삼각기둥 계산기

V = A(base) × L A(lateral) = (a + b + c) × L A(surface) = A(lateral) + 2 × A(base)

변 a, b, c

밑면이 되는 삼각형의 세 변이고 센티미터입니다. 셋을 합쳐서 둘레가 되고, 그 둘레에 길이를 곱한 것이 옆넓이입니다. 어느 변을 a라고 부르든 답은 달라지지 않습니다

길이

삼각형을 밀어낸 거리이고 센티미터입니다. 기둥의 높이가 아니라 길이인데, 밑면이 서 있는 방향과 밀어낸 방향이 다르기 때문입니다. 이 값이 0이면 기둥이 접혀 삼각형 두 장만 남습니다

A(base)

밑면 삼각형의 넓이이고 제곱센티미터입니다. 세 변에서 헤론의 공식으로 구하며, 부피의 절반을 혼자 감당합니다

부피

기둥이 차지하는 공간이고 세제곱센티미터입니다. 밑넓이 곱하기 길이이고, 두 값의 단위가 곱해져 세제곱센티미터가 됩니다

옆넓이

세 옆면만의 넓이이고 제곱센티미터입니다. 삼각형의 둘레에 길이를 곱한 값이고, 뚜껑 두 개는 포함되지 않습니다. 도형을 감싸는 띠를 펼치면 가로가 둘레, 세로가 길이인 직사각형이 됩니다

겉넓이

옆넓이에 밑면 삼각형 둘을 더한 값이고 제곱센티미터입니다. 언제나 옆넓이보다 크고, 포장이나 도장처럼 겉을 전부 덮는 일에 필요한 값입니다

헤론의 공식

세 변만으로 삼각형의 넓이를 내는 공식이고, 이 페이지가 밑넓이를 얻는 방법입니다. 세 변을 더해 반으로 나눈 값을 쓰고, 거기서 각 변을 빼서 곱한 뒤 제곱근을 풉니다

삼각형 부등식

어느 두 변을 더해도 나머지 하나보다 커야 한다는 규칙입니다. 이 페이지가 밑넓이를 구하기 전에 확인하는 검사이고, 통과하지 못하면 부피를 내놓는 대신 거절합니다

삼각형 단면을 가진 것이라면 무엇이든 이 페이지의 대상입니다. 지붕의 박공, 삼각 거싯, 콘크리트 삼각 보, 프리즘 렌즈와 유리 프리즘, 삼각 초콜릿 상자와 삼각 김밥 포장이 모두 같은 도형입니다. 세 변과 길이로 주어지는 경우가 실제로 많습니다. 도면에 단면의 세 변이 적혀 있고 길이가 따로 적혀 있기 때문입니다. 옆넓이가 따로 필요한 자리도 있습니다. 금속이나 합판을 잘라 기둥을 감쌀 때는 뚜껑을 뺀 띠만 필요하고, 그때 겉넓이를 쓰면 재료를 두 배 가까이 넉넉히 사게 됩니다. 반대로 전부 칠하거나 포장할 때는 겉넓이가 맞습니다. 이 페이지는 그 둘을 함께 내놓아, 어느 쪽이 필요한지 스스로 고르게 합니다. 밑넓이를 이미 알고 있고 부피만 필요하다면 이 하위 분류의 부피 페이지가 세 변을 묻지 않아 더 빠릅니다. 단면이 삼각형이 아닌 기둥이라면 그 페이지가 맞습니다. 밑넓이 곱하기 길이라는 규칙 자체는 단면의 모양을 가리지 않기 때문입니다.

1. 변이 3, 4, 5이고 길이가 10

   1. 삼각형 부등식을 확인합니다: 3 + 4 = 7 > 5이므로 삼각형이 됩니다
   2. 밑넓이를 헤론의 공식으로 구합니다: 반둘레가 6이고, 6 × 3 × 2 × 1 = 36의 제곱근이 6입니다
   3. 부피: 6 × 10 = 60
   4. 옆넓이: (3 + 4 + 5) × 10 = 12 × 10 = 120
   5. 겉넓이: 120 + 2 × 6 = 132

   이 페이지가 처음 열릴 때 채워지는 기둥이고, 세 출력이 모두 딱 떨어지는 자리입니다. 밑넓이 6은 삼각형 넓이 페이지가 변 3과 4에 높이 3을 넣어 얻는 값과 같고, 부피 60은 부피 페이지가 밑넓이 6과 길이 10으로 얻는 값과 같습니다. 세 페이지가 같은 도형을 다른 입구로 다루고 있다는 것이 이 줄에 다 들어 있습니다. 겉넓이 132와 옆넓이 120의 차이 12가 뚜껑 두 개라는 것도 확인해 두십시오.

2. 세 변이 모두 6이고 길이가 10

   1. 삼각형 부등식을 확인합니다: 6 + 6 = 12 > 6이므로 삼각형이 됩니다
   2. 밑넓이를 헤론의 공식으로 구합니다: 반둘레가 9이고, 9 × 3 × 3 × 3 = 243의 제곱근이 15.5885입니다
   3. 부피: 15.5885 × 10 = 155.8846
   4. 옆넓이: (6 + 6 + 6) × 10 = 18 × 10 = 180
   5. 겉넓이: 180 + 2 × 15.5885 = 211.1769

   정삼각형 단면이고, 밑넓이가 무리수라서 부피가 딱 떨어지지 않는 경우입니다. 삼각형 넓이 페이지도 같은 변 6에 대해 15.5885를 인쇄합니다. 옆넓이만은 정확히 180인데, 둘레가 정수라서 곱셈에 무리수가 섞이지 않기 때문입니다. 한 도형에서 어떤 값은 딱 떨어지고 어떤 값은 그렇지 않다는 것이 이 줄에 담겨 있습니다.

3. 변이 5, 5, 6이고 길이가 4

   1. 삼각형 부등식을 확인합니다: 5 + 5 = 10 > 6이므로 삼각형이 됩니다
   2. 밑넓이를 헤론의 공식으로 구합니다: 반둘레가 8이고, 8 × 3 × 3 × 2 = 144의 제곱근이 12입니다
   3. 부피: 12 × 4 = 48
   4. 옆넓이: (5 + 5 + 6) × 4 = 16 × 4 = 64
   5. 겉넓이: 64 + 2 × 12 = 88

   이등변삼각형 단면이고, 세 출력이 다시 모두 정수로 떨어지는 자리입니다. 밑넓이 12는 삼각형 둘레 페이지의 기본 도형에서도 나오는 값입니다. 옆넓이 64는 겉넓이 88의 4분의 3이 조금 안 되는데, 길이가 짧을수록 뚜껑 두 개가 차지하는 몫이 커지기 때문입니다. 길이가 길어지면 옆넓이가 겉넓이를 거의 다 차지하게 됩니다.

4. 변이 3, 4, 5이고 길이가 0

   1. 삼각형 부등식을 확인합니다: 3 + 4 = 7 > 5이므로 삼각형이 됩니다
   2. 밑넓이를 헤론의 공식으로 구합니다: 넓이가 6입니다
   3. 부피: 6 × 0 = 0
   4. 옆넓이: 12 × 0 = 0
   5. 겉넓이: 0 + 2 × 6 = 12

   오류로 보이기 쉬운 줄이고, 그래서 일부러 넣었습니다. 길이가 0이면 기둥이 접혀서 삼각형 두 장만 남습니다. 옆면이 없으니 옆넓이가 0이고 부피도 0인데, 앞뒤의 삼각형 두 개는 그대로 있으므로 겉넓이는 12입니다. 0으로 나누는 일이 없어서 페이지는 거절하지 않고 답합니다.

이 페이지는 밑면이 삼각형인 기둥만 다룹니다. 밑면이 정사각형이나 육각형이거나 원인 기둥은 다루지 않지만, 밑넓이 곱하기 길이 규칙 자체는 모양을 가리지 않으므로 그 경우에는 부피 페이지가 맞습니다. 밑면이 비뚤어진 기둥, 길이 방향이 밑면에 수직이 아닌 기둥도 다루지 않습니다. 길이는 반드시 밑면에 수직인 방향으로 잰 값이어야 하고, 비스듬히 잰 값을 넣으면 부피가 크게 나옵니다. 세 변은 삼각형 부등식을 만족해야 합니다. 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 작으면 밑면이 존재하지 않으므로 페이지가 답하는 대신 거절합니다. 합이 가장 긴 변과 정확히 같으면 납작한 삼각형이 되고, 이때는 밑넓이가 0이라 부피도 0이 됩니다. 출력은 단위 선택과 무관하게 센티미터와 제곱센티미터와 세제곱센티미터로 나옵니다. 부피를 환산할 때는 세제곱을 써야 하므로, 길이에 쓰는 2.54를 그대로 쓰면 안 됩니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다. 밑넓이는 무리수인 경우가 흔해서 부피도 함께 무리수가 됩니다. 자재의 두께, 접착이나 용접으로 겹치는 몫, 잘라 낼 때 버려지는 부분은 다루지 않습니다.

옆넓이와 겉넓이는 무엇이 다른가요?

옆넓이는 세 옆면만의 넓이이고, 겉넓이는 거기에 밑면 삼각형 둘을 더한 값입니다. 옆넓이는 삼각형의 둘레에 길이를 곱한 것이고, 겉넓이는 언제나 그보다 큽니다. 기둥을 감싸는 띠 모양 자재를 살 때는 옆넓이를, 겉을 전부 칠하거나 포장할 때는 겉넓이를 쓰십시오. 뚜껑 두 개를 빠뜨리는 것이 이 계산에서 가장 흔한 실수입니다.

길이는 어느 쪽을 재야 하나요?

삼각형을 밀어낸 방향으로 잰 거리입니다. 기둥을 세워 두었을 때의 높이가 아니라, 밑면이 놓인 방향과 다른 쪽입니다. 상자로 비유하면 밑면이 서 있는 방향에 따라 다르지만, 어느 쪽이든 밑면에 수직인 방향이어야 합니다. 비스듬히 잰 값을 넣으면 부피가 실제보다 크게 나옵니다.

세 변은 아무 수나 넣어도 되나요?

아닙니다. 어느 두 변을 더해도 나머지 하나보다 커야 합니다. 1, 1, 5처럼 짧은 둘의 합이 긴 하나보다 작으면 삼각형이 만들어지지 않으므로 기둥도 없습니다. 페이지는 밑넓이를 구하기 전에 이것을 확인하고, 통과하지 못하면 부피를 내놓는 대신 거절합니다. 합이 가장 긴 변과 정확히 같으면 납작한 삼각형이 되어 밑넓이가 0이고 부피도 0이 됩니다.

부피 페이지와 답이 같은 경우가 있던데 왜인가요?

같은 도형을 다르게 설명했기 때문입니다. 이 페이지는 세 변을 받아 밑넓이를 헤론의 공식으로 스스로 구하고, 부피 페이지는 그 밑넓이를 직접 받습니다. 변이 3, 4, 5인 단면의 밑넓이가 6이므로, 부피 페이지에 6과 길이 10을 넣은 것과 이 페이지에 세 변과 길이 10을 넣은 것이 같은 60을 냅니다. 두 페이지는 같은 규칙의 두 입구입니다.

어느 변을 a, b, c라고 불러야 하나요?

아무렇게나 불러도 됩니다. 세 변을 더해서 둘레를 만들고 헤론의 공식에도 세 변을 대칭적으로 넣기 때문에, 이름을 바꾸면 답이 아니라 순서만 바뀝니다. 다만 밑면 삼각형 부등식을 확인할 때는 셋을 모두 짝지어 보므로, 입력한 순서와 무관하게 검사됩니다.

원기둥이나 직육면체에도 쓸 수 있나요?

이 페이지로는 안 되고, 부피 페이지가 맞습니다. 밑넓이 곱하기 길이라는 규칙은 단면의 모양을 가리지 않으므로, 원기둥이나 직육면체의 밑넓이를 다른 곳에서 구해 부피 페이지에 넣으면 됩니다. 대신 옆넓이와 겉넓이는 도형마다 공식이 다르므로, 이 페이지가 내놓는 값은 삼각기둥에만 맞습니다.

• Prism — 밑면을 일정한 방향으로 밀어낸 입체라는 개념과, 부피가 밑넓이 곱하기 길이인 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Heron's Formula — 세 변만으로 삼각형의 넓이를 내는 공식이며, 이 페이지가 밑넓이를 얻는 방법 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle Inequality — 어느 두 변을 더해도 나머지 하나보다 커야 한다는 규칙이며, 이 페이지가 밑넓이를 구하기 전에 돌리는 검사 — Wolfram MathWorld (United States)