훅의 법칙 계산기

용수철 힘 = 용수철 상수 × 변위

k

N/m 단위의 용수철 상수, 곧 강성입니다. 1미터 늘리는 데 드는 힘이고, 볼펜 용수철이 10 N/m쯤, 용수철저울이 100 N/m, 자동차 서스펜션 용수철이 30 N/mm, 산업용 다이 스프링이 100 kN/m입니다. 입력란은 kN/m, N/mm, lbf/in도 받고, 아래 표는 하나의 강성을 그중 셋으로 한꺼번에 적습니다. 양수여야 합니다. 강성이 0인 것은 용수철이 아닙니다

x

센티미터 단위의 변위 — 자연 길이에서 용수철이 얼마나 움직였는지를 나타냅니다. 입력란은 미터, 밀리미터, 인치도 받습니다. 부호가 있는 양이 아니라 크기이므로 압축과 인장을 구분하지 않습니다. 10 cm 당긴 용수철과 10 cm 민 용수철은 같은 10 N으로 반대 방향으로 되돌립니다. 0도 정상적인 값이고 용수철이 쉬고 있다는 뜻입니다

F

뉴턴과 킬로뉴턴, 파운드힘, 킬로그램힘 단위의 용수철 힘입니다. 용수철이 내는 힘이자 그 자리에 붙잡아 두기 위해 내가 줘야 하는 힘이기도 합니다. 이 입력란을 비우면 나머지 둘로부터 풀어 내고, 다른 하나와 함께 채우면 세 번째를 풉니다

에너지가 아니라 눈금이 필요할 때 씁니다. 주어진 늘어남에서 용수철저울이 얼마나 세게 당기는지, 어떤 용수철이 문을 열어 둘 만큼 뻣뻣한지, 활시위가 만재에서 활대에 얼마의 힘을 거는지, 알려진 코너 하중에서 서스펜션 용수철이 얼마나 압축되는지, 정해진 힘을 정해진 행정에서 내야 한다면 강성이 얼마여야 하는지가 모두 그렇습니다. 마지막 것이 이 페이지가 겨냥한 방향이고 대부분의 계산기가 하지 못하는 일입니다. 세 입력란 가운데 둘을 비워 둘 수 있고, 어느 둘을 채우느냐가 무엇을 풀지 정합니다. 익혀 둘 만한 습관은 단위와 범위에 관한 것입니다. 단위 쪽에서는 입력란이 센티미터를 기본으로 하는데 식은 미터를 요구하므로 페이지가 내부에서 환산합니다. 다만 강성은 공급사 데이터시트에서 N/mm나 lbf/in로 올 수 있고, 그것들은 N/m와 각각 천 배와 175배 차이 납니다. 아래 표가 바로 그 일을 위한 것입니다. 범위 쪽에서는 훅의 법칙이 용수철의 탄성 한계까지만 참이고, 모든 실제 용수철은 어딘가에서 직선을 벗어납니다. 그 지점을 넘겨 당긴 용수철은 이 페이지가 예측하는 것보다 작은 힘을 내고 원래 길이로 돌아오지 않습니다. 같은 용수철을 늘릴 때 저장되는 에너지는 탄성 위치 에너지 페이지에서 다루는데, 같은 두 입력과 같은 용수철입니다.

1. 기본 용수철을 10 cm 늘릴 때

   1. 강성 100 N/m, 변위 10 cm입니다. 식은 미터를 요구하므로 0.1 m입니다
   2. 용수철 힘: 100 × 0.1 = 10 N
   3. 나머지 두 행은 입력값을 그대로 되돌려 줍니다. 풀어야 할 것이 없었기 때문입니다
   4. 같은 용수철에 1 kg 추를 매달면 9.81 N으로 당기며 9.81 cm 늘어납니다

   10 N은 물 1리터의 무게이고, 그 비교가 100 N/m가 무슨 뜻인지 가장 빠르게 감을 잡게 해 줍니다. 1리터 병을 이 용수철에 매달면 100그램마다 1센티미터쯤 늘어납니다. 이 행에서 하나 더 가져갈 것은 이 계산이 지나가는 단위 함정입니다. 10 cm는 곱하기 전에 0.1 m가 되어야 하고, 반대로 하면 1000 N이 나옵니다. 백 배 큽니다. 이 페이지에서 가장 흔한 산술 실수이고, 입력란에는 센티미터라고 적혀 있는데 식에는 아니어서 생기는 일입니다.

2. 힘은 알고 강성을 모를 때: 10 cm에서 25 N

   1. 강성 입력란을 비우고 나머지 둘을 채웁니다: 변위 10 cm, 힘 25 N
   2. F = kx를 k에 대해 정리합니다: k = F ÷ x
   3. 먼저 환산합니다: 10 cm = 0.1 m
   4. 강성: 25 ÷ 0.1 = 250 N/m

   이 페이지가 존재하는 방향입니다. 힘과 거리는 주방 저울과 자로 재기 쉬운데, 강성은 직접 잴 수 없는 수입니다. 그래서 용수철을 당겨 힘을 읽는 것이 실제로 상수를 구하는 방법입니다. 영미권 단위로 같은 산수를 하면 모든 자동차 카탈로그의 lbf/in 스프링 레이트가 나옵니다. 10인치에서 25 lbf라면 2.5 lbf/in입니다. 이것이 위의 250 N/m와 다른 값인 것은 같은 용수철이 아니라 같은 방법으로 푼 다른 예이기 때문이고, 환산하면 250 N/m가 약 1.43 lbf/in입니다. 채운 채로 남는 두 입력란이 변위와 힘이라는 점도 보십시오. 그래도 페이지는 세 양을 모두 풀었습니다. F = kx에는 변수가 셋이고 그중 둘이면 나머지 하나가 정해지기 때문입니다.

3. 용수철과 힘을 알 때: 얼마나 움직이는가?

   1. 강성 1000 N/m — 자동차 서스펜션 용수철은 이의 약 30배, 산업용 다이 스프링은 약 100배입니다
   2. F = kx를 x에 대해 정리합니다: x = F ÷ k
   3. 변위: 30 ÷ 1000 = 0.03 m
   4. 표시를 위해 다시 환산하면 3 cm입니다

   답이 미터로 나오고 페이지는 센티미터로 보여 주는데, 첫 예제가 반대 방향으로 했던 환산입니다. 움직이는 거리가 얼마나 작은지 눈여겨보십시오. 물 3리터의 무게인 30 N이 이 용수철을 3센티미터밖에 움직이지 못합니다. 같은 30 N이 앞 두 예제의 100 N/m 용수철을 움직이는 거리는 30센티미터입니다. 강성이 정확히 그 비이고, 뻣뻣한 용수철이 작은 하중에서 꿈쩍도 하지 않고 무른 용수철이 큰 하중에서 바닥까지 눌리는 이유가 여기 있습니다. 어느 쪽이 더 낫다는 것은 없고, 기구가 얼마의 행정을 가졌는지가 선택을 정합니다.

훅의 법칙은 선형 근사이고 모든 실제 용수철은 언젠가 그것을 따르지 않습니다. 탄성 한계를 넘으면 힘이 kx보다 천천히 오르고 용수철은 원래 길이로 돌아오지 않으므로, 데이터시트의 강성으로 계산한 답은 정격 행정 안에서만 유효합니다. 다이 스프링이라면 몇 밀리미터이고, 활시위라면 길이의 큰 부분입니다. 코일 용수철은 자기 범위 안에서도 완벽하게 선형이 아닙니다. 압축될수록 코일 끝이 서로 닫혀서 실효 강성이 올라가고, 충분히 늘어나면 완전히 펴져 버립니다. 이 페이지는 용수철을 질량이 없고 마찰도 없는 것으로 다루는데, 용수철 자체가 무겁거나 가이드 로드 위를 미끄러져야 할 때는 틀린 가정입니다. 압축과 인장을 구분하지 않고 어느 방향인지도 구분하지 않는데, 이는 모형이 실제로 그렇기 때문입니다. 그 차이에 응용이 달려 있다면 이 식이 사는 곳이 아닙니다. 입력란이 동작하는 방식에도 실용적인 함정이 있습니다. 처음 두 입력란이 채워진 채로 시작하므로 강성을 풀려는 사람은 둘 중 하나를 먼저 지워야 합니다. 기존 기본값 위에 힘을 덧쓰면 페이지는 새 값을 조용히 쓰는 대신 수치가 서로 맞지 않는다고 알려 줍니다. 의도된 동작이지만 사람들을 놀라게 합니다. 답에 에너지가 들어 있지 않다는 점도 한계입니다. 용수철을 여기까지 늘리는 데 한 일은 ½kx²이고, 힘이 내내 최종값이었던 것은 아니므로 F × x보다 큽니다.

훅의 법칙 공식은 무엇인가요?

F = kx이고, 용수철 힘은 용수철 상수 곱하기 변위입니다. 100 N/m 용수철을 10 cm(0.1 m) 늘리면 100 × 0.1 = 10 N으로 되돌립니다. 관계가 선형이라 변위가 두 배면 힘도 두 배이고, 당길 때와 밀 때 모두 성립하므로 용수철을 저울로 쓸 수 있습니다. 용수철 계산에서 유명한 제곱은 힘이 아니라 저장되는 에너지 ½kx²에 붙습니다.

용수철 상수를 직접 잴 수 없을 때는 어떻게 구하나요?

아는 무게를 용수철에 매달고 얼마나 늘어나는지 재어 나누면 됩니다. 2 kg짜리 추는 19.62 N의 힘을 내고, 용수철이 4 cm 늘어났다면 k = 19.62 ÷ 0.04 = 490.5 N/m입니다. 주의할 점이 둘 있습니다. 용수철 꼭대기가 아니라 자연 길이와 하중이 걸린 길이 사이를 재십시오. 그리고 아직 흔들리는 동안이 아니라 용수철이 멈춘 뒤에 읽으십시오. 가지고 있는 추로는 눈에 띄게 늘어나지 않을 만큼 뻣뻣하다면 추를 더 달거나 지레를 쓰십시오. 산수는 같고, 4 cm 늘어남에서 1 mm를 재는 불확도가 답을 제한합니다.

입력란 두 개 중 어느 것을 채워야 하나요?

셋 중 아무 둘이나 되고, 페이지가 나머지 하나를 풉니다. 강성과 변위를 주면 힘이 나오는데 이것이 일반적인 방향입니다. 변위와 힘을 주면 강성이 나오는데 이것이 스프링 레이트를 재는 방법입니다. 강성과 힘을 주면 행정이 나오는데, 기구의 치수를 정할 때 대개 필요한 것이 이것입니다. 셋 다 채우는 것은 서로 맞는지 확인하고 싶을 때뿐입니다. 어긋나면 페이지는 하나를 골라 쓰는 대신 그렇다고 알려 줍니다. 같은 화면에서 결과 패널의 힘이 입력란의 힘과 모순되는 것보다 오류를 보여 주는 편이 낫기 때문입니다.

N/m, N/mm, lbf/in는 어떻게 다른가요?

같은 강성을 적는 세 가지 방법이고, 사이의 계수가 큽니다. 1 N/mm는 1000 N/m입니다. 힘과 길이가 모두 천 배씩 바뀌기 때문입니다. 1 lbf/in는 약 175.13 N/m이고, 파운드힘도 인치도 미터법으로 정의되지 않아서 딱 떨어지는 수가 아닙니다. 실무적인 결과는 이렇습니다. 30 N/mm라고 적힌 용수철은 30000 N/m이고, 세 번째 예제의 1000 N/m 용수철보다 서른 배 뻣뻣한 것이지 서른 배 무른 것이 아닙니다. 영미권 카탈로그에서 환산 없이 베껴 온 레이트는 175배 틀립니다.

용수철이 압축되든 늘어나든 상관없나요?

이 식에는 상관없습니다. F = kx는 변위의 크기를 쓰므로 10 cm 밀린 용수철과 10 cm 당겨진 용수철이 같은 크기로 되돌립니다. 힘의 방향만 반대입니다. 실제 용수철은 완벽하게 대칭이 아닙니다. 코일 용수철은 압축에서 조금 다르게 거동하도록 감을 수 있고, 많이 압축하면 코일이 맞닿아 사실상 강체가 되며 이 식이 적용되지 않습니다. 정격 행정 안에서는 두 방향을 같게 다루는 것이 이 모형이 하는 일이고 대부분의 작업에 충분히 정확합니다.

에너지는 왜 ½kx²이고 kx²이 아닌가요?

용수철을 늘리는 동안 힘이 최종값에 있지 않기 때문입니다. 힘은 0에서 시작해 고르게 올라가므로 행정 전체에 걸친 평균 힘이 최종 힘의 절반이고, 일은 평균 힘 곱하기 거리입니다. 그대로 곱하면 ½kx²이 나옵니다. 삼각형의 넓이가 밑변 곱하기 높이의 절반인 것과 같은 이유입니다. 이 페이지가 그 수를 일부러 보여 주지 않는 이유는, 용수철에 저장되는 에너지가 자기 예제를 가진 별개의 계산이고, 제곱항을 일차항 옆에 같은 화면에 두면 독자가 둘이 한 식에서 나온 두 결과라고 생각하게 되기 때문입니다.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — 선형 구간, 용수철 상수, 실제 용수철이 직선을 벗어나는 지점 — OpenStax
• Hooke's law — 힘과 변위의 관계, 탄성 한계, 상수가 재료가 아니라 용수철의 성질인 이유 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — 뉴턴, 파운드힘·킬로그램힘 계수, 강성 입력란과 참고표에 쓰인 단위 접두어 — National Institute of Standards and Technology