최소공배수 계산기

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ 최소공배수(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, 그리고 처음 네 개의 공배수는 180, 360, 540, 720

12, 18, 30

함께 다룰 수들이며 두 개에서 열 개까지이고, 각각 1에서 1000000 사이의 정수입니다. 공백과 쉼표, 세미콜론이 모두 구분자이므로 12 18 30과 12, 18, 30은 같은 입력입니다. 0과 음수, 소수는 거부합니다. 배수는 세는 것에 대한 진술이고, 목록의 모든 수가 배수를 하나씩 가져야 하기 때문입니다

2² × 3² × 5

필요한 소수들을 목록 전체에서 각각 가장 높은 거듭제곱으로 모은 것입니다. 2²는 12에서, 3²은 18에서, 5는 30에서 왔습니다. 가장 낮은 것이 아니라 가장 높은 거듭제곱을 택하는 것이 최대공약수와 이 페이지를 가르는 지점이고, 그래서 이 수는 언제나 가장 큰 입력 이상입니다

180

답이며 첫 번째 공배수입니다. 목록의 모든 수의 배수이고, 그보다 작은 수는 그렇지 않습니다. “최소”라는 말의 내용이 전부 이것입니다

180, 360, 540, 720

처음 네 개의 공배수이며, 답을 검산할 수 있게 인쇄합니다. 답의 1배, 2배, 3배, 4배이고 간격이 곧 답입니다. 더 작은 공배수가 있다면 180 아래에 있어야 하는데, 이 목록은 수열이 거기서 시작한다는 것을 보여 줍니다

최소공배수(a, b, c) = 최소공배수(최소공배수(a, b), c)

셋 이상을 다루는 방식이며, 둘씩 접어 넣는 것입니다. 최대공약수 페이지가 쓰는 것과 같은 접기이고, 위에서 말한 곱하고 나누는 지름길을 여기서 쓰지 않는 이유이기도 합니다. 그 지름길은 두 수에서만 정확합니다

1000000000000

입력이 아니라 답에 걸린 상한입니다. 여섯 자리 수 열 개면 답이 기계가 정확히 담는 범위를 훨씬 넘어설 수 있고, 그렇게 나온 부정확한 답은 겉보기에 지극히 평범합니다. 이 값을 넘으면 이 페이지는 거의 맞는 값을 인쇄하는 대신 거부합니다

분수를 더하거나 견주는 일이 이 값의 가장 흔한 자리입니다. 1/12과 1/18은 그대로는 더할 수 없고, 둘 다 36 위로 고쳐 씁니다. 36이 두 수의 최소공배수입니다. 공배수라면 무엇이든 되지만 가장 작은 것을 쓰면 수가 작게 유지되고, 그래서 학교에서 가장 먼저 가르치는 것이 이것입니다. 합의 분모가 정확히 이 양이고, 통분 계산기가 하는 일도 같은 연산입니다. 산수 밖의 일상적인 모습은 주기 맞추기입니다. 12일마다와 18일마다 되풀이되는 두 일정은 36일 뒤에 다시 겹치고, 세 개의 신호등이 있다면 셋의 공배수마다 겹칩니다. “다음에 언제 함께 오는가”라는 질문의 답은 언제나 이 값입니다. 톱니바퀴도 같은 방식으로 맞물리며, 물림 무늬는 두 기어가 함께 완료하는 회전수 뒤에 되풀이됩니다. 수업에서는 이 값을 직접 묻고, 아래 표가 기대되는 풀이입니다. 각 수의 배수를 어느 한 값이 모든 열에 나타날 때까지 적는 것입니다. 소수를 공유하지 않는 두 수가 가장 쉬운 경우이고, 그때 답은 그냥 곱이며, 그것을 알아보면 계산을 아예 하지 않아도 됩니다.

1. 12, 18, 30의 최소공배수

   1. 12의 배수: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
   2. 18의 배수: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
   3. 30의 배수: 30, 60, 90, 120, 150, 180
   4. 세 목록에 처음으로 함께 나타나는 수는 180입니다
   5. 소인수분해로 하면 12에서 2², 18에서 3², 30에서 5를 가져와 4 × 9 × 5 = 180입니다

   기본 입력입니다. 36이 12와 18의 배수이면서 30의 배수는 아니고, 60이 12와 30의 배수이면서 18의 배수는 아니라는 점을 보십시오. 답은 목록의 모든 수를 만족해야 하고, 대부분을 만족해서는 안 됩니다. 두 길이 같은 값에 이르며, 목록이 길어질 것 같으면 소인수분해 쪽을 쓰면 됩니다.

2. 두 수: 4와 6

   1. 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24
   2. 6의 배수: 6, 12, 18, 24
   3. 처음으로 겹치는 수는 12입니다
   4. 곱으로 검산합니다. 4 × 6 = 24이고 4와 6의 최대공약수가 2이므로 24 ÷ 2 = 12입니다

   두 수일 때만 곱셈 규칙이 성립하고, 위의 검산은 그 규칙이 왜 셋 이상에서 멈추는지를 보여 주므로 한 번쯤 손으로 해 볼 만합니다. 4, 6, 9의 곱은 216이지만 답은 36이고, 4와 6의 최대공약수로만 나눠서는 세 번째 수가 보정되지 않습니다. 이 페이지는 두 개씩 접어 넣기 때문에 그 함정에 걸리지 않습니다.

3. 서로소인 수들: 7, 11, 13

   1. 7, 11, 13은 모두 소수이므로 어느 두 수도 약수를 공유하지 않습니다
   2. 곱에서 약분될 것이 없으므로 최소공배수는 7 × 11 × 13입니다
   3. 7 × 11 = 77이고 77 × 13 = 1001입니다
   4. 처음 네 개의 공배수는 매번 1001씩 건너뜁니다

   공유하는 소수가 하나도 없으면 답은 그냥 곱이고, 답이 그만큼 커지는 경우는 이때뿐입니다. 1001은 전혀 다른 이유로도 익숙한 수입니다. 7 × 11 × 13으로 분해되는데, 세 자리 수가 되풀이되는 수를 곱셈으로 알아보는 요령이 바로 이 성질 덕분입니다. 이 페이지는 그것도 다른 입력과 똑같이 다룹니다.

4. 한 수가 다른 수들을 나누는 목록: 6, 8, 12

   1. 12가 6의 배수이므로 6은 12가 이미 요구하지 않은 것을 하나도 보태지 않습니다
   2. 8의 배수: 8, 16, 24
   3. 12의 배수: 12, 24
   4. 처음 겹치는 수는 24이고, 답은 가장 큰 입력의 배수가 아닙니다

   답이 입력한 수 중 하나일 필요는 없고, 이는 최대공약수와 정반대입니다. 그쪽 답은 언제나 가장 작은 입력의 약수입니다. 여기서는 답 24가 목록의 모든 수보다 큰데, 공배수는 모든 수가 나누어떨어지는 수여야 하기 때문입니다. 6을 빼도 아무것도 달라지지 않습니다. 12가 6이 요구하는 소수를 이미 다 갖고 있어서, 접기에 남는 변화가 없기 때문입니다.

각 수는 1에서 1000000 사이의 정수여야 하고, 개수는 둘에서 열 사이여야 합니다. 입력에 걸린 상한은 거기까지지만, 실제로 걸리는 상한은 답에 있습니다. 최소공배수는 1000000000000 이하여야 하고, 큰 수 열 개짜리 목록은 입력 범위가 동나기 훨씬 전에 그 값을 넘어섭니다. 상한을 넘으면 이 페이지는 답을 인쇄하는 대신 거부합니다. 그만큼 큰 수는 정확히 담을 수 없고, 돌아온 값이 평범한 결과처럼 보이기 때문입니다. 0과 음수는 거부합니다. 모든 정수가 0의 배수라는 말은 쓸모가 없고, 최소공배수는 양수 위에서 정의됩니다. 소수와 분수는 최대공약수 페이지와 같은 이유로 반올림하지 않고 거부합니다. 구분자는 공백, 쉼표, 세미콜론을 쓸 수 있고 섞어도 됩니다. 같은 수를 되풀이해 넣어도 되고 결과는 달라지지 않으며, 목록 안에서 다른 수를 나누는 수는 그냥 겹치는 항목입니다. 아래 참고표는 4, 6, 8에 고정되어 있고 입력한 값을 따라가지 않습니다. 위의 패널이 여러분의 수에 답하고, 표는 답을 읽어 내는 방법을 보여 줍니다. 답 자체는 언제나 정확하고 반올림되지 않습니다.

최소공배수를 손으로 어떻게 구하나요?

각 수의 배수를 적다가 어느 한 값이 모든 목록에 나타나면 멈추면 됩니다. 12, 18, 30이라면 180이고, 이는 12의 열다섯 번째 배수, 18의 열 번째 배수, 30의 여섯 번째 배수입니다. 더 빠른 길은 소인수분해입니다. 목록 어디에든 나타나는 소수를 모두 가장 높은 거듭제곱으로 남기면, 그 세 수에서는 2², 3², 5가 되어 180이 됩니다. 두 길 모두 위의 예제에 나옵니다.

최소공배수와 최대공약수는 무엇이 다른가요?

최대공약수는 입력을 모두 나누는 가장 큰 수이고, 최소공배수는 입력이 모두 나누는 가장 작은 수입니다. 최대공약수는 가장 작은 입력보다 클 수 없고, 최소공배수는 가장 큰 입력보다 작을 수 없습니다. 소인수분해로 보면 차이는 한 마디입니다. 최대공약수는 공유하는 소수의 가장 낮은 거듭제곱을, 최소공배수는 나타나는 모든 소수의 가장 높은 거듭제곱을 남깁니다.

그냥 다 곱해 버리면 안 되나요?

그러면 공배수는 되지만 최소인 경우는 드물고, 두 수에 대해서는 곱이 최소공배수와 최대공약수의 곱과 같다는 정확한 규칙이 있습니다. 4와 6의 곱은 24이고 최대공약수는 2이므로 답은 12입니다. 셋 이상에서는 이 규칙이 성립하지 않고, 그래서 이 페이지는 모두를 한꺼번에 곱하는 대신 두 개씩 접어 넣습니다.

아주 큰 답을 왜 거부하나요?

기계가 일정 크기를 넘으면 정수를 정확히 담지 못하고, 그만큼 큰 답은 겉보기에는 지극히 평범한 얼굴로 반올림되어 돌아오기 때문입니다. 입력은 각각 1000000까지로 제한되어 있지만 답은 그보다 훨씬 커질 수 있습니다. 여섯 자리 수 열 개면 곱이 어마어마해지므로, 이 페이지는 답도 상한과 견주어 보고 거의 맞는 값을 인쇄하는 대신 거부합니다.

서로소인 두 수의 최소공배수는 무엇인가요?

두 수의 곱입니다. 약분될 것이 없기 때문입니다. 7과 11은 서로소이므로 최소공배수는 77입니다. 서로소라는 것은 두 수가 소수를 전혀 공유하지 않는다는 뜻이고, 그래서 목록에 있는 각 소수의 가장 높은 거듭제곱이 그냥 그 소수입니다. 이웃한 두 정수는 언제나 서로소이고, 어떤 소수와 그 소수의 배수가 아닌 수도 그렇습니다.

최소공배수는 어디에 쓰나요?

분수를 더하거나 견주려면 공통분모가 필요하고, 그중 가장 작은 것이 이 값입니다. 1/12과 1/18은 둘 다 36 위로 고쳐 씁니다. 산수 밖에서는 두 주기로 되풀이되는 모든 것이 최소공배수마다 다시 겹칩니다. 12일마다와 18일마다 있는 일은 36일 뒤에 만나고, 톱니바퀴는 두 기어 이 수의 공배수마다 같은 물림 무늬로 돌아옵니다.

• Least common multiple — 정의, 소인수분해에서 가장 높은 거듭제곱을 쓰는 규칙, 그리고 최대공약수와의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Multiple — 어떤 수가 다른 수의 배수라는 것의 뜻, 그리고 주어진 두 수의 배수인 가장 작은 수 — Wolfram MathWorld (United States)
• Least common multiple of 1 through n — 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, … 으로 이어지며 목록이 길어질수록 답이 얼마나 빨리 커지는지 보여 주는 수열이고, OEIS A003418로 등록되어 있습니다 — OEIS Foundation Inc. (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 공배수와 최소공배수는 이 교육과정의 수와 대수 영역 내용이므로 원문과 학년군 요구는 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部