만유인력 계산기

만유인력 = G × m₁ × m₂ / r²

G

만유인력 상수 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²입니다. 물리학에서 가장 정밀하지 않게 측정된 상수입니다. 권장값의 상대 불확도가 2.2 × 10⁻⁵으로, 그다음으로 정밀하지 않은 상수보다 네 자릿수 이상 나쁩니다. 그래서 이 페이지의 어떤 답이든 마지막 자리는 의미가 없고, 어떤 값을 입력해도 그것은 달라지지 않습니다

m₁

첫 번째 물체의 킬로그램 단위 질량입니다. 입력란은 그램, 톤, 파운드도 받습니다. 무게가 아니라 질량이어야 합니다. 여기서 70 kg인 사람 둘은 그냥 물질의 양 둘입니다. 양수여야 합니다. 질량이 없는 것은 중력을 전혀 행사하지 않기 때문입니다

m₂

두 번째 물체의 질량으로, 같은 단위와 같은 규칙을 따릅니다. 두 질량은 곱해져서 들어가므로 서로 바꿔도 됩니다. 어느 쪽이 어느 쪽인지 페이지가 말해 줄 필요가 없는 이유가 그것입니다

r

두 질량 중심 사이의 거리를 미터로 잰 값이고, 표면 사이의 틈이 아닙니다. 지상 400 km 위의 위성은 지구 중심에서 6771 km 떨어져 있고, 식이 원하는 것은 두 번째 수입니다. 입력란은 킬로미터, 센티미터, 피트, 마일도 받고, 양수여야 합니다

F

두 물체가 서로에게 작용하는 만유인력으로, 뉴턴과 파운드힘으로 과학적 표기로 표시됩니다. 힘은 하나이고 둘이 아닙니다. 지구가 나를 687 N으로 당기고 내가 지구를 반대 방향으로 687 N으로 당깁니다. 두 번째 출력 행은 같은 수를 환산한 것이지 두 번째 결과가 아닙니다

두 질량과 그 사이 거리를 알고 당김이 궁금할 때 씁니다. 달을 궤도에 붙잡아 두는 힘, 위성과 그가 도는 행성 사이의 인력, 실험실의 두 추 사이에 작용하는 중력이 애초에 잴 만한지(잴 만하지 않습니다. 10⁻⁷ N쯤이고, 그래서 그 실험이 1798년까지 걸렸습니다), 또는 어떤 천체의 질량과 반지름을 같은 식에 넣으면 그 표면 중력이 얼마가 되는지가 모두 그렇습니다. 마지막 것이 바로 아래 표입니다. 여덟 천체의 표면 중력을 이렇게 계산해 두었고, 그 수가 각 천체에서 몸무게가 얼마가 되는지를 정합니다. 답을 믿기 전에 확인할 두 가지가 있습니다. 첫째, r은 중심에서 중심까지의 거리입니다. 고도를 반지름 자리에 넣으면 힘을 크게 부풀립니다. 400 km에서 약 290배가 됩니다. 반대로 고도를 무시하고 천체의 반지름만 쓰면 12퍼센트 남짓 크게 나오고, 그 차이는 고도가 높아질수록 커집니다. 둘째, 이 식은 두 물체를 점으로 다룹니다. 구체에 대해서는 정확하고 r에 비해 작은 물체에는 좋은 근사이지만, 거의 맞닿은 두 물체는 이 범위 밖입니다.

1. 70 kg인 사람 둘이 1미터 떨어져 있을 때

   1. 질량은 70 kg과 70 kg이고, 중심 사이 거리는 1 m입니다
   2. 질량의 곱: 70 × 70 = 4900 kg²
   3. 거리의 제곱: 1² = 1 m²
   4. 힘: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.2704 × 10⁻⁷ N
   5. 파운드힘으로는 3.2704 × 10⁻⁷ ÷ 4.4482 = 7.352 × 10⁻⁸ lbf입니다

   1마이크로뉴턴의 3분의 1이고, 이 답이 주제 전체를 실감 나게 만듭니다. 나란히 선 두 사람은 몇십 마이크로그램의 물질이 누르는 정도의 힘으로 서로를 당기고 있고, 일상의 어떤 것도 그것을 드러내지 않습니다. 계산이 지수 자리를 한 번도 벗어나지 않는다는 점도 보십시오. 4900은 네 자리밖에 안 되고, 답을 줄이는 것은 10⁻¹¹입니다. 중력이 약하다는 말은 이렇습니다. 상수가 다른 수에 비해 작다는 것이 아니라, 사람이 질량으로 만들어 낼 수 있는 어떤 것에 비해서도 작다는 것입니다.

2. 지구와 달

   1. 질량: 지구가 5.972 × 10²⁴ kg, 달이 7.342 × 10²² kg입니다
   2. 중심 사이 거리: 384400 km = 3.844 × 10⁸ m
   3. 질량의 곱: 5.972 × 10²⁴ × 7.342 × 10²² = 4.3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. 거리의 제곱: (3.844 × 10⁸)² = 1.4776 × 10¹⁷ m²
   5. 힘: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.3846 × 10⁴⁷ ÷ 1.4776 × 10¹⁷ = 1.980 × 10²⁰ N
   6. 파운드힘으로는 1.980 × 10²⁰ ÷ 4.4482 = 4.452 × 10¹⁹ lbf입니다

   1.98 × 10²⁰ N은 약 200 엑사뉴턴이고, 중력이 세다고 사람들이 생각하게 만드는 수치입니다. 384000 km 떨어진 천체가 한 달마다 코너를 돌게 하는 힘이기 때문입니다. 앞의 예제와 견주면 교훈이 전부 지수에 담겨 있습니다. 질량은 약 10⁴⁴배, 거리는 약 3.8 × 10⁸배(제곱하면 1.5 × 10¹⁷배), 힘은 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷배가 되었습니다. 두 계산 사이에 법칙이 달라진 것은 없습니다. 양쪽에 놓인 물질의 양만 달라졌습니다.

3. 지구와 그 위에 선 70 kg인 사람

   1. 식이 원하는 거리는 지구의 평균 반지름 6371 km = 6.371 × 10⁶ m이고, 발밑의 땅까지의 거리가 아닙니다
   2. 질량의 곱: 5.972 × 10²⁴ × 70 = 4.1804 × 10²⁶ kg²
   3. 거리의 제곱: (6.371 × 10⁶)² = 4.05896 × 10¹³ m²
   4. 힘: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.1804 × 10²⁶ ÷ 4.05896 × 10¹³ = 687.398 N
   5. 파운드힘으로는 687.398 ÷ 4.4482 = 154.533 lbf입니다

   욕실 체중계가 70 kg으로 표시하는 그 687 N이고, 체중계는 힘을 재서 9.8로 나눠 질량을 찍는다는 점을 분명히 해 둘 만합니다. 이 페이지에서 유일하게 평범한 표기로 떨어지는 행이기도 합니다. 답이 10⁻³과 10⁶ 사이에 있으므로 6.874 × 10²로 다시 쓰지 않고 687.398로 둡니다. 이 값이 일부러 조금 낮다는 점도 보십시오. 평균 반지름을 썼기 때문입니다. 적도에 있는 사람은 극에 있는 사람보다 중심에서 21 km 더 멀고, 이 수는 그 둘의 평균입니다.

가장 큰 한계는 모형이 아니라 상수에 있습니다. G는 유효숫자 네 자리 정도로 알려져 있습니다. CODATA 권장값은 6.67430이고 마지막 두 자리의 불확도가 15, 상대 불확도로 2.2 × 10⁻⁵이며, 물리학에서 가장 정밀하지 않게 측정된 상수입니다. 그다음으로 정밀하지 않은 상수보다 네 자릿수 이상 나쁩니다. 따라서 이 페이지의 모든 답에서 넷째 자리는 장식입니다. 1.980 × 10²⁰ N은 사실 1.98 × 10²⁰ N이고, 질량을 더 정밀하게 입력해도 나아지지 않습니다. 그 밖에도 이 식은 두 물체를 점으로 다루는데, 이는 구체에 대해서만 정확합니다. 다른 힘은 모두 무시하므로 두 천체가 실제로 궤도를 도는지 서로를 향해 떨어지는지는 말해 주지 않습니다. 일반상대성이론도 무시하는데, 수성의 근일점이나 블랙홀 근처에서는 이것이 중요합니다. 질량이 일정하다고 가정하므로 로켓이나 증발하는 혜성에는 맞지 않습니다. 작은 쪽에서는 모형이 의도한 범위를 벗어나 쓰이기도 합니다. 1밀리미터 떨어진 두 물체는 점으로 잘 기술되지 않고, 두 원자 사이의 인력은 이 식이 아니라 화학입니다. 거리 입력란이 1 mm에서 멈추는 이유가 그것입니다. 마지막으로 표의 표면 중력은 평균 반지름을 쓰고 천체가 자전하지 않는 완전한 구체라고 가정하므로, 지구 행이 정의된 표준 중력 9.80665 m/s²가 아니라 9.82 m/s²로 나옵니다.

만유인력 공식은 무엇인가요?

F = G × m₁ × m₂ / r²이고, G는 만유인력 상수 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², 두 m은 킬로그램 단위의 질량, r은 중심 사이 거리를 미터로 잰 값입니다. 1미터 떨어진 70 kg인 사람 둘이라면 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.270 × 10⁻⁷ N입니다. 분모의 r²이 이 식을 역제곱 법칙으로 만듭니다. 두 물체를 두 배 멀리 놓으면 힘은 절반이 아니라 4분의 1로 줄어듭니다.

두 사람 사이의 만유인력은 왜 그렇게 작나요?

G 자체가 작기 때문입니다. 6.6743 × 10⁻¹¹은 1보다 열한 자릿수 아래입니다. 반대 방향으로 작용하는 것은 질량뿐인데 70 kg씩은 많은 질량이 아닙니다. 같은 식에 한쪽을 행성으로 놓으면 지수가 뒤집힙니다. 지구와 달은 1.98 × 10²⁰ N으로 서로를 당깁니다. 두 경우 사이에 법칙이 다른 것은 없습니다. 중력은 약하고, 그렇지 않아 보이게 만들려면 행성 하나만 한 물질이 필요합니다. 태양계를 붙잡아 두는 힘이 두 사람을 서로 끌어당기지 못하는 바로 그 힘인 이유가 여기 있습니다.

r은 표면 사이 거리인가요, 중심 사이 거리인가요?

언제나 중심 사이입니다. 지구 위에 서 있는 사람에게 r은 지구의 반지름 6371 km이고 0이 아닙니다. 400 km 위의 위성이라면 r은 6771 km이고 400 km가 아닙니다. 고도는 표면에서 잰 거리이므로 반지름을 더해야 합니다. 답을 틀리는 가장 흔한 방식이고, 오차의 크기도 볼 만합니다. 반지름 자리에 400 km를 넣으면 힘이 약 290배 커지고, 고도를 아예 빼고 6371 km만 쓰면 그래도 약 12퍼센트 큽니다.

표면 중력은 무엇이고 여기서는 어떻게 구하나요?

표면 중력은 천체가 그 위에 선 물체에 주는 가속도 g = GM/R²이고, 같은 만유인력 식에서 두 번째 질량을 1로, r을 천체 자신의 반지름으로 둔 것입니다. 이 페이지의 표가 여덟 천체에 대해 정확히 그렇게 합니다. 달이 1.62 m/s², 지구가 9.82 m/s², 태양이 274 m/s²로 나옵니다. 그 수가 각 천체에서 몸무게가 얼마가 되는지를 정합니다. 70 kg인 사람은 지구에서 687 N, 달에서 113 N, 태양에서는 약 19 kN이 필요하고, 태양에 착륙하는 문제가 온도 이야기가 나오기도 전에 답이 나오는 이유가 여기 있습니다.

이 계산은 얼마나 정확한가요?

유효숫자 네 자리 정도이고, 한계는 산술이 아니라 상수입니다. G는 물리학에서 가장 정밀하지 않게 알려진 상수입니다. 권장값이 6.67430이고 마지막 두 자리의 불확도가 15, 상대 불확도로 2.2 × 10⁻⁵이며, 그다음으로 정밀하지 않은 상수보다 네 자릿수 이상 나쁩니다. 그러니 1.980 × 10²⁰ N은 1.98 × 10²⁰ N으로 읽어야 하고, 질량을 열 자리까지 넣어도 다섯 번째 유효숫자가 생기지는 않습니다. 입력하는 질량과 거리 쪽이 대개 더 느슨합니다. 지구의 질량은 10⁵분의 1 정도로 알려져 있고, 여기 쓰인 값은 위도에 따른 반지름이 아니라 평균 반지름입니다.

무거운 쪽이 더 세게 당기나요, 아니면 똑같이 당기나요?

똑같이 당깁니다. 두 질량이 곱해져서 들어가므로, 내가 지구를 당기는 힘과 지구가 나를 당기는 힘은 방향만 반대인 같은 687 N입니다. 지구가 더 세게 당긴다는 뜻은 아닙니다. 다른 것은 그 힘이 하는 일입니다. 687 N은 나를 9.82 m/s²로 가속하고 지구를 1.15 × 10⁻²² m/s²로 가속합니다. 내가 떨어지고 행성이 눈에 띄게 움직이지 않는 이유가 여기 있습니다. 이 페이지에 거리 하나와 답 하나만 있으면 되는 이유도 같습니다.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — 역제곱 법칙, G의 값, 그것을 처음 측정한 캐번디시 실험 — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — 중심 사이 거리, 구형 천체에 대한 구각 정리, 점질량 이상화가 성립하는 범위 — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — 권장값 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²와 상대 표준 불확도 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology