과학적 표기법 계산기

(a × 10ᵐ) op (b × 10ⁿ), op ∈ { ×, ÷, +, - }; 곱셈은 a × b 와 10ᵐ⁺ⁿ, 나눗셈은 a ÷ b 와 10ᵐ⁻ⁿ; 3.2 × 10⁵ × 4 × 10⁻³ = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1280; 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² = 1.75 × 10³; 0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹

3.2e5와 4e-3

계산할 두 수입니다. 각각 보통 소수로도 e 표기법으로도 쓸 수 있고, 45000과 4.5e4는 같은 수의 두 가지표기이므로 어느 쪽으로 넣어도 결과가 같습니다. 계수는 유효 숫자 15자리까지, 지수는 ±99까지 받습니다

× ÷ + -

고를 수 있는 네 연산입니다. 곱셈과 나눗셈은 지수끼리 더하거나 빼고, 덧셈과 뺄셈은 지수를 먼저 맞춘 뒤 계수를 더하거나 뺍니다. 어느 쪽이든 결과는 같은 형식으로 돌아옵니다

10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ

곱셈이 지수에서 하는 일입니다. 같은 밑을 가진 거듭제곱끼리 곱하면 지수가 더해지므로, 10⁵ × 10⁻³은 10²이 됩니다. 나눗셈은 반대로 지수를 빼고, 그래서 10⁷ ÷ 10³이 10⁴이 됩니다

1.5 × 10³ + 2.5 × 10²

지수가 다른 두 수의 덧셈입니다. 지수가 다르면 같은 자리끼리 더할 수 없으므로 1500과 250으로 놓고 더해 1750을 얻은 뒤, 다시 1.75 × 10³으로 접습니다. 지수가 같은 두 수는 이 단계 없이 계수만 더합니다

0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹

결과를 15자리에서 끊는 이유를 보여 주는 줄입니다. double 안에서 이 합은 0.30000000000000004이고, 15자리 아래의 꼬리는 화면에 올라오지 않습니다. 그래서 답이 0.3으로 깔끔하게 나오고, 그 15자리가 표시의 한계일 뿐 정확도의 주장은 아닙니다

1.28 × 10³, 1.28e3, 1280

같은 결과의 세 가지표기입니다. 첫째는 계수가 1 이상 10 미만이 되도록 맞춘 과학적 표기법, 둘째는 그것을 컴퓨터가 읽는 e 표기법, 셋째는 부호와 숫자만으로 풀어 쓴 보통 표기법입니다. 이 페이지가 세 줄을 함께 보여 주는 이유는 옮겨 적는 상황마다 쓰이는 형식이 다르기 때문입니다

과학적 표기법은 자릿수가 많은 수를 다루는 모든 자리에 있습니다. 그램 단위로 0.0000000000000000000000016을 적는 대신 1.6 × 10⁻²⁴라고 쓰면 자릿수를 세지 않아도 크기가 보이고, 6.02 × 10²³처럼 큰 수도 마찬가지입니다. 화학과 물리에서 상수와 측정값이 늘 이 형식으로 오는 이유가 그것입니다. 자릿수를 세는 일 자체가 오류의 원천이고, 지수는 그 일을 대신해 줍니다. 공학에서는 더 직접적입니다. 전기와 전자에서 쓰는 접두어, 곧 킬로와 밀리와 마이크로가 모두 10의 거듭제곱이고, 저항 하나를 적을 때도 4.7 × 10³ Ω과 4.7 kΩ은 같은 값을 다르게 부른 것입니다. 계산기와 스프레드시트가 큰 수를 e 표기법으로 내놓는 것도 같은 이유이며, 결과를 읽고 옮겨 적는 사람은 그 형식을 읽을 줄 알아야 합니다. 곱셈과 나눗셈이 지수 하나로 끝난다는 사실은 손으로 검산할 때 특히 쓸모가 있습니다. 10의 거듭제곱 부분은 지수만 보고, 계수는 계수끼리만 보면 되므로 두 단계가 서로 섞이지 않습니다. 어림셈도 쉬워집니다. 3.2 × 10⁵ × 4 × 10⁻³에서 3.2 × 4가 12.8쯤이고 10⁵ × 10⁻³이 10²이니 답은 1.3 × 10³쯤이라고 반올림 하나로 잡을 수 있고, 정확한 답 1.28 × 10³이 그 근처에 있는지 확인하면 됩니다. 반대로 결과를 몇 자리까지 믿을지 정하는 일은 이 페이지의 일이 아닙니다. 곱셈 한 번에 유효 숫자는 늘지 않으므로, 그 물음은 입력이 몇 자리였는지와 함께 유효 숫자 계산기가 답합니다. 그리고 같은 수를 10의 거듭제곱 꼴로 옮겨 적기만 하려는 경우에는 표준형 계산기가 더 짧습니다. 그쪽은 연산자 없이 수 하나만 받습니다.

1. 곱셈: 3.2 × 10⁵에 4 × 10⁻³

   1. 계수끼리 곱하기: 3.2 × 4 = 12.8
   2. 지수끼리 더하기: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
   3. 합치면 12.8 × 10²이지만 계수가 10을 넘기 때문에 아직 과학적 표기법이 아니기
   4. 12.8을 1.28 × 10으로 고쳐 지수를 한 칸 올리기: 1.28 × 10³
   5. 같은 값을 컴퓨터 형식으로 1.28e3, 풀어 쓴 보통 표기법으로 1280이라고 적기

   기본값이고 이 페이지가 하는 일이 한 줄에 다 들어 있습니다. 지수는 더하고 계수는 곱한 뒤, 계수를 다시 1 이상 10 미만으로 맞춥니다. 12.8 × 10²이라고 적어도 값은 같지만 표기법의 규칙에 어긋나고, 어긋난 형식이 섞이기 시작하면 두 수를 비교할 때 지수만 보고 크기를 가늠할 수 없게 됩니다.

2. 나눗셈: 9.6 × 10⁷을 3.2 × 10³으로

   1. 계수끼리 나누기: 9.6 ÷ 3.2 = 3
   2. 지수끼리 빼기: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
   3. 계수가 이미 1 이상 10 미만이라 지수를 고칠 필요가 없기
   4. 답은 3 × 10⁴, 곧 3e4이고 보통 표기법으로 30000이기

   곱셈과 대칭이고, 계수가 딱 떨어져서 다시 맞출 단계가 없는 경우입니다. 지수를 빼는 것은 나눗셈이 곱셈의 반대이기 때문이며, 10⁷ ÷ 10³에서 7에서 3을 빼 4가 남습니다. 계수가 1보다 작게 나오는 나눗셈도 있는데, 그때는 지수를 한 칸 내려 계수를 10배로 키우는 같은 보정이 반대 방향으로 일어납니다.

3. 덧셈: 0.1과 0.2

   1. 두 수를 같은 지수로 맞추기: 0.1은 1 × 10⁻¹, 0.2는 2 × 10⁻¹
   2. 지수가 같으므로 계수만 더하기: 1 + 2 = 3
   3. 결과 3 × 10⁻¹을 보통 표기법으로 풀면 0.3이기

   컴퓨터가 소수를 다루는 방식을 보여 주는 자리입니다. 0.1과 0.2는 이진수로 정확히 표현되지 않아 double 안의 합이 0.30000000000000004가 되는데, 이 계산기는 결과를 유효 숫자 15자리에서 끊으므로 그 꼬리가 화면에 올라오지 않습니다. 화면에 0.3이라고 적혀 있으면 그것이 답입니다. 이 15자리는 표시의 한계이고, 이 결과가 열다섯 자리까지 정확하다는 주장이 아닙니다.

4. 뺄셈: -4 × 10²에서 1.5 × 10²을

   1. 두 수의 지수가 이미 2로 같으므로 계수만 빼기: -4 - 1.5 = -5.5
   2. 지수는 그대로 10²이기
   3. 답은 -5.5 × 10²이고 풀어 쓰면 -550이기

   음수 부호는 계수에 붙고 지수에 붙지 않습니다. -4 × 10²과 (-4 × 10)²은 다른 수이고, 표기법에서 지수는 계수의 부호와 무관하게 크기만 나타냅니다. 부호가 지수로 올라가면 -5.5 × 10²이 아니라 5.5 × 10²처럼 읽히거나, 제곱의 자리로 오해될 여지가 생깁니다.

결과는 컴퓨터가 double로 계산한 값이고 유효 숫자 15자리에서 끊습니다. 0.1과 0.2의 합이 0.3으로 나오는 것은 그 15자리 아래의 꼬리가 잘리기 때문이며, 이 15자리는 표시의 한계이지 정확도의 주장이 아닙니다. 연산 한 번에 유효 숫자가 늘지도 않으므로, 답이 몇 자리까지 믿을 만한지는 입력이 몇 자리였는지에 달려 있습니다. 그 물음은 유효 숫자 계산기의 것입니다. 0으로 나누면 오류가 나옵니다. 무한대는 이 페이지가 인쇄할 수 있는 결과가 아니기 때문입니다. 지수는 입력에서 ±99까지지만 결과에는 그 제한이 없습니다. 1e99에 1e99를 곱하면 1 × 10¹⁹⁸이 그대로 인쇄되고, 그때 보통 표기법 줄은 199자가 됩니다. 이 페이지가 과학적 표기법 줄을 함께 보여 주는 이유가 바로 그 줄입니다. 입력은 보통 소수와 e 표기법 두 가지표기만 받습니다. 3.2e5, 3.2E5, 320000, 320000.은 모두 같은 수로 읽히지만 45,000처럼 천 단위 구분 쉼표를 넣으면 오류입니다. 2 × 10²처럼 수식 자체를 입력으로 넣을 수도 없습니다. 결과의 15자리는 반올림한 값이 아니라 잘라 낸 값이지만, 잘리는 자리가 유효 숫자 15자리보다 아래이므로 이 페이지가 답하는 자릿수 안에서는 차이가 드러나지 않습니다. 마지막으로 이 페이지는 연산 결과를 세 가지로 보여 줄 뿐, 그 결과에 유효 숫자가 몇 개인지도, 결과를 다시 10의 거듭제곱 꼴로 정리하는 규칙이 무엇인지도 판정하지 않습니다. 뒤의 둘은 각각 유효 숫자 페이지와 표준형 페이지의 일입니다.

과학적 표기법이란 무엇인가요?

수를 계수와 10의 거듭제곱의 곱으로 쓰는 형식이고, 계수는 1 이상 10 미만이어야 합니다. 1280은 1.28 × 10³이 되고 0.00045는 4.5 × 10⁻⁴이 됩니다. 자릿수를 세지 않아도 크기가 보이고, 아주 큰 수와 아주 작은 수를 같은 형식 하나로 다룰 수 있습니다.

과학적 표기법과 표준형은 같은 것인가요?

같은 형식에 붙은 두 이름입니다. 영국에서는 standard form이라고 부르고 미국과 한국 교과서에서는 과학적 표기법이라고 부릅니다. 이 사이트에는 두 페이지가 있는데, 이 페이지는 두 수를 계산하고 표준형 계산기는 수 하나를 같은 형식으로 옮겨 적습니다. 곧 차이는 이름이 아니라 입력의 개수입니다.

곱셈과 나눗셈은 어떻게 계산하나요?

지수끼리 더하거나 빼고 계수끼리 곱하거나 나눕니다. 3.2 × 10⁵에 4 × 10⁻³을 곱하면 지수는 5 + (-3) = 2가 되고 계수는 12.8이 되는데, 12.8이 10을 넘으므로 1.28 × 10으로 고쳐 지수를 한 칸 올려 1.28 × 10³을 얻습니다.

덧셈과 뺄셈은 왜 다르게 하나요?

지수가 다르면 같은 자리끼리 더할 수 없기 때문입니다. 1.5 × 10³과 2.5 × 10²은 크기가 한 자리 다르므로, 1500과 250으로 놓고 더해 1750을 얻은 뒤 다시 1.75 × 10³으로 접습니다. 지수가 같은 두 수는 이 단계 없이 계수만 더하거나 뺍니다.

0.1과 0.2를 더했는데 왜 오차 없이 0.3이 나오나요?

컴퓨터 안에서는 0.30000000000000004이지만, 이 계산기가 결과를 유효 숫자 15자리에서 끊기 때문입니다. 그 아래의 꼬리는 화면에 올라오지 않습니다. 이 15자리는 표시의 한계이고 답이 열다섯 자리까지 정확하다는 뜻이 아닙니다. 결과가 몇 자리까지 믿을 만한지는 입력의 자릿수에 달려 있습니다.

결과를 몇 자리까지 믿을 수 있나요?

이 페이지는 그 판단을 하지 않습니다. 화면의 15자리는 표시의 한계이고, 곱셈 한 번에 유효 숫자가 늘지도 않습니다. 계산 결과가 몇 자리까지 믿을 만한지는 입력이 몇 자리였는지에 달려 있고, 그 물음은 유효 숫자 계산기가 답합니다.

• 큰 수, 작은 수도 척척! 과학적 기수법 — 10의 거듭제곱으로 큰 수와 작은 수를 적는 방법 — 한국표준과학연구원 (KRISS)
• 기수법 — 위치 기수법으로 수를 적는 원리와 지수로 자리를 나타내는 방식 — 대한수학회 (수학백과)
• Scientific notation — 10의 거듭제곱으로 수를 쓰는 규칙과 사칙연산에서 지수가 움직이는 방식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Scientific notation — 계수를 1 이상 10 미만으로 맞추는 정규화와 E 표기법 — Math is Fun (United Kingdom)
• Standard form — 영국에서 같은 형식을 부르는 이름과 큰 수·작은 수의 변환 — Math is Fun (United Kingdom)