시간 팽창 계산기

팽창된 시간 = 로렌츠 인자 × 고유 시간, 로렌츠 인자 = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

광속에 대한 속도의 비율입니다. 기본 단위가 c이므로 0.9는 광속의 90 퍼센트를 뜻하고, 같은 필드에서 m/s로 넣을 수도 있습니다. 1 이상은 넣을 수 없습니다. 광속에 도달하려면 무한한 에너지가 필요하고, 그래서 이 식은 1에 가까워질수록 값이 무한히 커지지만 그 값에 닿지는 못합니다

Δτ

움직이는 쪽의 시계가 재는 시간이며 고유 시간이라고 부릅니다. 우주선 안의 사람이 자기 손목시계로 읽는 시간이고, 이 값은 속도에 영향받지 않습니다. 자기 자신에 대해서는 언제나 정지해 있기 때문입니다. 단위는 시간이고, 이 값이 기준이 되어 지상의 시간이 그보다 길게 나옵니다

γ

로렌츠 인자이며 4자리 소수로 표시됩니다. 속도만으로 정해지고 시간과는 무관하므로, 입력한 시간을 바꾸어도 이 줄은 움직이지 않습니다. 1보다 작아질 수 없고 정지해 있을 때 정확히 1입니다. 1.005와 707.107 사이의 이 수 하나가 두 시계가 얼마나 벌어지는지를 전부 담고 있습니다

Δt

지상에 있는 시계가 재는 시간이며 팽창된 시간이라고 부릅니다. 고유 시간에 로렌츠 인자를 곱한 값이고 언제나 고유 시간보다 깁니다. 우주선이 돌아왔을 때 지상에서 그동안 얼마나 흘렀는지가 이 값이며, 초로 계산되어 시와 분으로 표시됩니다

Δt − Δτ

두 시계의 차이이며 이 페이지의 셋째 출력입니다. 팽창된 시간의 로렌츠 인자 배가 아니고 두 값의 차이이므로, γ가 2.29일 때 차이는 지상 시간의 56 퍼센트쯤 됩니다. 쌍둥이 역설에서 돌아온 쪽이 얼마나 젊은지를 묻는 질문에 답하는 수가 이것이고, 그래서 세 출력을 함께 봐야 합니다

속도가 시간에 미치는 영향을 정량적으로 알아야 할 때 씁니다. 우주선이나 입자 가속기의 설계, 위성의 시계 보정, 뮤온이 지상까지 도달하는 이유를 설명할 때가 대표적입니다. 위성 항법 시스템이 이 보정 없이는 하루에 몇 킬로미터씩 어긋난다는 사실이 이 계산이 실무에서 쓰이는 가장 흔한 예이고, 여기에 중력에 의한 효과가 더해집니다. 특수 상대성 이론을 처음 배울 때 개념을 확인하는 용도로도 쓸 만합니다. 광속의 절반에서는 효과가 15 퍼센트에 그치고, 0.9배가 되어서야 두 배가 넘으며, 그 뒤로는 조금만 더 올려도 값이 폭발합니다. 이 비대칭이 이론의 핵심이고, 표에 적힌 여섯 속도가 그 모양을 그대로 보여 줍니다. 한 가지 주의가 있습니다. 여기서 계산하는 것은 특수 상대성 이론의 효과이고, 중력이 강한 곳에서 시간이 느려지는 효과는 다른 식입니다. 두 효과는 별개이며 실제 위성에서는 둘을 함께 계산합니다.

1. 기본값: 광속의 0.9배로 다섯 시간을

   1. 로렌츠 인자를 구합니다: 1 ÷ √(1 − 0.9²) = 1 ÷ √0.19 = 2.2942
   2. 고유 시간 5시간을 초로 바꾸면 18,000초입니다
   3. 지상의 시간: 18,000 × 2.2942 = 41,295초
   4. 41,295초는 11시간 28분 15초입니다
   5. 두 시계의 차이: 41,295 − 18,000 = 23,295초, 곧 6시간 28분 15초

   우주선 안에서 다섯 시간을 보냈는데 지상에서는 열한 시간 반이 흘렀습니다. 로렌츠 인자가 2.29라는 것은 이 속도에서 시간이 절반 이하로 느려진다는 뜻입니다. 셋째 출력이 둘째의 절반이 아니라 6시간 28분인 것을 확인해 두십시오. 차이는 지상 시간의 56 퍼센트이고 γ와 같은 수가 아니며, “얼마나 젊어졌는가”를 묻는 질문에는 이 값이 답합니다. 0.9배는 이미 상상하기 어려운 속도이고, 지금까지 만들어진 가장 빠른 우주선도 이 값의 1000분의 1에 못 미칩니다.

2. 광속의 절반으로 한 시간: 효과는 실재하지만 작습니다

   1. 로렌츠 인자: 1 ÷ √(1 − 0.25) = 1 ÷ √0.75 = 1.1547
   2. 고유 시간 1시간은 3,600초입니다
   3. 지상의 시간: 3,600 × 1.1547 = 4,157초
   4. 4,157초는 1시간 9분 17초입니다
   5. 두 시계의 차이: 4,157 − 3,600 = 557초, 곧 9분 17초

   광속의 절반이라는 속도에서도 차이가 9분 남짓입니다. 15 퍼센트의 효과이고, 일상의 감각으로는 이상할 만큼 작습니다. 이 예시를 둔 이유가 그것입니다. 상대성 이론의 효과는 광속에 아주 가까워지기 전까지는 눈에 띄지 않고, 그래서 일상에서 뉴턴 역학이 그대로 맞습니다. 로렌츠 인자가 1.1547이라는 수는 √(4/3), 곧 2를 √3으로 나눈 값이며, 0.5라는 깔끔한 입력에서 나온 답치고는 어중간합니다. γ가 속도의 제곱근을 통해 들어가기 때문이고, 그래서 이 표의 값들은 대부분 무리수입니다.

3. 광속의 0.999999배로 한 시간: 지상에서는 29일

   1. 로렌츠 인자: 1 ÷ √(1 − 0.999999²) = 707.107
   2. 고유 시간 1시간은 3,600초입니다
   3. 지상의 시간: 3,600 × 707.107 = 2,545,585초
   4. 2,545,585초는 29일 11시간 6분 25초입니다
   5. 두 시계의 차이: 2,545,585 − 3,600 = 2,541,985초

   한 시간이 29일이 되었습니다. 속도는 앞의 예시에서 두 배가 되었을 뿐인데 결과는 700배가 넘게 달라졌고, 이것이 이 표가 등간격이 아닌 이유입니다. 광속에 가까워질수록 γ가 급격히 커지므로, 마지막 소수점 자리가 결과 전체를 좌우합니다. 0.999999배는 뮤온이 대기 상층에서 지상까지 살아서 도달하는 속도와 비슷합니다. 뮤온의 고유 수명이 짧아 그 거리를 날아올 수 없는데도 지상에서 관측되는 이유가 바로 이 707이라는 수이고, 상대성 이론이 처음 확인된 실험적 근거 중 하나입니다.

4. 정지해 있을 때: 두 시계가 정확히 일치

   1. 로렌츠 인자: 1 ÷ √(1 − 0) = 1
   2. 고유 시간 1시간은 3,600초입니다
   3. 지상의 시간: 3,600 × 1 = 3,600초. 두 값이 같습니다
   4. 두 시계의 차이: 3,600 − 3,600 = 0초

   속도가 0이면 로렌츠 인자가 정확히 1이고 두 시계가 일치합니다. 상대성 이론이 특별한 상황을 위한 이론이 아니라 평범한 상황을 포함하는 더 넓은 이론이라는 것이 이 줄에 들어 있습니다. 낮은 속도에서는 γ가 1에 아주 가까워지므로 지구 위의 모든 움직임에서 이 보정이 무시할 만하고, 그래서 뉴턴 역학이 그대로 통합니다. 시속 300 km로 달리는 열차에서도 γ는 소수점 아래 열네 자리에서나 1과 달라집니다. 이 줄은 그 사실의 극단적인 형태입니다.

특수 상대성 이론만 다룹니다. 중력이 강한 곳에서 시간이 느려지는 효과는 다른 식이고, 여기에는 들어 있지 않습니다. 실제 위성의 시계는 두 효과를 함께 받으며 특수 상대성 효과로 빨라지고 일반 상대성 효과로 느려지는데, 순효과는 더 빠른 쪽입니다. 가속과 감속도 계산에 없습니다. 우주선이 목적지에서 돌아서려면 방향을 바꿔야 하고 그 과정에서 가속이 필요하며, 가속하는 기준틀의 시간은 특수 상대성 이론의 공식만으로는 정확히 다룰 수 없습니다. 쌍둥이 역설을 정확히 계산하려면 두 구간을 나누어야 하고, 그래서 이 페이지의 값은 등속 구간만을 다룬 근사입니다. 동시성의 상대성도 여기에 없습니다. 서로 다른 곳에서 동시에 일어난 두 사건이 관측자에 따라 순서가 달라지는 효과이고, 시간 팽창과는 다른 현상입니다. 마지막으로 가벼운 신호가 오가는 시간은 계산하지 않습니다. 우주선에서 지상을 관측하면 도플러 효과로 인해 시계가 느리게 보이는 것과 별개로 신호 자체가 늦게 도착합니다.

시간 팽창 공식은 무엇인가요?

Δt = γ × Δτ이고 γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²)입니다. 고유 시간에 로렌츠 인자를 곱하면 지상의 시간이 나오고, 두 값의 차이가 두 시계가 벌어진 만큼입니다. γ는 속도만으로 정해지므로 고유 시간을 바꾸어도 γ는 변하지 않습니다. 광속에 가까워질수록 γ가 급격히 커지고, 정확히 광속에서는 정의되지 않습니다.

쌍둥이 역설은 어떻게 설명되나요?

한 명이 우주선을 타고 광속에 가깝게 여행하고 돌아오면 지상에 남은 쌍둥이보다 젊다는 것이 역설의 내용입니다. 두 사람 모두 상대방의 시계가 느리게 간다고 볼 수 있는데 모순이 아닌 이유는, 우주선 쪽이 방향을 바꾸며 가속했기 때문입니다. 두 기준틀이 대등하지 않고, 그래서 결론이 한쪽으로 정해집니다. 돌아온 쪽이 얼마나 젊은지가 이 페이지의 셋째 출력이며, 광속의 0.999999배로 한 시간을 보내면 29일이 벌어집니다.

왜 특수 상대성 이론이라고 부르나요?

특수라는 말은 가속하지 않는 관성 기준틀만 다룬다는 뜻입니다. 등속도로 움직이는 관측자들 사이의 관계를 다루는 이론이고, 가속하는 경우까지 포함한 것이 일반 상대성 이론입니다. 중력도 일반 상대성 이론의 몫입니다. 이 계산기는 등속 구간의 시간 팽창을 다루므로 특수 상대성 이론의 범위에 있고, 가속이나 중력이 끼면 별도의 계산이 필요합니다.

광속에 도달하면 어떻게 되나요?

도달할 수 없습니다. 로렌츠 인자가 1에 가까워질수록 무한히 커지므로 광속에 닿으려면 무한한 에너지가 필요하고, 질량이 있는 물체에는 그것이 불가능합니다. 이 계산기에 1 이상을 넣으면 계산되지 않습니다. 빛 자체는 광속으로 다니지만 질량이 없고, 그래서 이 식의 적용 대상이 아닙니다. 실제로 관측된 가장 빠른 입자는 광속의 0.999999배 남짓이고, 그 이상은 입자 가속기로도 도달하기 어렵습니다.

이 효과가 실제로 측정된 적이 있나요?

여러 번 측정되었습니다. 가장 흔한 예는 대기 상층에서 생기는 뮤온입니다. 수명이 짧아 지상까지 도달할 수 없는데도 관측되는데, 광속에 가까운 속도로 움직이기 때문에 뮤온의 시계가 느리게 가서 살아남는 것입니다. 위성 항법 시스템도 이 보정을 하지 않으면 하루에 몇 킬로미터씩 어긋나고, 그래서 매일 이 계산을 하고 있습니다. 비행기에 실은 원자시계로 직접 확인한 실험도 있습니다.

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — 로렌츠 인자, 두 개의 시계, 그리고 뮤온과 위성이 제공하는 이 효과의 증거 — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²)의 유도, 쌍둥이 역설, 그리고 이 효과와 중력 시간 팽창의 차이 — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — 알파벳순 단위 계수 중 시·분·일 항목(1 h = 3600 s)이며, 두 duration 출력이 궁극적으로 세어지는 단위 — National Institute of Standards and Technology