마름모 계산기

넓이 = s² × sin θ 둘레 = 4s 대각선 1 = 2s × cos(θ ÷ 2) 대각선 2 = 2s × sin(θ ÷ 2) 높이 = s × sin θ

s

마름모의 한 변이며 단위는 센티미터입니다. 네 변이 모두 같으므로 어느 변을 재도 같은 수가 나오고, 그래서 입력이 하나뿐입니다. 직사각형처럼 가로와 세로를 따로 받을 필요가 없습니다

θ

이웃한 두 변이 이루는 각이며 단위는 도입니다. 0도와 180도 사이의 값이면 되고 마름모에서는 예각도 둔각도 모두 정당합니다. 이 각도가 도형을 정하는 두 번째 수이고, 아래 다섯 출력 가운데 둘레를 뺀 나머지 넷이 전부 이 각도에 따라 달라집니다

넓이

마름모 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 변의 제곱에 각도의 사인값을 곱한 값이고, 이는 밑변 곱하기 높이와 같은 식입니다. 각도가 90도일 때 사인값이 1이 되어 변의 제곱이 그대로 넓이가 되고, 그때가 마름모가 가질 수 있는 가장 큰 넓이입니다

둘레

네 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 변의 네 배이고 각도와는 아무 관계가 없습니다. 마름모를 아무리 납작하게 눌러도 테두리의 길이는 그대로라는 뜻이며, 이 페이지에서 유일하게 입력 하나만으로 정해지는 출력입니다

대각선 1

입력한 각도가 있는 꼭짓점 두 개를 잇는 대각선이며 단위는 센티미터입니다. 두 변 사이 각도의 절반에 코사인을 취해 두 배로 만든 값입니다. 각도가 90도보다 작으면 이쪽이 길고, 90도보다 크면 짧아집니다. 어느 쪽이 긴지를 각도에 따라 바꾸지 않는 것은 두 키가 서로 다른 선을 가리키게 되기 때문입니다

대각선 2

입력한 각도가 없는 꼭짓점 두 개를 잇는 대각선이며 단위는 센티미터입니다. 같은 방식으로 사인을 씁니다. 두 대각선은 언제나 직각으로 만나고 서로를 정확히 반으로 나눕니다. 그래서 각 대각선의 절반과 변 하나가 직각삼각형을 이루고, 그 삼각형에서 변의 길이를 다시 구할 수 있습니다

높이

한 변을 밑변으로 보았을 때 마주 보는 변까지의 수직 거리이며 단위는 센티미터입니다. 변에 각도의 사인값을 곱한 값이고, 정의상 넓이를 밑변으로 나눈 값이기도 합니다. 이 값 하나만 있으면 마름모를 평행사변형처럼 다룰 수 있어서, 밑변과 높이를 받는 다른 계산기로 옮겨 넣기 좋습니다

sin θ

각도의 사인값입니다. 마름모의 넓이에서 각도가 들어오는 유일한 통로이고, 두 대각선에도 절반 각도의 형태로 다시 나옵니다. 0도와 180도에서 0이 되어 도형이 선으로 주저앉고, 90도에서 1이 되어 가장 넓습니다. 예각과 그에 대응하는 둔각이 같은 값을 가져서, 60도와 120도짜리 마름모의 넓이가 같습니다

이 페이지는 마름모를 다루는데 필요한 값이 여럿일 때 씁니다. 한 변과 한 각도만 재면 다섯 개가 한 번에 나오므로, 현장에서 치수를 몇 개 적어 두었다가 사무실에서 정리하는 순서에 맞습니다. 특히 마름모를 평행사변형처럼 다뤄야 할 때 높이가 쓸모가 있습니다. 평행사변형의 넓이를 밑변과 높이로 구하는 계산기가 따로 있고 마름모에도 그대로 통하는데, 그쪽에 넣을 높이를 이 페이지가 대신 구해 줍니다. 같은 값을 두 번 재지 않아도 된다는 뜻입니다. 각도 하나로 도형 전체가 움직인다는 점도 실무에서 자주 문제가 됩니다. 대각선을 재단하는 작업이라면 각도를 1도만 틀어도 두 대각선의 길이가 함께 밀립니다. 60도짜리 마름모에서 각도를 61도로 바꾸면 긴 대각선이 8.6603에서 8.6497로 줄고 짧은 대각선은 5에서 5.0865로 늘어납니다. 판금이나 목공에서 마름모 모양을 잡을 때 각도를 어떻게 재느냐가 중요한 이유이고, 이 페이지에서 각도만 바꿔 보면 그 민감도를 눈으로 확인할 수 있습니다. 마지막으로 둘레가 각도와 무관하다는 점은 검산에 쓸 수 있습니다. 각도를 어떻게 바꿔도 둘레가 변하면 입력한 변의 길이가 달라졌다는 뜻이고, 그때는 각도가 아니라 변을 먼저 확인해야 합니다. 다만 각도가 0도나 180도에 가까우면 도형이 선에 가까워지므로 실제로 만들 수 있는 물건이 아닙니다. 참고표의 마지막 줄이 변이 0인 경우인데, 이때는 다섯 값이 모두 0이 됩니다.

1. 변이 5, 각도가 60도일 때

   1. 둘레: 4 × 5 = 20
   2. 높이: 5 × sin 60° = 5 × 0.8660254… = 4.330127…, 반올림하면 4.3301
   3. 넓이: 25 × sin 60° = 21.650635…, 반올림하면 21.6506
   4. 대각선 1: 2 × 5 × cos 30° = 8.660254…, 반올림하면 8.6603
   5. 대각선 2: 2 × 5 × sin 30° = 2 × 5 × 0.5 = 5
   6. 검산: 두 대각선의 곱의 절반 = 8.6603 × 5 ÷ 2 = 21.6508, 넓이와 네 자리까지 일치

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 이 값에서 두 가지를 확인할 수 있습니다. 첫째, 넓이와 높이가 같은 수 0.8660254에 25와 5를 각각 곱한 값이라 넓이가 높이의 다섯 배입니다. 밑변이 5이기 때문입니다. 둘째, 두 대각선이 직각으로 만나면서 서로를 반으로 나누므로 각 대각선의 절반과 변이 직각삼각형을 이룹니다. 여기서는 2.5와 4.3301이 직각변, 변 5가 빗변입니다. 2.5의 제곱과 4.3301의 제곱을 더하면 25가 나오고, 이것이 변의 제곱과 같습니다.

2. 변이 5, 각도가 90도일 때

   1. 둘레: 4 × 5 = 20
   2. 높이: 5 × sin 90° = 5 × 1 = 5
   3. 넓이: 25 × sin 90° = 25
   4. 대각선 1: 2 × 5 × cos 45° = 7.071067…, 반올림하면 7.0711
   5. 대각선 2: 2 × 5 × sin 45° = 7.071067…, 반올림하면 7.0711
   6. 검산: 두 대각선이 같은 값이므로 이 도형은 정사각형

   각도가 90도인 마름모는 정의상 정사각형입니다. 네 변이 같으면서 네 각이 모두 90도이기 때문입니다. 이 행에서 두 대각선이 7.0711로 완전히 같은 값이 되는 것이 그 표시이고, 마름모가 정사각형인지 판단하는 기준이 바로 이것입니다. 넓이도 변의 제곱인 25에 그대로 닿아서, 각도가 가질 수 있는 값 가운데 가장 큰 넓이입니다. 60도에서 21.6506이던 넓이가 90도에서 25로 오르는 동안 둘레는 20에서 전혀 움직이지 않았습니다. 테두리의 길이가 같아도 안을 채우는 양은 이렇게 달라집니다.

3. 변이 6, 각도가 120도일 때

   1. 둘레: 4 × 6 = 24
   2. 높이: 6 × sin 120° = 6 × 0.8660254… = 5.196152…, 반올림하면 5.1962
   3. 넓이: 36 × sin 120° = 31.176914…, 반올림하면 31.1769
   4. 대각선 1: 2 × 6 × cos 60° = 2 × 6 × 0.5 = 6
   5. 대각선 2: 2 × 6 × sin 60° = 10.392304…, 반올림하면 10.3923
   6. 검산: 두 대각선의 곱의 절반 = 6 × 10.3923 ÷ 2 = 31.1769, 넓이와 일치

   둔각 마름모이고, 이 페이지에서 가장 헷갈리기 쉬운 행입니다. 넓이 31.1769는 변이 6, 각도가 60도인 마름모와 정확히 같은 값인데, 사인 120도와 사인 60도가 같은 수이기 때문입니다. 예각이든 둔각이든 같은 넓이가 나옵니다. 반면 두 대각선은 자리를 바꿉니다. 60도짜리에서는 변의 절반인 6이 짧은 쪽이었는데 여기서는 긴 쪽이 10.3923이고 6은 짧은 쪽이 되었습니다. 대각선 1이라는 이름이 가리키는 선은 입력한 각도가 있는 꼭짓점을 잇는 쪽이라서 각도가 90도를 넘으면 순서가 뒤집힙니다. 이름을 붙일 때 어느 쪽이 긴지가 아니라 어느 각도에 속했는지를 기준으로 삼은 결과이고, 값을 보고 두 대각선이 바뀐 것처럼 느껴진다면 그것이 정상입니다.

4. 변이 1, 각도가 10도일 때

   1. 둘레: 4 × 1 = 4
   2. 높이: 1 × sin 10° = 0.173648…, 반올림하면 0.1736
   3. 넓이: 1 × sin 10° = 0.173648…, 반올림하면 0.1736
   4. 대각선 1: 2 × 1 × cos 5° = 1.992389…, 반올림하면 1.9924
   5. 대각선 2: 2 × 1 × sin 5° = 0.174311…, 반올림하면 0.1743
   6. 검산: 1.9924 × 0.1743 ÷ 2 = 0.1736, 넓이와 일치

   아주 납작하게 눌린 마름모입니다. 두 대각선이 1.9924와 0.1743으로 열 배 넘게 차이가 나는데, 한쪽은 도형의 길이에 가깝고 다른 쪽은 두께에 가깝기 때문입니다. 넓이 0.1736은 변의 제곱 1의 17퍼센트에 지나지 않는데, 그런데도 둘레는 4로 변함이 없습니다. 이 행은 각도가 도형을 얼마나 바꾸는지를 보여 주는 극단이고, 넓이가 변의 제곱에 사인값을 곱한 값이라는 사실이 가장 또렷하게 드러납니다. 같은 마름모를 펼쳐서 90도로 만들면 넓이가 0.1736에서 1로 여섯 배 가까이 커지는데 둘레는 그대로 4입니다.

5. 변이 0일 때

   1. 둘레: 4 × 0 = 0
   2. 높이: 0 × sin 60° = 0
   3. 넓이: 0 × sin 60° = 0
   4. 대각선 1: 2 × 0 × cos 30° = 0
   5. 대각선 2: 2 × 0 × sin 30° = 0

   변이 0인 마름모는 한 점이고, 다섯 값이 모두 0입니다. 0이 줄줄이 나오는 것은 무언가 채워지지 않은 표시가 아니라 진짜 답입니다. 0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력으로 취급되고, 각도 60도는 여전히 유효한 값이라서 계산이 거부되지 않습니다. 각도가 0도이거나 180도인 경우도 결과는 똑같이 0인데, 그때는 변이 0이 아니라 도형이 선으로 주저앉은 것입니다. 두 경우 모두 넓이가 0이라는 답은 맞지만 이유가 다릅니다. 하나는 크기가 없어서이고 다른 하나는 두께가 없어서입니다.

이 페이지는 마름모만 다룹니다. 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이고, 마름모가 아닌 사각형은 다루지 않습니다. 직사각형은 가로와 세로가 다를 수 있고 평행사변형은 이웃한 두 변의 길이가 다를 수 있어서, 변 하나와 각도 하나로는 정해지지 않습니다. 두 입력은 모두 필수입니다. 각도를 비워 두고 변만 넣으면 계산이 되지 않는데, 그것은 같은 변으로도 각도에 따라 넓이가 달라지기 때문입니다. 각도는 0도와 180도를 포함해서 그 사이의 값이면 받습니다. 두 끝값은 도형이 선으로 주저앉아 넓이가 0이 되는데, 이것도 오류가 아니라 답으로 돌려줍니다. 각도의 단위는 라디안이나 그레이드로도 고를 수 있지만 계산은 도를 기준으로 하고, 화면에 표시되는 각도도 도입니다. 출력의 단위는 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터입니다. 두 대각선 가운데 어느 쪽이 긴지는 각도에 따라 달라지므로, 대각선 1과 대각선 2의 이름을 보고 길이를 짐작하면 안 됩니다. 90도보다 작으면 대각선 1이 길고 90도보다 크면 짧아지는데, 이 규칙을 값마다 뒤집지 않은 것은 같은 이름이 두 각도에서 서로 다른 선을 가리키게 되기 때문입니다. 두 대각선의 길이만 알고 변과 각도를 모르는 경우에는 이 페이지가 맞지 않습니다. 그때는 두 대각선을 받는 다른 페이지를 쓰면 되고, 두 페이지가 같은 마름모를 서로 다른 쪽에서 다룹니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 실측한 변에 대해서는 과합니다. 각도가 90도에 가까울수록 넓이가 각도에 둔감해지고, 0도나 180도에 가까울수록 민감해집니다. 같은 1도의 차이가 어디서는 거의 보이지 않고 어디서는 크게 벌어집니다.

각도를 왜 반드시 넣어야 하나요?

그것이 도형을 정하는 두 번째 수이기 때문입니다. 같은 변 5센티미터로도 60도짜리와 120도짜리 마름모가 모두 만들어지고 둘의 넓이는 다릅니다. 변만으로는 답이 하나로 정해지지 않으므로 계산을 시작할 수 없습니다. 정사각형은 각도가 90도로 정해져 있어서 변 하나면 충분하지만, 마름모는 그 각도가 자유롭습니다.

각도가 90도면 무엇이 되나요?

정사각형입니다. 네 변이 같으면서 네 각이 모두 90도인 사각형이 정사각형이기 때문입니다. 이때 넓이는 변의 제곱이 그대로 되고, 둘레는 변의 네 배, 높이는 변과 같은 길이가 됩니다. 두 대각선도 7.0711처럼 같은 값이 되어, 마름모가 정사각형인지 판단하는 기준이 됩니다.

60도와 120도짜리 마름모의 넓이가 같은 이유는 무엇인가요?

사인 60도와 사인 120도가 같은 수이기 때문입니다. 넓이는 변의 제곱에 각도의 사인값을 곱한 값이라서, 사인이 같으면 넓이도 같습니다. 다만 두 도형이 같은 것은 아닙니다. 어느 쪽이 더 납작한지가 다르고, 두 대각선의 길이도 서로 자리를 바꿉니다. 넓이만 같고 모양은 다른 쌍입니다.

두 대각선 중 어느 쪽이 긴가요?

각도에 따라 달라집니다. 90도보다 작으면 대각선 1이 길고 90도보다 크면 대각선 2가 깁니다. 90도에서는 둘이 같아집니다. 대각선 1은 입력한 각도가 있는 꼭짓점 두 개를 잇는 선이라서 각도가 커지면 짧아지고, 그 반대쪽이 길어집니다. 이름에 길이 순서를 매기지 않은 것은 같은 이름이 각도에 따라 다른 선을 가리키게 되기 때문입니다.

높이는 어디에 쓰나요?

마름모를 평행사변형처럼 다룰 때 씁니다. 밑변에 높이를 곱하면 넓이가 나오는 성질이 마름모에도 그대로 통하고, 밑변과 높이를 받는 계산기가 따로 있다면 그쪽에 그대로 넣을 수 있습니다. 높이는 변에 각도의 사인값을 곱한 값이고, 둘레와 달리 각도에 따라 달라집니다.

둘레도 각도에 따라 달라지나요?

달라지지 않습니다. 둘레는 네 변을 더한 값이고 네 변의 길이가 각도와 무관하게 같기 때문입니다. 이 성질은 검산에 쓸 수 있습니다. 각도를 어떻게 바꿔도 둘레가 변했다면 입력한 변의 길이가 달라졌다는 뜻이고, 그때는 각도가 아니라 변을 확인해야 합니다.

두 대각선을 아는 경우에도 쓸 수 있나요?

이 페이지는 변과 각도를 받습니다. 두 대각선만 아는 경우에는 두 대각선을 받는 다른 페이지가 있고, 그쪽에서 같은 마름모의 넓이를 구할 수 있습니다. 두 페이지는 같은 도형을 서로 다른 쪽에서 다루므로 같은 답에 도착합니다. 대각선 6과 8짜리 마름모는 변 5, 각도 73.74도이고, 두 페이지 모두 넓이 24를 줍니다.

• Rhombus — 네 변이 같은 사각형. 이 페이지가 계산하는 넓이와 두 대각선, 높이, 그리고 각도가 도형을 정하는 방식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — 마름모가 속한 가족. 밑변과 높이로 넓이를 구하는 식이 여기서 나오고, 마름모의 높이도 같은 정의를 쓴다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — 각도와 변의 비를 잇는 함수. 사인과 코사인이 마름모의 넓이와 두 대각선에 들어가는 자리다 — Wolfram MathWorld (United States)