마름모 넓이 계산기

넓이 = d₁ × d₂ ÷ 2 (두 대각선을 아는 경우) 넓이 = s² × sin θ (변과 각도를 아는 경우)

d₁

첫 번째 대각선이며 단위는 센티미터입니다. 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선입니다. 두 대각선은 서로 자리를 바꿔도 넓이가 같으므로 어느 것을 1로 불러도 결과는 달라지지 않습니다. 다만 표에 실린 각도는 이 둘을 견주어 나온 값이라, 두 수를 바꿔 넣으면 그 열의 값만 달라집니다

d₂

두 번째 대각선이며 단위는 센티미터입니다. d₁과 직각으로 만나고 서로를 정확히 반으로 나눕니다. 이 성질 덕분에 넓이를 두 수의 곱만으로 구할 수 있고, 각도나 변의 길이를 따로 알 필요가 없습니다

s

마름모의 한 변이며 단위는 센티미터입니다. 두 번째 길에서만 쓰는 입력이고 두 대각선과 함께 넣으면 안 됩니다. 네 변이 모두 같으므로 어느 변을 재도 같은 값이 나옵니다

θ

이웃한 두 변이 이루는 각이며 단위는 도입니다. 두 번째 길에서만 쓰는 입력입니다. 예각과 그에 대응하는 둔각은 사인값이 같아서 넓이가 같지만, 표에 함께 실리는 각도는 둘 중 작은 쪽으로 적습니다

넓이

마름모 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 두 대각선의 곱을 반으로 나눈 값, 또는 변의 제곱에 각도의 사인값을 곱한 값입니다. 두 식은 같은 도형에 대해 언제나 같은 수를 줍니다

÷ 2

두 대각선의 곱을 반으로 나누는 이유는 도형이 직각삼각형 네 개로 쪼개지기 때문입니다. 각 삼각형의 두 직각변이 대각선의 절반씩이므로 넷을 합치면 두 대각선의 곱의 절반이 됩니다. 원래 사각형의 넓이를 구하는 식과 같은 모양입니다

이 페이지는 마름모의 두 대각선을 잴 수 있을 때 씁니다. 타일이나 판재처럼 평평한 것을 다룰 때 가장 흔하고, 특히 마름모를 대각선 방향으로 세워 놓은 자리에서 그렇습니다. 마름모꼴 타일은 벽이나 바닥에 비스듬히 놓이는 경우가 많아서, 가로와 세로로 잰 길이가 곧 두 대각선입니다. 변의 길이를 재는 것보다 이쪽이 빠릅니다. 변을 재려면 모서리에서 모서리까지 자를 대야 하는데, 대각선은 도형을 가로질러 한 번에 그으면 되기 때문입니다. 두 번째 길은 대각선을 잴 수 없을 때 씁니다. 벽에 고정된 장식이나 이미 조립된 틀처럼 안쪽을 가로지르는 선을 그을 수 없는 자리에서는 변과 각도를 재는 편이 낫습니다. 이때 각도는 두 변 사이의 벌어진 정도이고, 각도기나 스마트폰의 각도 앱으로 충분합니다. 두 길을 다 쓸 수 있는 자리라면 한쪽으로 구하고 다른 쪽으로 검산하는 것이 좋습니다. 두 대각선 6과 8로 24를 얻었다면, 변 5와 각도 73.74도로도 24가 나와야 합니다. 값이 어긋나면 잰 자리 가운데 하나가 틀렸다는 뜻이고, 어느 쪽이 틀렸는지는 알려 주지 않습니다. 한 가지 주의할 점은 넓이만으로는 두 대각선의 길이가 하나로 정해지지 않는다는 것입니다. 넓이 24를 만드는 두 대각선의 조합은 6과 8 말고도 얼마든지 있습니다. 이 페이지는 넓이를 되돌려주지 않고 넓이만 내놓으므로, 재단을 하려면 잰 두 길이를 직접 들고 있어야 합니다. 그래서 참고표에 두 대각선을 그대로 실어 두었습니다. 자주 쓰는 조합을 넣어 보고 값이 어떻게 움직이는지 확인하는 용도입니다.

1. 두 대각선이 6과 8일 때

   1. 두 대각선을 곱함: 6 × 8 = 48
   2. 반으로 나눔: 48 ÷ 2 = 24
   3. 넓이: 24 제곱센티미터

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 두 대각선의 절반이 각각 3과 4라서 도형 안에 3-4-5 직각삼각형 네 개가 들어 있는 셈이고, 변의 길이가 5인 것이 그 결과입니다. 넓이 24는 6과 8을 곱한 48의 절반입니다. 이 값은 아래 표의 첫 줄에도 그대로 있고, 변과 각도로 푸는 두 번째 길과 만나는 지점이기도 합니다.

2. 변이 5, 각도가 73.7398도일 때

   1. 각도의 사인값: sin 73.7398° = 0.960000…
   2. 변의 제곱: 5 × 5 = 25
   3. 곱함: 25 × 0.96 = 24
   4. 넓이: 24 제곱센티미터

   위의 두 대각선 6과 8짜리 마름모와 같은 도형을 다른 쪽에서 푼 것입니다. 대각선의 절반이 3과 4이므로 변은 두 수의 제곱을 더해 제곱근을 씌운 5가 되고, 각도는 긴 대각선과 짧은 대각선의 비에서 73.7398도가 나옵니다. 두 길이 같은 답 24에 도착하는 것이 우연이 아니라 같은 도형이기 때문이라는 점이 이 페이지에서 가장 중요한 성질입니다. 그래서 두 대각선을 잰 값과 변과 각도를 잰 값이 서로 맞는지 확인하는 검산으로 쓸 수 있습니다.

3. 두 대각선이 5와 12일 때

   1. 두 대각선을 곱함: 5 × 12 = 60
   2. 반으로 나눔: 60 ÷ 2 = 30
   3. 넓이: 30 제곱센티미터

   5-12-13 직각삼각형이 도형 안에 들어 있는 조합입니다. 대각선의 절반이 2.5와 6이므로 변은 6.5가 되고, 표의 넷째 줄에 그 값이 실려 있습니다. 첫 번째 예와 견주면 대각선의 한쪽이 6에서 5로 줄고 다른 쪽이 8에서 12로 늘었는데, 넓이는 24에서 30으로 올라갔습니다. 두 수의 곱만이 넓이를 정하므로 한쪽이 줄고 다른 쪽이 그보다 더 늘면 넓이도 늘어납니다.

4. 두 대각선이 10과 10일 때

   1. 두 대각선을 곱함: 10 × 10 = 100
   2. 반으로 나눔: 100 ÷ 2 = 50
   3. 넓이: 50 제곱센티미터
   4. 확인: 두 대각선이 같으므로 이 도형은 정사각형

   두 대각선이 같으면 그 마름모는 정사각형입니다. 정사각형도 네 변이 같으므로 마름모의 한 종류이고, 두 대각선의 길이가 같은 것이 그 표시입니다. 변은 7.0711이 되고 넓이 50은 변의 제곱과 정확히 같습니다. 표에는 대각선이 1과 1인 또 다른 정사각형도 있는데, 그쪽 넓이는 0.5입니다. 같은 모양을 크기만 바꾼 쌍이라 두 값을 견주면 대각선이 열 배가 될 때 넓이가 백 배가 되는 것을 확인할 수 있습니다.

5. 두 대각선을 채우고 변까지 넣었을 때

   1. 두 대각선이 모두 있으므로 첫 번째 길을 씀
   2. 6 × 8 ÷ 2 = 24
   3. 넓이: 24 제곱센티미터

   한쪽 길을 다 채운 뒤 다른 쪽 길에 하나만 넣은 상태입니다. 이때는 계산이 거부되지 않고 두 대각선의 값이 그대로 쓰입니다. 그 순간은 두 번째 길을 아직 적는 중이기 때문입니다. 거부되는 것은 두 길이 모두 완성되었을 때입니다. 넷을 다 채우면 그 네 수가 같은 도형을 가리킨다는 보장이 없어서 어느 쪽을 믿어야 할지 정할 수 없게 됩니다. 값을 넣다가 결과가 사라지지 않는지 확인해 볼 만한 자리입니다.

6. 두 대각선이 0일 때

   1. 두 대각선을 곱함: 0 × 0 = 0
   2. 반으로 나눔: 0 ÷ 2 = 0
   3. 넓이: 0 제곱센티미터

   대각선이 0인 마름모는 한 점이고 넓이가 0입니다. 0이 나오는 것은 계산이 실패한 것이 아니라 진짜 답입니다. 0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력으로 취급되므로 두 칸을 0으로 채우면 계산이 그대로 진행됩니다. 각도가 0도나 180도인 마름모도 넓이가 0인데, 그때는 대각선 한쪽이 남아 있어도 결과는 같습니다. 도형이 선으로 주저앉으면 안쪽이 없기 때문입니다.

이 페이지는 마름모만 다룹니다. 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이고, 마름모가 아닌 사각형은 다루지 않습니다. 직사각형이나 평행사변형은 두 대각선의 곱이 넓이와 관계가 없으므로 이 식을 쓸 수 없고, 두 대각선이 직각으로 만나지 않기 때문입니다. 연 모양의 사각형은 두 대각선이 직각으로 만나지만 네 변의 길이가 달라서 이 페이지의 대상이 아닙니다. 입력은 두 길 가운데 하나만 채우면 됩니다. 두 대각선을 채우면 변과 각도는 비워 두고, 변과 각도를 채우면 대각선은 비워 둡니다. 두 길을 모두 완성하면 계산이 거부되는데, 그것은 네 수가 서로 맞는다는 보장이 없기 때문입니다. 반대로 한쪽을 채운 뒤 다른 쪽에 하나만 넣는 것은 받아들입니다. 출력은 넓이 하나입니다. 둘레도 두 대각선도 화면에 다시 인쇄되지 않으므로, 넣은 값이 제대로 읽혔는지는 참고표의 처음 두 열에서 확인해야 합니다. 표의 변과 각도 열은 두 대각선에서 거꾸로 계산한 값이고 각도는 소수점 둘째 자리까지만 실려 있어서, 그 값을 다시 넣어 계산하면 넓이가 조금 다르게 나올 수 있습니다. 예를 들어 73.74를 넣으면 23.9987이 나오는데, 그 차이는 표의 인쇄 자릿수 때문이지 식이 틀린 것이 아닙니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 실측한 대각선에 대해서는 과합니다. 두 대각선 가운데 하나만 재고 다른 하나를 짐작으로 채우면 넓이도 그만큼 흔들립니다. 넓이를 되돌려 다른 대각선을 구하는 계산은 이 페이지에 없습니다. 넓이와 한 대각선을 알고 다른 하나를 구하려면 나누기 한 번이면 되지만 그 칸이 따로 마련되어 있지 않습니다.

두 대각선을 곱하기만 하면 안 되나요?

반으로 나눠야 합니다. 마름모의 두 대각선은 직각으로 만나면서 서로를 정확히 반으로 나누므로 도형이 직각삼각형 네 개로 쪼개지고, 네 삼각형을 합치면 두 대각선의 곱의 절반이 됩니다. 대각선 6과 8짜리 마름모의 넓이가 48이 아니라 24인 이유가 여기 있습니다.

변과 각도를 아는 경우에도 구할 수 있나요?

구할 수 있습니다. 변의 제곱에 각도의 사인값을 곱하면 되고, 두 대각선과 변과 각도 가운데 한쪽 길만 채우면 됩니다. 두 길은 같은 도형에 대해 언제나 같은 답을 내므로 서로를 검산하는 데 쓸 수 있습니다. 대각선 6과 8짜리는 변 5, 각도 73.7398도이고, 어느 쪽으로 넣어도 24가 나옵니다.

네 칸을 다 채우면 왜 안 되나요?

그 네 수가 같은 마름모를 가리킨다는 보장이 없기 때문입니다. 실제로 재다 보면 반올림이 섞여 두 길의 값이 조금씩 어긋나고, 그때 어느 쪽을 믿어야 할지 정할 근거가 없습니다. 그래서 두 길이 모두 완성되면 계산을 거부합니다. 다만 한쪽을 다 채운 뒤 다른 쪽에 하나만 넣는 것은 받아들입니다. 아직 적는 중일 수 있기 때문입니다.

대각선을 재기 어려우면 어떻게 하나요?

변과 각도를 재면 됩니다. 각도는 이웃한 두 변이 벌어진 정도이고 각도기나 각도 앱으로 충분합니다. 벽에 고정된 장식이나 이미 조립된 틀처럼 도형 안쪽을 가로지르는 선을 그을 수 없는 자리에서는 이쪽이 빠릅니다. 두 대각선을 잴 수 있는 자리라면 그쪽이 더 간단하고, 대신 각도를 잴 필요가 없습니다.

넓이를 알면 두 대각선을 구할 수 있나요?

하나로 정해지지 않습니다. 넓이 24를 만드는 두 대각선의 조합은 6과 8 말고도 얼마든지 있기 때문입니다. 그래서 이 페이지는 넓이만 내놓고 대각선을 되돌려주지 않습니다. 재단을 하려면 처음에 잰 두 길이를 그대로 들고 있어야 하고, 참고표의 처음 두 열이 그 값을 확인하는 자리입니다.

표의 각도가 소수점 둘째 자리까지만 있는 이유는 무엇인가요?

그 열이 계산에 쓰이지 않는 곁다리이기 때문입니다. 넓이는 두 대각선에서 바로 나오므로 각도는 읽는 사람을 위한 참고값입니다. 표에 실린 73.74를 그대로 다시 넣어 계산하면 23.9987이 나오는데, 그 차이는 인쇄 자릿수 때문이고 식이 틀린 것이 아닙니다.

연 모양 사각형에도 쓸 수 있나요?

이 페이지는 네 변의 길이가 모두 같은 마름모를 다룹니다. 연은 두 대각선이 직각으로 만난다는 점은 같지만 이웃한 두 쌍의 변만 길이가 같아서, 두 대각선의 곱의 절반이 넓이가 되지 않습니다. 같은 이유로 직사각형과 평행사변형도 두 대각선이 직각으로 만나지 않으므로 이 식을 쓸 수 없습니다.

• Rhombus — 네 변이 같은 사각형. 두 대각선이 직각으로 만나 서로를 이등분한다는 성질이 이 페이지의 식을 만든다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — 사각형의 넓이를 두 대각선으로 구하는 일반식. 두 대각선이 직각으로 만날 때 곱의 절반이 된다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — 각도와 변의 비를 잇는 함수. 변과 각도로 넓이를 구하는 두 번째 길에서 사인이 쓰인다 — Wolfram MathWorld (United States)