조화평균 계산기

조화평균 = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ); 30, 60 → 40 (산술평균 45); 85, 90, 78, 92, 88 → 86.3118 (산술평균 86.6); 1, 2, 4 → 1.7143 (산술평균 2.3333)

xᵢ

평균을 낼 값들이고 모두 0보다 커야 합니다. 조화평균은 각 값의 역수를 더해 만들므로 0이 있으면 역수가 정의되지 않습니다. 속도와 비율, 저항처럼 역수의 형태로 쌓이는 양이 이 계산기의 주된 입력입니다

1/xᵢ

각 값의 역수입니다. 조화평균이 값을 다루는 방식이 이 한 걸음에 들어 있습니다. 큰 값은 작은 역수를 만들고 작은 값은 큰 역수를 만들기 때문에, 작은 값이 합에 더 크게 기여하고 평균은 작은 쪽으로 끌려갑니다

Σ(1/xᵢ)

역수들의 합입니다. 이 계산기는 이 중간값을 화면에 인쇄하지 않습니다. 인쇄된 중간값과 최종 값이 반올림 때문에 미세하게 어긋나 보이는 자리가 생기기 때문입니다. 값이 여섯 개를 넘으면 이 기호로 줄여 쓰고, 여섯 개 이하일 때는 각 항을 하나씩 늘어놓습니다

n

값의 개수입니다. 역수의 합을 이 수로 나누는 것이 마지막 단계이고, 값이 하나뿐이면 역수의 합이 그 값의 역수이므로 결과는 그 값 자신으로 돌아옵니다. 이 수가 분자에 오는 것은 조화평균이 “합으로 나눈 개수”라는 뜻을 그대로 옮긴 것입니다

40과 45

같은 자료의 조화평균과 산술평균입니다. 30과 60으로 같은 거리를 왕복할 때의 평균 속도는 40이고, 45는 절반의 시간을 각각 달렸을 때의 답입니다. 어느 쪽이 맞는지는 시간을 기준으로 평균 내는지 거리를 기준으로 평균 내는지로 정해집니다

1.7143

1, 2, 4의 조화평균입니다. 세 수 중 가장 작은 1에 가까운 값이 나오는데, 이것이 조화평균의 성질입니다. 작은 값의 역수가 가장 크므로 합을 지배하고, 결과는 가장 작은 값 쪽으로 끌려갑니다. 산술평균 2.3333이나 기하평균 2보다도 작습니다

조화평균은 같은 거리를 서로 다른 속도로 지날 때의 평균 속도를 구하는 자리에서 가장 자주 만납니다. 왕복 운동이 대표적이고, 오르막과 내리막이 있는 등산로, 편도와 복귀의 속도가 다른 운송 구간도 같은 모양입니다. 이때 산술평균을 쓰면 답이 실제보다 커집니다. 느린 구간에 더 오래 머물렀는데 산술평균은 그 시간 차이를 반영하지 않기 때문입니다. 같은 일을 하는 사람들의 평균 작업 속도도 조화평균입니다. 두 사람이 각자 한 시간에 몇 개씩 처리하는지가 주어졌을 때 함께 일할 때의 처리 속도는 역수의 합으로 구해지고, 이 값은 두 사람의 산술평균보다 작습니다. 전기에서는 저항을 나란히 연결했을 때의 합성 저항이 조화평균이고, 축전기를 직렬로 연결했을 때도 같은 식이 나옵니다. 전자 회로를 계산하는 사람은 이 형태를 매일 쓰면서도 그것이 조화평균이라는 이름을 가진다는 것을 모르는 경우가 많습니다. 금융에서는 같은 금액을 각기 다른 가격에 사들였을 때의 평균 매입 단가가 조화평균입니다. 주식처럼 단가가 다른 여러 번의 매수에서 평균 단가를 구할 때, 산술평균은 실제보다 높게 나옵니다. 물리와 화학에서는 밀도와 농도처럼 단위당 양으로 표현되는 값을 합칠 때 등장하고, 통계에서는 비율의 평균을 낼 때 쓰입니다. 반대로 값을 더해서 의미가 생기는 자리에는 맞지 않습니다. 키를 더하거나 점수를 더하는 자료에는 산술평균을 써야 하고, 그런 값에 조화평균을 적용하면 지나치게 작은 답이 나옵니다. 같은 자료에서 세 평균을 모두 구해 보면 조화평균이 가장 작고 산술평균이 가장 크며, 그 사이의 간격이 자료가 흩어진 정도를 알려 줍니다. 이 페이지가 산술평균을 옆에 함께 두는 이유가 그 비교입니다.

1. 다섯 개의 점수

   1. 각 값의 역수를 구하기: 1/85, 1/90, 1/78, 1/92, 1/88
   2. 역수들을 모두 더하기
   3. 값의 개수 5를 그 합으로 나누기
   4. 조화평균 86.3118, 같은 자료의 산술평균은 86.6이기

   기본값이고 값이 여섯 개 이하라 계산 과정이 각 항까지 펼쳐져 나오는 경우입니다. 값들이 서로 가까워서 세 평균이 모두 86 근처에 모여 있지만, 순서는 그대로입니다. 조화평균 86.3118이 가장 작고 그다음이 기하평균 86.458이며 산술평균 86.6이 가장 큽니다. 이 순서는 값들이 모두 같을 때만 등호로 바뀝니다.

2. 같은 거리를 30으로 가고 60으로 돌아올 때

   1. 같은 거리를 갈 때 30, 올 때 60으로 달렸으므로 두 구간에 머문 시간이 다르기
   2. 각 속도의 역수를 구해 더하기: 1/30 + 1/60
   3. 값의 개수 2를 그 합으로 나누기
   4. 평균 속도는 40이고, 산술평균 45는 절반의 시간씩 달렸을 때의 답이기

   조화평균이 필요한 이유를 한 줄로 보여 주는 자리입니다. 산술평균 45는 두 속도를 같은 시간 동안 냈다고 가정한 값이고, 같은 거리를 지났다면 느린 구간에 더 오래 머물렀으므로 평균은 40으로 내려갑니다. 40은 걸린 시간의 합으로 거리의 합을 나눈 값과 정확히 같고, 그래서 실제 평균 속도가 됩니다. 이 계산 결과는 속도·거리·시간 계산기와 같은 답을 내야 하며, 두 페이지가 같은 값을 가리킵니다.

3. 세 값: 1, 2, 4

   1. 각 값의 역수를 구하기: 1, 0.5, 0.25
   2. 역수들을 더하면 1.75이기
   3. 값의 개수 3을 1.75로 나누기
   4. 조화평균 1.7143, 산술평균은 2.3333이기

   가장 작은 값 1에 결과가 가까워지는 경우입니다. 숫자들은 1부터 4까지 두 배씩 커지지만 조화평균은 1.7143으로 1 쪽에 붙어 있습니다. 작은 값의 역수가 가장 크기 때문에 합을 지배하고, 그래서 평균이 작은 쪽으로 끌려갑니다. 등비수열처럼 값들이 고르게 흩어져 있어도 조화평균은 아래쪽에 머물고, 이 성질이 조화평균을 비율의 평균으로 쓸 수 있게 하는 근거입니다.

4. 1을 사이에 둔 두 값: 0.5와 2

   1. 각 값의 역수를 구하기: 1/0.5는 2, 1/2는 0.5
   2. 역수의 합은 2.5이기
   3. 값의 개수 2를 2.5로 나누면 0.8이기
   4. 산술평균 1.25보다 작고, 두 값의 곱 1보다도 작기

   역수를 취하면 두 값의 대소가 뒤집히는 경우입니다. 0.5와 2는 곱이 1이고 서로의 역수이며, 두 값의 거리는 같습니다. 그래도 조화평균 0.8은 산술평균 1.25보다 한참 작습니다. 작은 값 0.5의 역수가 2로 가장 크기 때문에 합을 지배하기 때문입니다. 값이 1을 사이에 두고 양쪽으로 벌어질수록 조화평균은 작은 쪽으로 더 깊이 내려갑니다.

5. 여덟 개의 값: 합 기호로 줄어드는 경우

   1. 값이 여덟 개라서 각 항을 펼쳐 쓰지 않고 합 기호로 줄이기
   2. 역수들을 더한 값으로 개수 8을 나누기
   3. 조화평균 2.9435, 산술평균은 4.5이기
   4. 산술평균의 절반에도 미치지 못하는 값이기

   값이 여섯 개를 넘으면 계산 과정이 합 기호로 줄어드는 것을 보여 줍니다. 펼쳐 쓰면 한 줄이 너무 길어지고, 화면에서 읽을 수 없는 과정은 과정이 아니기 때문입니다. 답 자체는 여섯 개 이하일 때와 같은 방식으로 구해집니다. 1부터 8까지 고르게 퍼진 값에서 조화평균이 2.9435까지 내려앉는 것도 눈여겨볼 만합니다. 작은 값들이 역수를 통해 결과를 아래로 끌어내리는 힘이 그만큼 크다는 뜻입니다.

값은 모두 0보다 커야 합니다. 0이 섞이면 역수가 정의되지 않고, 음수가 섞이면 결과가 음수가 되어 평균이라는 뜻이 흐려집니다. 이 계산기는 값이 여섯 개 이하일 때 계산 과정을 각 항까지 펼쳐 보여 주고, 그보다 많으면 합 기호로 줄여 보여 줍니다. 두 경우에 답이 달라지는 것은 아니고 줄이 쓰는 방식만 달라집니다. 역수들의 합은 화면에 인쇄되지 않습니다. 그 중간값을 적어 두면 최종 값과 반올림 때문에 미세하게 어긋나 보이는 자리가 생기기 때문이며, 이는 빠뜨린 것이 아니라 선택입니다. 값을 구분하는 기호는 세미콜론이고 쉼표가 아닙니다. 결과는 소수 넷째 자리에서 반올림해 보여 주므로 원래 값이 정수라도 답이 소수로 나올 수 있습니다. 마지막으로 이 페이지는 조화평균 하나만 계산합니다. 값들을 더해서 평균 내는 산술평균은 mean 계산기가 맡고, 곱해서 평균 내는 기하평균은 기하평균 계산기가 맡습니다. 세 평균은 같은 자료에서 서로 다른 답을 내놓고, 그중 어느 것을 쓸지는 값들이 어떻게 쌓이는지로 정해집니다. 속도와 비율처럼 역수로 더해지는 양에만 조화평균이 맞습니다.

조화평균이란 무엇인가요?

값들의 역수를 더한 뒤 그 합으로 개수를 나눈 값입니다. 값이 두 개라면 2를 1/x₁ + 1/x₂로 나눈 것이 됩니다. 값들을 더하는 산술평균, 값들을 곱하는 기하평균과 달리 조화평균은 역수를 통해 만들어지고, 그래서 작은 값의 영향이 커집니다.

평균 속도는 왜 40인가요? 45가 아닌가요?

같은 거리를 지났다면 느린 구간에 더 오래 머물렀기 때문입니다. 30으로 간 구간과 60으로 온 구간은 거리가 같고 걸린 시간은 다르므로, 시간으로 가중한 평균이 40이 됩니다. 45는 두 속도를 같은 시간 동안 냈다고 가정한 값이고, 그 경우에는 거리가 달라집니다.

조화평균 구하기는 어떻게 하나요?

각 값의 역수를 구해 모두 더하고, 그 합으로 값의 개수를 나눕니다. 85, 90, 78, 92, 88이면 다섯 개의 역수를 더한 값으로 5를 나누어 86.3118이 됩니다. 같은 자료의 산술평균은 86.6이고, 조화평균이 그보다 작은 것이 항상 성립합니다.

산술평균과 조화평균은 언제 각각 쓰나요?

값들이 더해지는 양이면 산술평균, 역수로 더해지는 양이면 조화평균입니다. 속도와 비율, 병렬 저항, 같은 금액으로 여러 번 사들인 평균 단가가 조화평균의 자리이고, 키나 점수처럼 그냥 더하는 양에는 산술평균을 씁니다. 어느 쪽을 썼는지에 따라 답이 달라집니다.

값이 많으면 계산 과정이 왜 달라 보이나요?

여섯 개를 넘으면 각 항을 펼쳐 쓰는 대신 합 기호로 줄여 보여 주기 때문입니다. 펼쳐 쓰면 한 줄이 화면을 넘어가 읽을 수 없게 되고, 읽을 수 없는 과정은 과정이 아니기 때문입니다. 답을 구하는 방식은 같고 줄이 쓰는 모양만 달라집니다.

0이나 음수가 있으면 어떻게 되나요?

계산할 수 없습니다. 조화평균은 각 값의 역수를 더해서 만들므로 0이 있으면 역수가 정의되지 않고, 음수가 섞이면 평균이 음수가 되어 비율의 평균이라는 뜻이 흐려집니다. 속도와 비율, 저항처럼 값이 모두 양수인 자료에서 이 계산기를 쓰십시오.

• 조화평균 — 역수의 산술평균의 역수로 정의되는 평균과 평균 속도에서 쓰이는 자리 — 대한수학회 (수학백과)
• Harmonic mean — 정의, 역수로 계산하는 방식과 다른 평균들과의 대소 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Harmonic mean — 속도와 비율의 평균, 산술평균이 답이 되지 않는 이유 — Wikipedia (United States)
• Average speed — 같은 거리를 다른 속도로 이동할 때의 평균 속도 계산 — Wikipedia (United States)