1.42 = 87.28
   4. 2 × 889.64 ÷ 87.28 = 20.39
   5. 제곱근을 취합니다: √20.39 = 4.5 m/s
   6. 시속으로는 16.3 km, 마일로는 10.1 mph입니다

   4.5 m/s는 시속 16.3 km이고, 1.5 m 높이에서 뛰어내렸을 때의 착지 속도와 비슷합니다. 사람이 다치지 않고 감당할 수 있는 정도이며, 낙하산이 하는 일을 이 한 수가 요약합니다. 속도가 54.6에서 4.5로 12분의 1이 된 것을 보십시오. 면적이 72배, 항력 계수가 2배가 되었으므로 곱이 144배이고, 제곱근을 취하면 12배입니다. 여기서도 항력은 889.64 N으로 같습니다. 낙하산이 받는 힘이 사람의 몸무게와 같다는 뜻이고, 그래서 낙하산 줄과 천의 강도가 사람 무게를 기준으로 설계됩니다.

항력 계수를 상수로 취급합니다. 실제로 이 값은 레이놀즈 수에 따라 달라지고, 레이놀즈 수는 속도와 크기에 따라 달라지므로 같은 물체라도 속도가 바뀌면 계수도 바뀝니다. 참고 표의 값을 범위로 읽으라고 적어 둔 이유가 이것이며, 그래서 이 페이지의 답은 근삿값입니다. 공기 밀도도 고도에 따라 줄어듭니다. 1.225 kg/m³는 해수면 값이고 10 km 상공에서는 4분의 1 남짓이므로, 높은 곳에서 뛰어내리면 처음에는 훨씬 빠르게 가속하고 내려오면서 느려집니다. 이 계산기는 밀도가 일정하다고 가정하므로 그 과정을 한 값으로 요약하지 않습니다. 종단 속도에 도달하는 데 걸리는 시간과 거리도 출력하지 않습니다. 사람의 경우 450 m 남짓이 필요하고, 그보다 낮은 곳에서 뛰어내리면 종단 속도에 이르지 못한 채 착지합니다. 마지막으로 물체가 회전하거나 흔들리면 자세가 계속 바뀌므로 면적도 계속 바뀝니다. 실제 낙하는 대개 진동하며, 이 계산기의 값은 그 평균적인 자세에 대한 것입니다.

종단 속도 공식은 무엇인가요?

종단 속도 = √(2mg ÷ (ρACd))이고, 종단 상태에서의 항력은 질량 곱하기 중력가속도, 곧 무게와 같습니다. 분자에 질량이 있으므로 무거운 물체가 더 빨리 떨어지고, 분모에 면적과 항력 계수와 밀도가 있으므로 이것들이 커지면 느려집니다. 질량이 제곱근 안에 있으므로 질량을 네 배로 해도 속도는 두 배가 될 뿐이라는 점이 실무에서 자주 걸리는 지점입니다.

스카이다이빙 속도는 얼마인가요?

보통 자세로는 초속 55 m, 시속 196 km 정도입니다. 머리를 아래로 한 급강하 자세에서는 초속 95 m, 시속 340 km까지 올라갑니다. 낙하산을 펴면 초속 4.5 m, 시속 16 km로 떨어지고, 이것이 착지해도 다치지 않는 속도입니다. 자유 낙하 중에 자세를 바꾸는 것만으로 속도가 두 배 가까이 달라지는 이유는 전면 면적이 그만큼 달라지기 때문입니다.

무거운 물체가 더 빨리 떨어지나요?

공기 중에서는 그렇습니다. 종단 속도가 질량의 제곱근에 비례하므로 무거운 쪽이 더 빠르지만, 진공에서는 질량과 무관하게 같은 가속도로 떨어집니다. 흔히 하는 실험에서 깃털과 쇠공이 공기 중에서 다르게 떨어지는 것은 저항 때문이고, 진공관 안에서는 둘이 나란히 떨어집니다. 다만 제곱근이므로 질량을 네 배로 해도 속도는 두 배가 될 뿐이고, 그래서 사람과 자동차의 종단 속도 차이가 질량 차이만큼 크지 않습니다.

물속에서도 같은 식을 쓰나요?

그렇습니다. 유체 밀도만 물의 값인 약 1000 kg/m³로 바꾸면 됩니다. 공기가 1.225이므로 800배가 넘고, 종단 속도는 밀도의 제곱근에 반비례하므로 약 28분의 1이 됩니다. 사람이 물속에서 가라앉는 속도가 느린 이유이고, 배의 스크루나 어뢰의 형상이 공기 중의 것과 다른 이유이기도 합니다. 점성이 큰 유체에서는 다른 항력 법칙이 필요하지만, 물과 공기에서는 이 식이 잘 맞습니다.

종단 속도에 도달하는 데 얼마나 걸리나요?

사람의 경우 약 12초와 450 m가 걸립니다. 그보다 낮은 높이에서 뛰어내리면 종단 속도에 이르지 못한 채 착지하고, 그래서 낮은 곳에서의 낙하가 오히려 계산하기 어렵습니다. 이 계산기는 종단 속도만 알려 주고 도달 시간과 거리는 출력하지 않습니다. 자유 낙하와의 차이를 알고 싶다면 종단 속도에 이르기 전까지는 저항 없이 계산한 값과 비슷하고, 그 뒤로는 이 값에 머문다고 보면 됩니다.

항력 계수는 왜 범위로 표시되나요?

속도에 따라 값이 달라지기 때문입니다. 항력 계수는 레이놀즈 수의 함수이고 레이놀즈 수는 속도와 크기에 따라 변하므로, 같은 모양이라도 느리게 갈 때와 빠르게 갈 때 값이 다릅니다. 매끄러운 구가 대표적인 예이고, 저속에서 0.5 근처였다가 고속에서 0.1까지 떨어집니다. 골프공의 움푹한 자국은 이 변화를 일찍 일으켜 공을 더 멀리 보내려는 장치이며, 표에 적힌 0.47은 그 사이의 익숙한 중간값입니다.

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — 속도의 제곱에 비례하는 항력 법칙, 항력 계수, 그리고 항력이 무게와 같아지는 속도로서의 종단 속도 — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — 아래 표가 가져온 납작한 판, 구, 원기둥, 자동차 차체의 기준값 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — 9.80665 m/s²인 표준 중력, 공기와 물의 kg/m³ 밀도, 그리고 위에서 쓴 제곱피트와 파운드 환산의 정확한 계수 — National Institute of Standards and Technology