가중평균 계산기

가중평균 = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ; 85, 90, 78, 92, 88에 20, 20, 10, 20, 30 → 87.6; 가중치를 1, 1, 1, 1, 1로 두면 86.6; 10, 20, 30에 1, 2, 3 → 23.3333

xᵢ

평균을 낼 값들입니다. 점수와 성적과 단가처럼 서로 다른 무게를 가질 수 있는 양이 여기에 옵니다. 값의 개수는 가중치의 개수와 같아야 하고, 다르면 어느 값에 어느 무게가 붙는지 정할 수 없으므로 계산이 거부됩니다

wᵢ

각 값에 붙는 가중치입니다. 학점과 배점과 비중처럼 그 값이 얼마나 중요하거나 얼마나 오래 걸렸는지를 나타내는 수가 여기에 옵니다. 음수는 받지 않고 0은 받습니다. 0인 항목은 계산에서 완전히 빠지고 분모에서도 빠집니다

Σ wᵢxᵢ

각 값에 그 값의 가중치를 곱해 모두 더한 수입니다. 값이 큰 항목과 가중치가 큰 항목이 이 단계에서 결과를 자기 쪽으로 끌어당기고, 그래서 가중치가 0인 항목은 아무리 값이 커도 결과에 닿지 않습니다

Σ wᵢ

가중치의 합이고 나누는 수입니다. 산술평균이 값의 개수로 나누는 자리에 가중평균은 이 수를 놓습니다. 모든 가중치가 1이면 이 수가 개수와 같아지므로 두 계산기의 답이 같아지고, 그것이 두 페이지의 관계를 보여 주는 가장 분명한 자리입니다

87.6과 86.6

같은 다섯 개의 점수가 가중평균과 산술평균에서 각각 받는 값입니다. 차이 1.0은 마지막 값이 차지하는 비중 30%에서 나옵니다. 그 값이 88로 다섯 개 가운데 높은 편이므로 가중치가 붙으면서 평균이 위로 올라갔습니다

23.3333

10, 20, 30에 가중치 1, 2, 3을 매긴 결과입니다. 가중치를 10, 20, 30으로 열 배 키워도 답은 23.3333 그대로이고 가중치 합계만 6에서 60으로 바뀝니다. 가중치는 절대값이 아니라 서로에 대한 비율로 쓰입니다

가중평균은 항목마다 중요도나 크기가 다를 때 씁니다. 학점 평균이 가장 흔한 자리입니다. 과목마다 학점이 다르므로 성적을 학점만큼 세어 더하고 학점의 합으로 나누며, 이 계산기의 기본 구조가 그대로 그 계산입니다. 시험 성적을 합산할 때도 문항마다 배점이 다르면 같은 방식이 필요합니다. 배점 2점짜리 문항과 5점짜리 문항을 똑같이 세면 배점이 큰 문항의 실수가 과소평가됩니다. 금액이 걸린 자리에서는 더 분명합니다. 같은 종목을 여러 가격에 나누어 샀다면 평균 매입 단가를 구할 때 수량을 가중치로 써야 하고, 단순히 가격을 더해 개수로 나누면 실제 단가와 어긋납니다. 많이 산 가격이 평균을 더 많이 끌어당겨야 맞습니다. 조사와 통계에서는 표본마다 모집단에서 차지하는 비중이 다를 때 이 계산기를 씁니다. 어떤 지역의 응답자 수가 다른 지역보다 많으면 그 차이를 반영해야 전체 추정이 맞아떨어지고, 그 반영이 가중치입니다. 성적이나 지표를 하나의 점수로 합치는 일도 이 계산기의 자리입니다. 여러 항목에 각각 다른 비중을 두고 총점을 만들 때 비중이 곧 가중치이고, 비중을 어떻게 정하느냐가 결과를 좌우합니다. 반대로 모든 항목이 똑같이 중요하면 가중치를 모두 1로 두면 되고, 그때 답은 산술평균과 같아집니다. 어느 쪽을 쓸지 헷갈릴 때는 값마다 다른 무게가 있는지 스스로 물어보면 됩니다. 무게가 있다면 이 계산기이고, 없다면 mean 계산기가 더 짧습니다. 가중치의 합이 100이어야 한다는 규칙은 없습니다. 합이 1이든 6이든 60이든 비율만 맞으면 같은 답이 나오므로, 자료에 들어 있는 수를 그대로 가중치로 써도 됩니다.

1. 다섯 개의 점수와 백분율 가중치

   1. 각 점수에 가중치를 곱하기: 85×20, 90×20, 78×10, 92×20, 88×30
   2. 곱한 값을 모두 더하기
   3. 가중치를 모두 더하면 100이기
   4. 그 합으로 나누어 가중평균 87.6을 얻기

   기본값이고 가중치 합이 100이라 분모가 백분율이 되는 경우입니다. 다만 가중치 합이 100이라는 것은 이 계산의 조건이 아니라 이 자료의 우연입니다. 다음 예들처럼 합이 15나 6이어도 계산은 똑같이 됩니다. 같은 점수들을 mean 계산기에 넣으면 86.6이 나오고, 그 차이 1.0은 마지막 점수가 30%를 차지하는 데서 옵니다.

2. 다섯 과목의 학점 평균

   1. 각 과목의 성적에 그 과목의 학점을 곱하기
   2. 곱한 값을 모두 더하기
   3. 학점을 모두 더하면 15이기
   4. 그 합으로 나누어 평균 평점 3.6467을 얻기

   가중치가 백분율이 아니라 학점인 경우입니다. 합이 100이 아니어도 계산이 되는 것을 보여 주고, 실제 학사 자료가 이 모양입니다. 학점이 큰 과목이 평균을 더 많이 끌어당기며, 그것이 학점 평균의 정의입니다. 같은 성적을 똑같이 세면 다른 값이 나오고, 어느 쪽이 맞는지는 과목마다 학점이 다르다는 사실이 정합니다.

3. 가중치 합이 100이 아닌 경우: 1, 2, 3

   1. 각 값에 가중치를 곱하기: 10×1, 20×2, 30×3
   2. 곱한 값을 더하면 10 + 40 + 90 = 140이기
   3. 가중치의 합은 6이기
   4. 140을 6으로 나누어 23.3333을 얻기

   가중치의 합이 100일 필요가 없다는 것을 보여 주는 자리입니다. 1, 2, 3을 10, 20, 30으로 열 배 키워도 가중평균은 23.3333 그대로이고 가중치 합계만 60으로 바뀝니다. 가중치는 그 값이 얼마나 중요한지를 서로 비교한 비율이므로, 크기 자체는 결과에 들어가지 않습니다. 나누어떨어지지 않으므로 답은 소수 넷째 자리에서 반올림한 근삿값입니다.

4. 모든 가중치가 1일 때: 산술평균과 같아지는 경우

   1. 가중치가 모두 1이므로 곱해도 값이 그대로이기
   2. 값들을 그대로 더하면 433이기
   3. 가중치의 합은 5이고 값의 개수와 같기
   4. 433을 5로 나누어 86.6을 얻고, 이는 산술평균과 같은 값이기

   두 계산기가 만나는 자리입니다. 가중치가 모두 1이면 분모인 가중치의 합이 값의 개수와 같아지고, 그래서 가중평균이 산술평균과 정확히 일치합니다. 이 예는 계산기의 검산으로도 쓸 수 있습니다. 여기서 86.6이 아닌 값이 나온다면 분모를 잘못 잡고 있다는 뜻이고, 그 확인이 가능한 이유는 가중치의 합이 결과에 함께 표시되기 때문입니다.

값의 개수와 가중치의 개수가 같아야 합니다. 다르면 어느 값에 어느 무게가 붙는지 정할 수 없으므로 계산이 거부됩니다. 가중치에 음수는 쓸 수 없습니다. 음수 가중치는 그 항목을 반대로 세게 만들어 평균의 뜻을 흐립니다. 0은 쓸 수 있고, 0인 항목은 계산에서 완전히 빠지며 분모에서도 빠집니다. 모든 가중치가 0이면 나눌 수가 없어 계산되지 않습니다. 가중치의 합이 100이어야 한다는 요구는 없습니다. 합이 1이든 6이든 60이든 비율만 맞으면 같은 답이 나오고, 화면에는 그 합이 그대로 표시되므로 확인할 수 있습니다. 결과는 소수 넷째 자리에서 반올림해 보여 주므로 나누어떨어지지 않으면 근삿값입니다. 이 계산기는 계산 과정을 따로 보여 주지 않습니다. 값의 개수와 가중치의 합, 그리고 결과 세 줄만 나오므로, 중간 단계를 확인하려면 곱한 값과 그 합을 직접 계산해야 합니다. 마지막으로 이 페이지는 가중치를 사람이 정해야 하는 계산기입니다. 어떤 항목에 어떤 무게를 줄지는 자료가 정하는 것이 아니라 그것을 해석하는 사람이 정하고, 무게를 바꾸면 답도 바뀝니다. 모든 항목이 똑같이 중요하면 가중치를 모두 1로 두면 되고, 그때는 mean 계산기의 산술평균과 같은 값이 나옵니다.

가중평균이란 무엇인가요?

각 값에 그 값의 무게를 곱해 더한 뒤, 무게를 모두 더한 수로 나눈 값입니다. 다섯 개의 점수에 각각 다른 가중치를 매기면 무게가 큰 값이 평균을 더 많이 끌어당깁니다. 과목마다 학점이 다르거나 시험마다 배점이 다를 때 쓰는 평균입니다.

가중치는 꼭 합이 100이어야 하나요?

아닙니다. 중요한 것은 각 가중치의 절대값이 아니라 서로에 대한 비율입니다. 1, 2, 3에 10, 20, 30으로 열 배를 해도 가중평균은 그대로이고 가중치 합계만 달라집니다. 백분율을 쓸 때 합이 100이 되는 것은 그 자료의 성질이지 이 계산기의 조건이 아닙니다.

가중평균 구하기는 어떻게 하나요?

값마다 가중치를 곱해 모두 더하고, 가중치를 모두 더한 수로 그 합을 나눕니다. 점수 85, 90, 78, 92, 88에 가중치 20, 20, 10, 20, 30을 매기면 가중치 합은 100이고, 곱한 값들의 합을 100으로 나누어 87.6을 얻습니다.

산술평균과는 무엇이 다른가요?

나누는 수가 다릅니다. 산술평균은 값의 개수로 나누고, 가중평균은 가중치의 합으로 나눕니다. 모든 가중치가 1이면 두 수가 같아져 답도 같아집니다. 같은 다섯 개의 점수가 산술평균에서 86.6, 가중치 20, 20, 10, 20, 30을 매긴 쪽에서 87.6입니다.

가중치가 0인 항목도 넣을 수 있나요?

넣을 수 있습니다. 그 항목은 계산에서 완전히 빠지고 가중치의 합에서도 빠지므로, 특정 항목을 잠시 제외하고 나머지만 보고 싶을 때 쓸 수 있습니다. 다만 모든 가중치가 0이면 나눌 수가 없어 계산되지 않습니다. 음수 가중치는 받지 않습니다.

학점 평균에도 쓸 수 있나요?

쓸 수 있고, 이 계산기의 대표적인 쓰임입니다. 과목 성적을 값으로, 학점을 가중치로 넣으면 그 학기의 평균 평점이 나옵니다. 학점의 합이 15처럼 100이 아니어도 계산되며, 학점이 큰 과목이 평균을 더 많이 끌어당기는 것이 학점 평균의 정의입니다.

• 가중산술평균 — 값마다 무게를 매겨 더하고 무게의 합으로 나누는 평균 — 대한수학회 (수학백과)
• 통계용어사전 — 국가 승인 통계에서 쓰는 용어 목록, 가중평균 항목 수록 — 국가데이터처
• Weighted arithmetic mean — 가중치를 곱해 더하고 가중치의 합으로 나누는 정의 — Wikipedia (United States)
• Weighted average — 가중 평균의 개념과 성적·조사에서 쓰이는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)
• Grade point average — 학점을 가중치로 쓴 가중평균의 대표적인 예 — Wikipedia (United States)