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최소공분모 계산기

계산 결과

60

최소공분모

공통분모로 나타낸 분수
45/60, 50/60, 42/60

최소공분모란, 여러 분수의 분모가 모두 나머지 없이 나누어떨어지는 가장 작은 수입니다. 3/4, 5/6, 7/10이라면 60입니다. 60은 4가 열다섯 번, 6이 열 번, 10이 여섯 번이고, 셋 모두에 대해 이보다 작은 수는 없습니다. 고쳐 쓰면 세 분수는 45/60, 50/60, 42/60이 됩니다. 값은 그대로이고 분모만 하나로 맞춘 모양이며, 더하거나 빼거나 견주기 전에 필요한 형태가 바로 이것입니다. 이 페이지에서는 약자로 최소공분모라고 부르겠습니다. 답에 이르는 단계는 둘이고, 첫 번째는 건너뛰기 쉽습니다. 모든 분수를 먼저 약분합니다. 6/8과 3/4은 분모가 다른 같은 수이고, 약분하지 않고 분모를 읽으면 공통분모이기는 하지만 가장 작지는 않은 답이 나옵니다. 6/8과 10/12를 3/4과 5/6으로 줄이면 답은 24가 아니라 12입니다. 그다음 분모들을 합칩니다. 여러 분수의 최소공분모는 약분된 분모들의 최소공배수입니다. 계산은 이것이 전부이고, 이 페이지와 최소공배수 페이지가 서로 다른 방향에서 같은 수에 도착하는 이유이기도 합니다. 분수가 셋 이상이면 배수는 두 개씩 접어 넣으므로, 4, 6, 10은 먼저 12를 주고 그다음 60을 줍니다. 표에서 읽어 내는 것은 마지막에 기댈 방법입니다. 약분된 분모마다 배수를 적고 모두가 함께 갖는 첫 수를 고르면 됩니다. 자주 나오는 특별한 경우가 둘 있습니다. 정수도 받아들이고 분모가 1인 분수로 셉니다. 그래서 답을 키우지 않지만, 공통분모를 붙여서 돌려줍니다. 답이 2일 때 2는 4/2가 됩니다. 그리고 다른 분모의 배수인 분모, 곧 2와 4 중의 4는 아무것도 보태지 않습니다. 2가 이미 4에 들어가기 때문입니다. 이 값은 분모가 다른 분수를 더할 때 필요한 양이며, 합의 분모가 바로 이 수입니다.

1/2, 2/3, 3/4을 최소공분모 위로 고쳐 쓴 표

분수분모공통분모로 나타낸 분수
1/226/12
2/338/12
3/449/12

가운데 열을 세로로 읽으면 2, 3, 4입니다. 그 최소공배수가 12이고 이것이 답이며, 셋이 모두 나누어떨어지는 첫 수입니다. 12는 2의 여섯 번째 배수이고, 3의 네 번째, 4의 세 번째입니다. 오른쪽 열은 각 분수를 12 위로 고쳐 쓴 것이고, 각 항목은 자리를 대신한 분수와 견주어 볼 만합니다. 6/12는 반이고 8/12는 3분의 2이며 9/12는 4분의 3인데, 셋 다 여전히 그렇습니다. 분자와 분모에 같은 수를 곱했기 때문입니다. 그 곱한 수는 답을 그 분수의 분모로 나눈 값입니다. 첫 줄은 12 ÷ 2 = 6, 둘째 줄은 12 ÷ 3 = 4, 셋째 줄은 12 ÷ 4 = 3입니다. 셋째 분모인 4가 가장 큰 수인데도 가장 많이 보태는 것은 아니라는 점을 보십시오. 중요한 것은 소수이고, 12는 2나 4 중 어느 쪽에서든 2를 두 번 가져오면 되고, 3만 가져오는 3을 하나 더하면 됩니다. 이 표는 이 세 분수에 고정되어 있고 입력한 값을 따라가지 않습니다. 위의 패널이 입력에 답하고, 이 표는 눈으로 검산할 수 있을 만큼 짧은 줄로 방법을 보여 줍니다.

공식

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ 최소공분모 = 최소공배수(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
다룰 분수들이며 두 개에서 열 개까지이고, 각각 분자/분모 꼴로 적고 두 부분 모두 1에서 1000000 사이의 정수입니다. 공백이나 쉼표, 세미콜론으로 구분합니다. 2 같은 정수도 받아들이고 2/1로 읽습니다. 각 분수는 분모를 쓰기 전에 먼저 약분되며, 답이 너무 커지지 않게 막는 단계가 이것입니다
4, 6, 10
약분된 분모들입니다. 먼저 약분하기 때문에 이것들이 더 큰 수가 아니라 4, 6, 10입니다. 6/8은 3/4으로 줄지 않았다면 8을 보탰을 것입니다. 이 지점 뒤의 모든 계산은 이 수들만 다루고, 분자는 답에 전혀 영향을 주지 않습니다
최소공분모 = 최소공배수(4, 6, 10)
계산 전체를 한 줄로 쓴 것입니다. 최소공분모는 약분된 분모들의 최소공배수입니다. 4는 2², 6은 2 × 3, 10은 2 × 5이므로 필요한 소수는 2², 3, 5이고 4 × 3 × 5 = 60입니다. 분수가 셋 이상이면 두 개씩 접습니다. 4와 6이 12를 주고, 12와 10이 60을 줍니다
60
답입니다. 약분된 모든 분모가 이것을 나머지 없이 나누고, 더 작은 수는 그렇지 않습니다. 여러 분모가 공유하는 수가 아니라 가장 작은 수인 까닭이 이것입니다
n × (60 ÷ d)
각 분수를 고쳐 쓰는 방법이며, 분자에 답을 그 분수의 분모로 나눈 값을 곱합니다. 3/4이라면 3 × 15 = 45이므로 3/4이 45/60이 됩니다. 분수의 값은 달라지지 않습니다. 분자와 분모에 같은 수를 곱했고, 크기가 같은 분수라는 말이 바로 그것입니다
45/60, 50/60, 42/60
공통분모 위로 고쳐 쓴 분수들입니다. 입력에 있던 정수는 여기서 도로 줄어들지 않고 분모를 붙인 채 나타납니다. 답이 2일 때 2는 4/2로 돌아오는데, 공통분모라는 제목의 열에 맨 정수로 인쇄된 줄은 건너뛴 줄로 읽히기 때문입니다

분모가 다른 분수를 더하는 일이 여기서 시작합니다. 3/4과 5/6은 둘 다 12 위로 올라가기 전에는 합칠 수 없고, 공통분모가 풀이의 첫 줄입니다. 분수를 견주는 것도 같은 단계입니다. 5/6이 7/10보다 큰지 눈으로는 알 수 없지만 50/60과 42/60을 놓으면 곧바로 정리되고, 분모가 같아졌으므로 분자만 읽으면 됩니다. 빼기도 같은 준비를 요구합니다. 산수 교실 밖에서는 서로 다른 분수 단위로 기록된 양을 합칠 때 이 값이 필요합니다. 최소공분모 계산기가 필요한 자리가 그곳이고, 아래 표는 손으로 하는 방법을 보여 줍니다. 약분된 분모마다 배수를 적고 모든 열에 처음 나타나는 수를 고르는 것입니다. 품을 크게 아껴 주는 요령이 둘 있고 둘 다 자주 나옵니다. 다른 분모의 배수인 분모는 무시해도 되고, 소수를 전혀 공유하지 않는 분모들, 예컨대 6과 5는 곱이 곧 답입니다. 분수가 기약분수가 아닐 때 약분은 선택이 아니며, 마지막이 아니라 처음에 하는 편이 좋습니다. 이 단계를 빠뜨렸을 때 나오는 답이 지극히 그럴듯해 보이는 유일한 경우이기 때문입니다.

계산 예시

  1. 분수 셋: 3/4, 5/6, 7/10

    1. 셋 다 이미 기약분수이므로 합칠 분모는 4, 6, 10입니다
    2. 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. 10의 배수: 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. 세 목록에 모두 들어 있는 첫 수는 60이므로 최소공분모는 60입니다
    6. 3/4은 60 ÷ 4 = 15이고 3 × 15 = 45이므로 45/60이 됩니다
    7. 5/6은 60 ÷ 6 = 10이고 5 × 10 = 50이므로 50/60이 됩니다
    8. 7/10은 60 ÷ 10 = 6이고 7 × 6 = 42이므로 42/60이 됩니다

    기본 입력입니다. 접어 넣는 길이 목록보다 짧습니다. 4와 6이 12를 주고, 12와 10이 60을 줍니다. 고쳐 쓴 열이 쓸모 있는 검산인데, 새 분수 셋이 각각 자리를 대신한 분수와 같아야 하기 때문입니다. 45/60은 3/4이고 50/60은 5/6이며 42/60은 7/10입니다. 하나라도 그렇지 않다면 곱한 수가 분수의 한쪽에만 적용된 것입니다.

  2. 왜 먼저 약분하는가: 6/8과 10/12

    1. 6/8과 10/12는 기약분수가 아닙니다
    2. 6/8의 양쪽을 2로 나누면 3/4이 되고 분모는 4입니다
    3. 10/12의 양쪽을 2로 나누면 5/6이 되고 분모는 6입니다
    4. 4와 6의 최소공배수는 12이므로 최소공분모는 12입니다
    5. 3/4은 9/12가 되고 5/6은 10/12가 됩니다
    6. 약분하지 않은 분모 8과 12를 그대로 읽었다면 최소공배수가 24였을 것입니다

    이 페이지가 제대로 답하려고 존재하는 경우입니다. 24는 틀린 공통분모가 아닙니다. 6/8과 10/12는 실제로 둘 다 24 위로 쓸 수 있습니다. 다만 가장 작지 않을 뿐이고, 24를 보여 주는 패널은 지극히 정상으로 보입니다. 먼저 약분하는 것이 둘을 갈라 놓고, 이 필드가 분모를 읽기 전에 모든 분수를 줄이는 이유입니다.

  3. 분수 사이에 낀 정수: 1/2, 2, 3

    1. 2와 3은 분모가 1인 2/1과 3/1로 읽힙니다
    2. 합칠 분모는 2, 1, 1입니다
    3. 모든 정수는 1의 배수이므로 1은 답에 아무것도 보태지 않습니다
    4. 2와 1과 1의 최소공배수는 2입니다
    5. 1/2은 그대로 1/2이고, 2는 4/2, 3은 6/2가 됩니다

    4/2와 6/2는 의도된 것이고 약분을 빠뜨린 것이 아닙니다. 이 페이지의 출력 열은 공통분모로 나타낸 분수이고, 그 열의 모든 줄이 그 분모를 달고 있어야 합니다. 그렇지 않으면 맨 2로 인쇄된 줄이 손대지 않은 줄로 읽힙니다. 값은 어느 쪽이든 그대로이고 4/2는 2입니다. 출력이 일부러 약분되지 않은 채 나오는 유일한 자리입니다.

  4. 상한 근처: 1/1000과 2/999983

    1. 1000은 2³ × 5³이고 999983은 소수이므로 두 분모는 아무것도 공유하지 않습니다
    2. 공유하는 것이 없으면 최소공배수는 곱입니다. 1000 × 999983 = 999983000입니다
    3. 1/1000은 999983000 ÷ 1000 = 999983이므로 999983/999983000이 됩니다
    4. 2/999983은 999983000 ÷ 999983 = 1000이고 2 × 1000 = 2000이므로 2000/999983000이 됩니다

    두 분모가 소수를 전혀 공유하지 않는 경우가 주어진 한 쌍에 대해 답이 가장 커지는 경우이고, 이 예는 페이지가 멈추는 상한 바로 아래에 있습니다. 여기서는 분자들이 정확하게 남습니다. 999983은 여섯 자리 값이고 기계가 정확히 담는 범위 안에 들어옵니다. 다만 분자가 더 큰 분수라면 곱이 그 범위를 넘어섰을 것이고, 그래서 이 페이지는 반올림된 결과를 인쇄하는 대신 특정 분모 이상을 거부합니다.

한계

각 분수는 분자/분모 꼴로 적고 두 부분 모두 1에서 1000000 사이의 정수여야 하며, 개수는 둘에서 열 사이여야 합니다. 소수는 변환하지 않고 거부합니다. 0.75는 분수 꼴로 적힌 분수가 아니고, 이것을 3/4으로 바꾸는 것은 적은 사람의 의도를 짐작하는 일입니다. 음수 부호는 분자 앞에만 올 수 있습니다. 3/-4는 거부하는데, 분수의 부호는 한 자리에 있어야 하고 이 페이지가 그것을 대신 정해 주지 않기 때문입니다. 분모가 0인 것도 거부합니다. 0개의 부분으로 나눌 수는 없습니다. 상한이 하나 있고 그것은 입력이 아니라 답에 걸립니다. 최소공분모는 1000000000 이하여야 하고, 그 위로는 고쳐 쓴 분수를 인쇄하는 대신 거부합니다. 고쳐 쓴 분자는 원래 분자에 답을 자기 분모로 나눈 값을 곱한 것이므로, 큰 공통분모에 큰 분자가 곱해지면 정확하지 않아지고, 부정확한 결과는 다른 줄과 똑같이 보이기 때문입니다. 분수는 최소 둘이어야 합니다. 하나뿐이면 분모를 함께할 상대가 없습니다. 같은 분수를 되풀이해 넣어도 결과는 달라지지 않고, 다른 분모의 배수인 분모는 그냥 겹치는 항목입니다. 아래 참고표는 1/2, 2/3, 3/4에 고정되어 있고 입력한 분수를 따라가지 않습니다. 위의 패널이 여러분의 분수에 답하고, 표는 방법과 고쳐 쓴 세 줄을 보여 줍니다. 답은 언제나 정확하고 반올림되지 않습니다.

자주 묻는 질문

공통분모와 최소공분모는 무엇이 다른가요?
모든 분모가 나누어떨어지는 수는 무엇이든 공통분모이고, 그중 가장 작은 것이 최소공분모입니다. 4, 6, 10이라면 60도 120도 공통분모이고 60이 가장 작습니다. 손으로 계산할 값어치가 있는 것은 가장 작은 쪽뿐입니다. 더 큰 쪽을 쓰면 고쳐 쓴 모든 분수의 수가 커지고, 수가 커지는 자리에서 실수가 나기 때문입니다. 이 페이지는 언제나 가장 작은 것을 돌려줍니다.
분모를 읽기 전에 왜 약분하나요?
같은 수인 두 분수가 서로 다른 분모를 가질 수 있기 때문입니다. 6/8과 3/4은 같은 값이지만, 8로 공통분모를 만들면 정답이 12인 자리에서 24가 나옵니다. 그 틀린 답이 뻔히 틀려 보이지는 않습니다. 24는 그 분수들의 진짜 공통분모이기는 합니다. 그래서 이 페이지는 모든 분수를 먼저 기약분수로 줄이고, 위의 예제가 그 경우를 못박아 둡니다.
최소공분모는 최소공배수와 어떤 관계인가요?
같은 계산을 다른 입력에 하는 것입니다. 약분된 분수들의 분모를 가져다 그 최소공배수를 구하면 그것이 최소공분모입니다. 이 페이지와 최소공배수 페이지가 같은 답을 내는 이유이고, 4, 6, 10의 최소공배수가 60이며 그 분모들을 가진 분수들의 최소공분모도 60입니다. 분자는 답에 전혀 들어가지 않습니다.
정수를 넣었는데 왜 분모가 붙어서 돌아오나요?
입력의 정수는 분모가 1인 분수로 읽히고, 이 페이지의 출력 열은 공통분모로 나타낸 분수이기 때문입니다. 그 열의 모든 줄이 그 분모를 달고 있어야 합니다. 답이 2일 때 2는 4/2가 되는데, 이는 약분을 잘못한 것이 아니라 같은 값을 공통분모 위로 쓴 것입니다. 출력이 일부러 약분되지 않은 채 나오는 유일한 자리입니다.
답이 가장 작아질 수 있는 경우는 언제인가요?
가장 큰 약분된 분모를 나머지 분모들이 모두 나눌 때입니다. 1/2, 1/4, 3/4이라면 2가 4를 나누고 4는 자기 자신이므로 답은 4입니다. 가장 큰 분모보다 작아질 수는 없습니다. 답은 모든 분모의 배수여야 하고, 어떤 수의 배수는 그 수보다 작을 수 없기 때문입니다.
분자가 답을 바꿀 수 있나요?
아니요. 최소공분모는 분모만으로 계산되고, 1/4과 3/4은 같은 값을 갖습니다. 분자는 고쳐 쓴 분수에 나타나는데, 거기서 각 분자에 답을 자기 분모로 나눈 값을 곱하므로, 그 줄이 무엇을 말하는지는 바꾸지만 전체를 몇 조각으로 자르는지는 바꾸지 않습니다.

참고 문헌

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