사다리꼴 계산기

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

평행한 두 변이며 단위는 센티미터입니다. 두 밑변입니다. 어느 쪽이 더 길어도 되고, 페이지는 두 값의 차이로만 일하며 어느 쪽을 윗변이라 부르는지는 따지지 않습니다. 두 값의 평균인 (a + b) ÷ 2에 높이를 곱한 것이 넓이이고, 이 페이지 전체가 그 공식을 중심으로 서 있습니다

c, d

평행하지 않은 두 변, 곧 두 옆변이며 단위는 센티미터입니다. 이 둘의 길이가 도형이 존재할 수 있는지를 정합니다. 둘을 합쳐 밑변의 차이를 벌릴 수 있어야 하기 때문입니다. 두 길이가 같을 필요는 없고, 옆변이 5와 4인 사다리꼴도 지극히 평범합니다. 둘이 같으면 등변사다리꼴이라 하고, 그때 높이는 옆변의 제곱에서 밑변 차의 절반의 제곱을 뺀 값의 제곱근이 됩니다

Δ

두 밑변의 차이인 |b − a|이며 단위는 센티미터입니다. 두 옆변과 두 밑변이 감싸는 삼각형의 밑변이고, 세 가지 경우 가운데 어디에 있는지를 정하는 양입니다. 두 옆변이 벌릴 수 있는 것보다 작은지, 한계에 정확히 있는지, 벌릴 수 있는 것보다 큰지가 여기서 갈립니다. 이 값이 0, 곧 두 밑변이 같으면 도형은 평행사변형이고 네 변이 높이를 정하지 못하므로, 페이지는 답을 내는 대신 오류로 알립니다

x

높이가 밑변의 차이 위 어디에 내려앉는지, 곧 차이의 한 끝에서 수선의 발까지의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 변이 c, d, Δ인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 식에서 나오고, 페이지는 높이에 이르기 위해서만 이 값을 씁니다. 이 값은 0에서 Δ 사이를 벗어날 수도 있는데, 한 옆변이 짧은 밑변의 끝을 넘어 바깥으로 기울 때 그렇게 되며 그때도 도형은 여전히 사다리꼴이고 셈은 그대로 성립합니다

h

두 평행한 밑변 사이의 수직 거리이며 단위는 센티미터이고, 넓이 공식이 필요로 하는 수입니다. c² − x²의 제곱근으로 나오며 소수점 네 자리로 인쇄됩니다. 차의 제곱근이라서 두 옆변이 밑변의 차이를 벌릴 수 없는 경우가 근호 안이 음수가 되는 경우이고, 그래서 페이지는 제곱근이 엉뚱한 값을 내놓도록 두는 대신 삼각형 부등식을 먼저 확인합니다

A, P

넓이는 제곱센티미터, 둘레는 센티미터입니다. 넓이는 두 밑변의 평균에 높이를 곱한 값이고, 이는 두 밑변 합의 절반에 높이를 곱한 것과 같습니다. 같은 높이의 직사각형이 두 밑변의 평균만큼 넓으면 사다리꼴과 같은 면적을 덮는다는 뜻입니다. 둘레는 네 변을 모두 더한 값이며 높이가 전혀 나오지 않습니다

네 변을 알고 있을 때 이 페이지를 씁니다. 땅에서 흔한 경우가 그렇습니다. 평행한 변 둘과 그렇지 않은 변 둘로 이루어진 땅을 경계를 따라 줄자로 잰 자리에서는 평행한 두 변과 두 옆변은 재기 쉽지만 수직 높이는 그렇지 않습니다. 땅을 가로질러 걸어가며 재야 하는데, 경사진 데다 작물이 자라는 곳이라면 바로 그 일이 어렵습니다. 네 변만 적힌 도면대로 자른 판재도 마찬가지이고, 남이 지정한 도형이 사다리꼴이 되는지 확인할 때에도 씁니다. 네 변을 넣어 보고 되는지 안 되는지를 보면 됩니다. 그 확인을 위해 볼 줄은 표의 일곱째 줄입니다. 아랫변 10과 윗변 4에 두 옆변 4와 2를 넣으면 차이 6이 두 옆변의 합과 정확히 같아서 높이가 0이 되고, 도형이 납작하게 접혀 버립니다. 어느 한 옆변이라도 더 짧게 하면 페이지는 오류로 알립니다. 두 밑변과 높이는 있고 옆변을 모른다면 사다리꼴 넓이 계산기를 쓰십시오. 그 둘을 그대로 받아 중간 단계를 건너뜁니다. 두 밑변이 같다면 평행사변형 넓이 계산기를 쓰십시오. 그때는 도형이 평행사변형이라 이 페이지의 네 변이 그것을 정하지 못합니다. 짧은 밑변이 0이라면 삼각형 넓이 계산기를 쓰십시오. 삼각형은 밑변 하나가 0인 사다리꼴이고, 표의 넷째 줄이 그렇게 얻은 6-8-10 직각삼각형으로 넓이가 24입니다.

1. 윗변 4, 아랫변 10, 두 옆변 5와 5

   1. 두 밑변의 차이: 10 − 4 = 6
   2. 두 옆변이 같으므로 각각이 그 절반을 맡습니다: 6 ÷ 2 = 3
   3. 높이: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. 밑변의 평균: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. 넓이: 7 × 4 = 28
   6. 둘레: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   페이지가 처음 열릴 때의 값이고 손으로 확인해 볼 줄입니다. 숫자가 3-4-5 직각삼각형으로 변장했기 때문입니다. 옆변 5와 밑변 차의 절반 3이 높이 4를 정확히 만들어 냅니다. 높이는 네 변에서 읽어 낼 수 없는 유일한 양이고, 그것이 이 페이지의 요점입니다. 같은 높이에 너비가 7인 직사각형, 곧 두 밑변의 평균만큼 넓은 직사각형과 넓이를 견주어 보면 같은 28제곱센티미터가 나옵니다. 공식이 왜 합의 절반을 쓰는지를 가장 깔끔하게 보여 주는 방법입니다.

2. 윗변 7, 아랫변 10, 두 옆변 5와 4

   1. 두 밑변의 차이: 10 − 7 = 3
   2. 두 옆변이 다르므로 그 차이가 고르게 나뉘지 않습니다: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. 높이: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. 밑변의 평균: (7 + 10) ÷ 2 = 8.5
   5. 넓이: 8.5 × 4 = 34
   6. 둘레: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   두 옆변의 길이가 다른 부등변 사다리꼴이고, 높이가 밑변 차의 한가운데가 아닌 자리에 내려앉습니다. 여기서는 4센티미터짜리 옆변이 두 밑변의 오른쪽 끝 사이에 수직으로 서는데, 거리 x가 차이 3 전체로 나와서 다른 옆변은 그중 아무것도 가져가지 않기 때문입니다. 옆변 두 개가 다를 때 흔히 이렇게 되고, 높이는 그 옆변의 길이와 같아집니다. 높이는 여기서도 정확히 4라서 이 줄과 첫 줄은 높이가 같고 넓이만 다릅니다. 28과 34제곱센티미터인데, 오로지 두 밑변이 달라서 그렇습니다. 사다리꼴의 네 변이 모두 제 몫을 한다는 것을 일러 줍니다. 같은 높이 4가 서로 다른 두 쌍의 밑변 위에 놓여 있으니, 넓이를 정하는 것은 높이 하나가 아니라 네 값 전체입니다.

3. 윗변 0, 아랫변 10, 두 옆변 6과 8

   1. 두 밑변의 차이: 10 − 0 = 10
   2. 두 옆변이 다르므로: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3.6
   3. 높이: √(36 − 12.96) = √23.04 = 4.8
   4. 밑변의 평균: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. 넓이: 5 × 4.8 = 24
   6. 둘레: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   사다리꼴 옷을 입은 삼각형입니다. 밑변 하나가 0이라 도형이 삼각형으로 닫히고, 여기 쓰인 수는 6-8-10 직각삼각형이라 넓이 24제곱센티미터가 삼각형 넓이 계산기가 내놓는 답과 같습니다. 사다리꼴의 공식 안에 삼각형의 공식이 들어 있다는 것을 보여 주는 셈이기도 합니다. 밑변 하나가 0이면 두 밑변의 평균이 남은 밑변의 절반이 되고, 그것이 바로 삼각형의 계수입니다. 한 변의 길이가 0인 도형의 둘레는 나머지 세 변을 더한 것이고, 여기서도 24가 나오는데 이는 두 값이 우연히 맞은 것이지 규칙이 아닙니다.

4. 윗변 4, 아랫변 10, 두 옆변 4와 2

   1. 두 밑변의 차이: 10 − 4 = 6
   2. 두 옆변의 합이 4 + 2 = 6으로 차이와 정확히 같습니다
   3. 높이: 두 옆변이 겨우 닿는 한계라 높이가 0입니다
   4. 밑변의 평균: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. 넓이: 7 × 0 = 0
   6. 둘레: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   페이지가 받아들이는 경계이고, 제곱근을 취하기 전에 두 옆변을 먼저 확인하는 까닭입니다. 여기서는 두 옆변을 더한 값이 두 밑변의 차이와 정확히 같아서 둘 다 긴 밑변 위에 납작하게 누우며, 두 밑변이 포개져 도형이 감싸는 넓이가 없습니다. 페이지는 거부하는 대신 0이라고 답합니다. 그 네 변이 정말로 어떤 도형, 곧 납작한 도형을 기술하고 있기 때문입니다. 어느 한 옆변을 1센티미터만 줄이면 그런 사다리꼴은 아예 존재하지 않고, 그것이 오류로 보고되는 경우입니다. 제곱근 안의 음수는 높이가 아니라는 것이 그 이유입니다.

이 페이지는 사다리꼴의 네 변에서 넓이와 둘레와 높이를 구하며 그 밖의 것은 하지 않습니다. 각도나 대각선, 중간선의 길이, 밑변 위에서 높이가 놓인 자리는 알려 주지 않습니다. 넷 다 네 변이 정하는 값이지만 페이지가 보고하지 않을 뿐이고, 특히 대각선은 이 페이지가 속으로 이미 하고 있는 것과 같은 삼각형 셈을 한 번 더 하면 나옵니다. 거꾸로는 되지 않습니다. 넓이에서 그 넓이를 만드는 변들로 가는 길은 없고, 넓이가 정해진 사다리꼴에는 그것을 만드는 네 변의 조합이 무한히 많습니다. 출력은 입력을 어떤 단위로 넣었든 센티미터와 제곱센티미터입니다. 단위 선택이 셈을 하기 전에 각 변을 센티미터로 환산하기 때문입니다. 페이지는 도형이 평행한 변을 정확히 한 쌍 가진 사다리꼴이고, 밑변으로 넣은 두 변이 그 평행한 쌍이라고 가정합니다. 밑변 하나와 옆변 하나를 바꿔 넣으면 페이지는 다른 도형의 높이를 계산하고도 오류를 알리지 않는데, 밑변의 차이와 함께 유효한 삼각형을 이루는 네 수는 언제나 답을 내놓기 때문입니다. 두 밑변은 음수가 될 수 없는 길이로 다룹니다. 두 밑변이 같으면 답 대신 오류로 알리는데, 이는 의도한 것이지만 알아 둘 만합니다. 그때 도형은 평행사변형이고 그 높이는 네 변으로 정해지지 않으므로, 수를 돌려주는 페이지라면 없는 수를 지어내는 셈이 됩니다. 페이지는 세 가지 퇴화한 경우 가운데 어디에 있는지 오류 문구 말고는 알려 주지 않습니다. 높이가 0인 납작한 사다리꼴은 답으로 처리하고, 밑변의 차이를 벌릴 수 없이 짧은 두 옆변은 거부하며, 둘 사이의 차이는 옆변 하나에서 1센티미터입니다. 소수점 네 자리는 이 하위 분류의 다른 넓이 페이지와 공유하는 표시 폭이지 정밀도에 대한 주장이 아닙니다. 변을 센티미터 단위로 잰 값은 넷째 자리보다 크게 높이를 흔듭니다. 손실이나 톱밥, 고르지 않은 지면은 전혀 반영하지 않으므로, 돌려주는 넓이는 도형 자체의 넓이이지 주문할 자재의 양이 아닙니다.

네 변으로 사다리꼴의 넓이를 어떻게 구하나요?

높이를 먼저 구한 뒤 두 밑변의 평균에 곱합니다. 두 밑변의 차이인 Δ와 두 옆변이 하나의 삼각형을 이루고, 사다리꼴의 높이는 그 삼각형의 높이와 같습니다. 윗변 4, 아랫변 10에 두 옆변이 5와 5라면 차이가 6이고 각 옆변이 그중 3씩을 맡아 높이가 √(25 − 9) = 4이며, 밑변의 평균이 7이라 넓이는 28제곱센티미터입니다.

왜 어떤 네 변은 거부하나요?

대부분의 네 변 조합은 사다리꼴을 이루지 않기 때문입니다. 두 옆변은 삼각형의 두 짧은 변이 가장 긴 변을 벌려야 하는 것과 똑같이, 두 밑변의 차이를 벌릴 수 있어야 합니다. 아랫변 10과 윗변 4는 차이가 6이므로 두 옆변 4와 2는 겨우 닿아 높이가 0이 되고, 두 옆변 3과 2는 6을 아예 벌릴 수 없어 그런 도형이 존재하지 않습니다. 페이지는 제곱근에서 음수를 돌려주는 대신 그 사실을 알립니다.

두 밑변의 길이가 같으면 어떻게 되나요?

그때 그 도형은 평행사변형이고, 네 변이 더 이상 그것을 정하지 못합니다. 변이 5, 5, 6, 6이면 높이가 5인 6 × 5 직사각형도 되고 거의 납작하게 기울어진 모양도 되는데, 같은 네 변을 가지면서 높이와 넓이가 다릅니다. 이 페이지는 하나를 골라 주는 대신 오류로 알립니다. 밑변과 높이를 받는 평행사변형 넓이 계산기가 그 물음에 직접 답합니다.

등변사다리꼴은 무엇이고 무엇이 쉬워지나요?

두 옆변의 길이가 같은 사다리꼴입니다. 그때는 밑변의 차이가 두 옆변에 똑같이 나뉘어 각 옆변과 차의 절반이 직각삼각형을 이루므로, 높이는 옆변의 제곱에서 밑변 차의 절반의 제곱을 뺀 값의 제곱근이 됩니다. 윗변 4, 아랫변 10에 두 옆변이 같으면 차가 6이고 그 절반이 3이라 옆변 5에서 √(25 − 9) = 4가 나옵니다. 표의 첫째 줄이 이 경우이고, 두 밑각의 크기와 두 대각선의 길이가 각각 같습니다.

삼각형도 사다리꼴의 특별한 경우인가요?

산술적으로는 밑변 하나가 0일 때 그렇습니다. 그러면 두 밑변의 평균이 남은 밑변의 절반이 되어 넓이 공식이 밑변 곱하기 높이의 절반, 곧 삼각형의 공식으로 바뀝니다. 윗변에 0을, 아랫변에 10을, 두 옆변에 6과 8을 넣으면 페이지는 삼각형 넓이 계산기가 6-8-10 삼각형에 대해 주는 것과 같은 24제곱센티미터를 돌려줍니다. 삼각형을 사다리꼴로 보느냐는 정의의 문제이지만 공식은 개의치 않습니다.

높이가 네 변 가운데 하나가 아닌 이유는 무엇인가요?

사다리꼴에서 높이는 변이 아니라 두 평행한 밑변 사이의 수직 거리이고, 도형의 바깥이 아니라 안에 있기 때문입니다. 가장자리를 따라 줄자를 두르는 것으로는 얻을 수 없는 유일한 값이고, 그래서 이 페이지가 쓸모 있습니다. 잴 수 있는 네 변에서 높이를 이끌어 내기 때문입니다. 높이가 한 옆변과 같아지는 것은 그 옆변이 두 밑변에 모두 수직으로 서는 퇴화한 경우뿐입니다.

• Trapezoid — 평행한 변이 한 쌍인 사각형, 밑변의 평균을 쓰는 넓이 공식과 변과 높이의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — 두 옆변이 같은 경우, 밑변의 차이가 똑같이 나뉘고 높이가 옆변의 제곱에서 차의 절반의 제곱을 뺀 값의 제곱근이 되는 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 두 옆변과 밑변의 차이가 만드는 도형, 주어진 네 변이 사다리꼴을 이루는지 정하는 삼각형 부등식이 나온 곳 — Wolfram MathWorld (United States)