기하평균 계산기

기하평균 = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(mean(ln xᵢ)); 85, 90, 78, 92, 88 → 86.458 (산술평균 86.6); 1.1, 1.2, 0.9 → 1.0591 (산술평균 1.0667); 2, 8 → 4 (산술평균 5)

xᵢ

평균을 낼 값들이고 모두 0보다 커야 합니다. 기하평균은 값들을 곱해서 만들므로 0이 하나라도 있으면 곱이 0이 되고, 음수가 있으면 짝수 번째 제곱근이 정의되지 않습니다. 비율과 성장 배수는 언제나 양수이므로 이 조건은 그런 값에서는 자연스럽습니다

n

값의 개수입니다. 곱한 것에서 원래 크기로 되돌리려면 n제곱근을 취해야 하므로, 이 수가 결과의 크기를 정합니다. 값이 하나뿐이면 제곱근을 취할 것이 없고 평균은 그 값 자신이 됩니다

x₁ · x₂ · … · xₙ

기하평균의 정의에 나오는 곱입니다. 산술평균이 값들을 더하는 자리에 기하평균은 값들을 곱하고, 더한 것을 개수로 나누는 자리에 곱한 것의 n제곱근을 취합니다. 그래서 기하평균은 곱셈으로 쌓이는 양에 맞는 평균입니다

mean(ln xᵢ)

이 계산기가 실제로 쓰는 경로입니다. 각 값의 자연로그를 구해 그 산술평균을 낸 뒤 지수함수를 취하며, 정의와 수학적으로 같은 값입니다. 곱셈을 덧셈으로 바꿔 놓았기 때문에 값이 많고 커도 넘치지 않습니다. 100을 200개 곱하는 계산이 무한대가 되지 않는 이유가 여기 있습니다

86.458과 86.6

같은 자료의 기하평균과 산술평균입니다. 기하평균이 더 작고, 두 값이 같아지는 경우는 모든 값이 똑같을 때뿐입니다. 값들 사이에 차이가 생기는 만큼 두 평균 사이의 거리도 벌어지므로, 이 거리를 보면 자료가 얼마나 퍼져 있는지 가늠할 수 있습니다

1.0591

성장 배수의 기하평균입니다. 1.1배, 1.2배, 0.9배가 이어진 3년의 연평균 성장 배수가 1.0591이고, 곧 매년 5.91%씩 늘어난 것과 같습니다. 산술평균 1.0667을 쓰면 3년 뒤 값이 실제보다 커지므로, 비율에는 기하평균을 써야 합니다

기하평균은 곱해지는 양의 평균이 필요할 때 씁니다. 투자 수익률이 대표적입니다. 어떤 자산이 1년에 10% 오르고 다음 해에 20% 오르고 그다음 해에 10% 떨어졌다면, 이 3년의 성장을 한 숫자로 요약할 때 쓰는 것이 기하평균입니다. 산술평균을 쓰면 값은 더 크게 나오지만 그 수를 연평균으로 삼아 3년을 계산하면 실제 잔액과 맞지 않습니다. 비율은 곱해지기 때문이고, 곱해지는 것에는 곱하는 평균이 맞습니다. 물가 상승률과 인구 성장률도 같은 자리에 있습니다. 몇 년치 상승률을 요약하거나, 기준 시점과 비교 시점 사이의 평균 증가율을 구할 때 기하평균이 쓰입니다. 통계에서는 소득과 자산처럼 한쪽으로 치우친 분포의 대푯값으로 씁니다. 소수의 아주 큰 값이 산술평균을 끌어올리는데, 기하평균은 그 영향이 작아 분포의 가운데를 더 잘 가리킵니다. 규모가 몇 배씩 차이 나는 값을 비교할 때도 마찬가지입니다. 두 수 사이의 비례 중항을 구하는 고전적인 자리도 있습니다. 2와 8의 기하평균은 4이고, 이는 2 : 4 = 4 : 8이라는 비례를 만족하는 수입니다. 도형에서 닮음비와 넓이비 사이를 옮겨 다닐 때, 또는 어떤 양이 몇 단계에 걸쳐 몇 배가 되는지를 다룰 때 이 관계가 쓰입니다. 생물학에서는 개체군이 세대마다 몇 배로 늘어나는지, 음향과 광학에서는 데시벨과 같은 로그 눈금 위의 값들을 평균 낼 때 기하평균이 등장합니다. 다만 쓰지 말아야 할 자리도 분명합니다. 값들을 더해서 의미가 생기는 양에는 기하평균이 맞지 않습니다. 길이를 더하거나 시간을 더하는 자리에서는 산술평균을 써야 하고, 그런 값을 기하평균으로 요약하면 크게 작아진 값이 나옵니다. 어느 쪽을 쓸지는 값들이 곱해지는지 더해지는지로 정해집니다. 같은 자료에서 두 평균이 얼마나 벌어져 있는지를 보는 것도 판단에 도움이 되며, 그 비교를 위해 이 페이지가 두 값을 나란히 보여 줍니다.

1. 다섯 개의 점수

   1. 값 다섯 개의 자연로그를 각각 구하기
   2. 로그들을 더해 개수로 나누기: 로그의 산술평균
   3. 그 값에 지수함수를 취해 원래 크기로 되돌리기
   4. 기하평균 86.458, 같은 자료의 산술평균은 86.6이기

   기본값이고, 값들이 서로 가까워서 두 평균의 차이가 작은 경우입니다. 그래도 기하평균이 산술평균보다 작다는 방향은 그대로입니다. 이 방향은 값들이 조금이라도 다르면 항상 성립하고, 모든 값이 같을 때만 두 값이 같아집니다. 같은 자료를 조화평균 계산기에 넣으면 86.3118이 나오고, 86.3118 ≤ 86.458 ≤ 86.6이라는 순서가 세 평균 사이에 항상 그대로 성립합니다.

2. 3년간의 성장 배수: 1.1, 1.2, 0.9

   1. 세 해의 성장 배수가 곱해져 3년 뒤 값이 만들어지기
   2. 곱셈으로 쌓인 것이므로 곱하는 평균인 기하평균을 쓰기
   3. 기하평균 1.0591, 곧 매년 5.91%씩 늘어난 것과 같기
   4. 산술평균 1.0667은 6.67%이고, 이 값을 연평균으로 쓰면 3년 뒤 값이 실제보다 커지기

   기하평균이 왜 필요한지를 가장 잘 보여 주는 자리입니다. 세 배수를 단순히 더해 나눈 1.0667은 3년 전체를 1.0667의 세제곱으로 계산하면 실제보다 큰 값이 나오고, 기하평균 1.0591은 실제 3년 뒤 값과 정확히 맞아떨어집니다. 1년에 20% 오르고 다음 해에 10% 떨어지면 원래대로 돌아오지 않는 것도 같은 이유입니다. 등락률은 더해지는 것이 아니라 서로 곱해지기 때문입니다.

3. 두 수의 비례 중항: 2와 8

   1. 값이 두 개이므로 기하평균은 두 수의 곱의 제곱근이기
   2. 2 × 8 = 16이고 16의 제곱근은 4이기
   3. 기하평균 4, 산술평균 5이기
   4. 2 : 4 = 4 : 8이 성립하고, 4가 두 수 사이의 비례 중항이기

   값이 둘일 때만 기하평균을 곱의 제곱근으로 손으로 확인할 수 있습니다. 세 개 이상이면 세제곱근, 네제곱근으로 이어지므로 계산기를 쓰는 편이 낫습니다. 4가 2와 8 사이에서 등비수열의 가운데 항이 된다는 점도 눈여겨볼 만합니다. 어떤 양이 두 단계에 걸쳐 몇 배가 되는지를 다룰 때 중간 단계가 이 값입니다.

4. 모든 값이 같은 경우: 7, 7, 7

   1. 세 값이 모두 7이므로 로그의 평균도 7의 로그이기
   2. 지수함수를 취하면 7로 돌아오기
   3. 산술평균도 7이기
   4. 두 평균이 같아지는 유일한 경우이기

   두 평균이 같은 값이 되는 유일한 조건을 보여 줍니다. 값들이 조금이라도 다르면 기하평균이 산술평균보다 작아지고, 차이는 값들이 흩어진 만큼 커집니다. 그래서 두 값을 나란히 보면 자료가 얼마나 퍼져 있는지를 가늠할 수 있고, 반대로 두 값이 똑같이 나오면 값들이 모두 같았다는 것을 알 수 있습니다.

값은 모두 0보다 커야 합니다. 0이 섞이면 곱이 0이 되어 기하평균이 0이 되고, 음수가 섞이면 제곱근이 정의되지 않습니다. 비율과 성장 배수는 언제나 양수이므로 보통 문제가 되지 않지만, 차이값처럼 음수가 나오는 자료에는 이 계산기를 쓸 수 없습니다. 값이 아주 많고 클 때 기하평균은 정의대로 곱한 뒤 제곱근을 취하는 대신 로그의 평균으로 계산됩니다. 수학적으로 같은 값이지만, 계산 과정에서 나오는 중간값은 다릅니다. 이 페이지는 기하평균과 산술평균, 개수 세 줄만 보여 주고 곱이나 로그의 합 같은 중간값은 보여 주지 않습니다. 필요한 것은 최종 값이기 때문입니다. 값을 구분하는 기호는 세미콜론이고 쉼표가 아닙니다. 기록을 그대로 붙여 넣을 때 구분자를 확인하십시오. 결과는 소수 넷째 자리에서 반올림해 보여 주므로, 원래 값이 정수라도 답이 소수로 나올 수 있습니다. 마지막으로 이 페이지는 기하평균 하나만 계산합니다. 값들을 더해서 평균 내는 산술평균은 mean 계산기가 맡고, 역수를 더해서 평균 내는 조화평균은 조화평균 계산기가 맡습니다. 세 평균은 같은 자료에서 서로 다른 답을 내놓으며, 그중 어느 것을 쓸지는 값들이 곱해지는지 더해지는지 역수로 더해지는지로 정해집니다.

기하평균이란 무엇인가요?

값들을 모두 곱한 뒤 개수만큼 제곱근을 취한 값입니다. 다섯 개의 값이면 곱의 다섯제곱근이 됩니다. 값들을 더해서 평균 내는 산술평균과 달리 곱셈으로 쌓이는 양에 맞는 평균이고, 비율과 성장률을 요약할 때 씁니다.

기하평균은 왜 산술평균보다 작나요?

곱셈으로 만들어지는 평균이기 때문입니다. 값들 사이에 차이가 있으면 곱한 것의 제곱근은 더한 것의 평균보다 작아지고, 모든 값이 같을 때만 두 값이 같아집니다. 차이가 클수록 두 평균 사이의 거리도 벌어지므로, 두 값을 나란히 보면 자료가 얼마나 퍼져 있는지 가늠할 수 있습니다.

기하평균 구하기는 어떻게 하나요?

값을 모두 곱하고 개수만큼 제곱근을 취하면 됩니다. 값이 두 개면 곱의 제곱근이고, 다섯 개면 곱의 다섯제곱근입니다. 이 계산기는 값이 많고 클 때 곱이 넘치지 않도록 각 값의 로그를 평균 낸 뒤 지수함수를 취하는데, 결과는 정의대로 계산한 것과 같습니다.

성장률에는 왜 기하평균을 쓰나요?

비율이 곱해지기 때문입니다. 1.1배, 1.2배, 0.9배가 이어진 3년의 연평균 성장 배수는 1.0591이고, 곧 매년 5.91%씩 늘어난 것과 같습니다. 산술평균 1.0667을 연평균으로 삼으면 3년 뒤 값이 실제보다 커집니다. 비율에는 곱하는 평균을 써야 합니다.

0이나 음수가 있으면 어떻게 되나요?

계산할 수 없습니다. 0이 하나라도 있으면 곱이 0이 되고, 음수가 있으면 제곱근이 정의되지 않기 때문입니다. 값이 모두 양수인 비율과 성장 배수에서는 문제가 되지 않지만, 차이값처럼 음수가 나오는 자료에는 이 계산기를 쓸 수 없습니다.

2와 8의 기하평균이 4인 이유는 무엇인가요?

값이 두 개이므로 두 수의 곱의 제곱근이 되고, 2 × 8 = 16의 제곱근이 4이기 때문입니다. 4는 2 : 4 = 4 : 8이라는 비례를 만족하는 비례 중항이고, 2와 8 사이에서 등비수열의 가운데 항이 됩니다. 값이 셋 이상이면 세제곱근, 네제곱근으로 이어집니다.

• 기하평균 — 곱의 제곱근으로 정의되는 평균과 성장률·비율에서 쓰이는 자리 — 대한수학회 (수학백과)
• Geometric mean — 정의, 곱의 제곱근과 로그를 이용한 계산, 산술평균과의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric mean — 성장률과 비율의 평균, 산술평균보다 작아지는 이유 — Wikipedia (United States)
• AM–GM inequality — 산술평균과 기하평균의 대소 관계와 등호가 성립하는 조건 — Wikipedia (United States)