구심력 계산기

구심력 = 질량 × 속도² ÷ 반지름 구심 가속도 = 속도² ÷ 반지름 중력 배수 = 가속도 ÷ 9.80665

m

킬로그램 단위의 질량 — 입력란은 그램, 톤, 파운드도 받습니다. 힘의 크기는 정하지만 가속도는 정하지 않습니다. 무거운 차는 같은 코너를 돌기 위해 더 많은 접지력이 필요할 뿐, 도는 방식은 똑같기 때문입니다

v

초당 미터 단위의 속도이며 제곱이 붙는 항입니다 — 입력란은 km/h, mph, ft/s도 받습니다. 속도를 10퍼센트 올리면 필요한 힘은 21퍼센트 늘어납니다. 코너에서 속도가 다른 무엇보다 위험한 이유가 여기 있습니다

r

미터 단위의 회전 반지름으로, 도로 폭이 아니라 원의 중심에서 물체까지의 거리입니다. 분모에 있으므로 곡선이 완만해지면 필요한 힘은 반비례로 줄어듭니다

a

m/s² 단위의 구심 가속도 v²/r입니다. 속력이 일정해도 매 순간 속도의 방향이 바뀌므로 이 가속도는 계속 중심을 향합니다

g

같은 가속도를 표준 중력 9.80665 m/s²로 나눈 값입니다. 도로에서는 타이어가 내야 하는 마찰계수와 같은 수이고, 궤도에서는 이 수를 만들어 내는 것이 중력입니다

무언가를 곡선으로 돌려야 하고 그 대가가 얼마인지 알아야 할 때 씁니다. 코너를 도는 자동차나 자전거, 곡선 구간을 달리는 열차, 끈에 매달아 돌리는 공, 궤도를 도는 위성이나 우주정거장, 롤러코스터 루프 위의 사람, 원심분리기 시료, 자기장에 휘는 하전 입자가 모두 그렇습니다. 질문은 늘 같습니다 — 안쪽으로 얼마의 힘이 필요한가, 그리고 그것을 대 줄 공급자가 있는가. 습관 두 가지가 도움이 됩니다. 첫째, 뉴턴보다 g 값을 먼저 읽으십시오. 상황을 가리지 않고 통하는 수치이기 때문입니다. 도로의 0.637 g는 타이어가 감당할 수 있는 마찰계수이고, 루프의 4 g는 안전벨트와 튼튼한 목이 필요하다는 뜻이며, 궤도의 0.884 g는 원래 있던 중력일 뿐입니다. 둘째, 답을 믿기 전에 공급자를 확인하십시오. 젖은 노면에서 마찰계수 1.2가 필요한 코너라고 페이지가 말한다면, 정직한 해석은 힘이 크다는 것이 아니라 그 속도로는 그 코너를 돌 수 없다는 쪽입니다. 젖은 타이어가 1.2를 내줄 일은 없기 때문입니다.

1. 1500 kg 차가 반지름 100 m 곡선을 시속 90 km로

   1. 시속 90 km = 25 m/s, 반지름 100 m (입력란은 SI 단위를 받아 알아서 환산합니다)
   2. 가속도: 25² ÷ 100 = 625 ÷ 100 = 6.25 m/s²
   3. 힘: 1500 × 6.25 = 9375 N이며 이는 2107.6 lbf입니다
   4. 중력 배수: 6.25 ÷ 9.80665 = 0.637 g

   가져가야 할 값은 g입니다. 도로에서는 타이어가 내야 하는 마찰계수와 같고, 0.637은 마른 아스팔트에서 좋은 타이어가 내는 0.7~0.9 안쪽이므로 이 코너는 여유를 조금 남기고 무난합니다. 젖은 노면에서 같은 타이어가 내는 값은 0.4~0.5쯤이고, 그러면 이 수치가 그 위로 올라갑니다. 이때 정직한 답은 필요한 힘이 얼마인가에서 이 코너를 몇 km/h로 돌 수 있는가로 바뀌는데, 시속 72 km 정도입니다. 힘 자체는 다른 이야기입니다. 9375 N은 소형차 한 대의 무게에 맞먹는 힘이 코너를 도는 2~3초 동안 옆으로 타이어를 누르는 셈입니다.

2. 같은 차가 절반 크기인 반지름 50 m에서

   1. 반지름만 바뀝니다: 50 m로 앞 예제의 절반입니다
   2. 가속도: 625 ÷ 50 = 12.5 m/s²
   3. 힘: 1500 × 12.5 = 18750 N이며 4215.2 lbf입니다
   4. 중력 배수: 12.5 ÷ 9.80665 = 1.275 g

   반지름을 절반으로 줄이면 요구치는 두 배가 되고, 1.275 g는 어떤 도로용 타이어도 낼 수 없는 값입니다. 예제의 요점이 그것입니다. 코너가 좁아질수록 필요한 힘이 서서히 모자라지는 것이 아니라, 특정 반지름에서 가용 마찰력을 넘어서고 그 아래로는 차가 아예 돌지 않습니다. 고속도로 진출로와 회전교차로에서 같은 속도가 전혀 다르게 느껴지는 이유도 같습니다. 차는 달라진 것이 없고 반지름이 100 m에서 50 m로 줄었을 뿐입니다. g 값에서는 질량이 약분되므로 가벼운 차가 여기서 더 안전하지는 않습니다. 필요한 힘은 그만큼 줄지만 접지력도 그만큼 줄어들기 때문입니다.

3. 국제우주정거장: 420 t이 시속 27,600 km로

   1. 7660 m/s는 시속 27,600 km이고, 궤도 반지름 6771 km는 지표에서 약 400 km 위를 지구 중심에서 잰 값입니다
   2. 가속도: 7660² ÷ 6771000 = 58675600 ÷ 6771000 = 8.666 m/s²
   3. 힘: 420000 × 8.666 = 3639603 N이며 818215.3 lbf입니다
   4. 중력 배수: 8.666 ÷ 9.80665 = 0.884 g

   정거장은 420톤이고 여기에 작용하는 안쪽 힘은 3.6 메가뉴턴입니다. 그런데 끈도 타이어도 관여하지 않는다는 뜻에서 이것을 잡아당기는 것은 아무것도 없습니다. 중력이 공급자 전부이고, 0.884 g는 그 고도에서의 중력 세기와 정확히 같습니다. 궤도의 일반적인 모습이 이렇습니다. 필요한 구심력이 늘 가용한 중력과 같아지므로 물체는 지구로 떨어지지도, 멀어지지도 않고 맴돌게 됩니다. 승무원이 떠 있는 것도 같은 이유입니다. 그들도 정거장도 0.884 g로 함께 떨어지고 있으므로 바닥을 누르는 것이 없습니다. 가속도가 작지 않다는 점도 눈여겨보십시오. 정거장은 한계까지 코너를 도는 자동차보다 더 세게 지구 쪽으로 가속하고 있습니다.

이 식은 등속 원운동을 기술하며, 가속도가 중심만을 향한다는 것은 속력이 일정하기 때문입니다. 코너를 돌면서 제동하거나 가속하는 차에는 접선 가속도가 더해지고, 실제 가속도는 둘의 벡터합이라 이 페이지가 보여 주는 값보다 큽니다. 회전이 원이라고 가정한다는 점도 한계입니다. 실제 도로 곡선은 완화곡선이나 나선이어서 반지름이 구간마다 변하고, 최대 요구치는 구간 전체가 아니라 한 지점에서 나타납니다. 힘이 어디서 오는지는 다루지 않는데, 실무에서 가장 자주 틀리는 가정이 이것입니다. 타이어는 마찰이 허락하는 만큼만 낼 수 있고, 끈에는 절단 하중이 있으며, 경사진 곡선은 힘의 일부를 마찰이 아니라 수직항력으로 공급하는데 이 페이지는 그것을 모형에 넣지 않았습니다. 물체를 질점으로 다루므로 실제 차가 기울고, 타이어마다 하중이 고르지 않게 실리며, 무게중심이 노면 위에 있다는 사실은 반영되지 않습니다. 차체가 높은 차량은 미끄러지기 전에 전복될 수 있습니다. 물체가 반지름을 일정하게 유지한다고 가정하므로, 나선을 그리며 떨어지는 위성이나 언더스티어로 바깥으로 밀리는 차, 몸을 기울이는 승객은 모두 이 범위 밖입니다. 상대론적 효과도 없습니다. 궤도 속도에서는 보정이 소수점 여덟째 자리에나 나타나지만, 입력란은 그렇지 않은 속도도 받아들이며, 자기장 속 하전 입자는 별개의 식을 가진 다른 문제입니다.

구심력 공식은 무엇인가요?

F = mv²/r이고 가속도만 보면 a = v²/r입니다. 1500 kg 차가 25 m/s로 반지름 100 m를 돌면 1500 × 625 ÷ 100 = 9375 N이 필요하고, 이는 가속도 6.25 m/s², 중력 대비 0.637 g입니다. 반지름이 어디에 있는지 보십시오. 분모입니다. 코너를 100 m에서 50 m로 좁히면 힘은 두 배가 되고, 진출로와 회전교차로에서 같은 속도가 전혀 다르게 느껴지는 이유가 여기 있습니다.

구심력과 원심력은 어떻게 다른가요?

구심력은 지면에 선 기준계에서 실재하는 안쪽 힘이고 언제나 공급자가 있습니다. 타이어의 마찰, 줄의 장력, 위성에 작용하는 중력이 그렇습니다. 원심력은 회전하는 기준계에서 분석할 때 나타나는 바깥쪽 겉보기 힘이며, 실제로 바깥으로 미는 것은 없습니다. 크기는 같아서 두 페이지가 같은 수를 내놓습니다. 차이는 어느 쪽을 묻고 있느냐입니다. 차라면 타이어가 그 힘을 낼 수 있는지가 궁금할 것이고, 짐을 붙잡고 있는 기계라면 베어링이 견뎌야 할 하중이 궁금할 것입니다.

자동차가 코너를 돌 때 구심력은 무엇이 제공하나요?

타이어와 노면 사이의 마찰이고, 경사진 곡선에서는 일부를 수직항력이 나눠 맡습니다. 그래서 이 페이지의 g 값이 도로에서 두 가지 역할을 합니다. 질량이 들어가지 않은 채 타이어가 내야 하는 마찰계수와 수치가 같기 때문입니다. 마른 아스팔트에서 좋은 타이어는 0.7~0.9, 젖은 노면에서는 0.4~0.5, 빙판에서는 0.1 아래입니다. 노면이 낼 수 있는 값보다 큰 수치가 나온다면 정직한 답은 더 큰 힘이 아니라 더 낮은 속도입니다.

곡선이 완만하면 왜 힘이 덜 드나요?

반지름이 분모에 있기 때문입니다. 같은 속도에서 반지름을 100 m에서 200 m로 늘리면 필요한 힘은 절반이 되고, 100 m에서 50 m로 줄이면 두 배가 됩니다. 고속도로 분기점이 길게 휘어지는 곡선으로 지어지는 이유가 이 반비례 관계이고, 트인 커브와 같은 속도로 도는 회전교차로가 격렬하게 느껴지는 이유도 같습니다. 요구치를 줄이는 가장 값싼 방법이기도 합니다. 속도를 줄이는 쪽은 제곱을 이겨내야 하지만 반지름을 넓히는 쪽은 정비례로 듣습니다.

무거운 차는 코너에서 접지력이 더 필요한가요?

질량에 비례해 더 많은 힘이 필요하지만 낼 수 있는 힘도 그만큼 늘어납니다. 타이어가 낼 수 있는 마찰력이 걸린 하중에 비례하기 때문입니다. 그래서 일차 근사로는 코너 탈출 속도가 같습니다. 이 페이지의 g 값에 질량이 아예 들어가지 않는 이유가 그것입니다. 차가 1500 kg이든 3000 kg이든 타이어에 걸리는 요구치는 0.637 g로 같습니다. 질량은 나머지 전부에 영향을 줍니다. 뉴턴 단위의 힘, 타이어에 쌓이는 열, 서스펜션에 걸리는 하중이 그렇습니다. 타이어가 한계에 가까워지면 이 깔끔한 약분이 깨지고, 실제로 대형 차량이 코너에서 더 느린 이유가 여기 있습니다.

아무것도 잡아당기지 않는데 우주정거장에 구심력이 필요한 이유는 무엇인가요?

잡아당기는 것이 있습니다. 중력입니다. 지상 400 km에서도 지구 중력은 약 0.884 g이고, 420톤의 정거장이 7660 m/s로 궤도를 따르려면 3.6 메가뉴턴의 안쪽 힘이 필요합니다. 중력이 정확히 그만큼을 공급합니다. 궤도에 있다는 말이 그것입니다. 정거장은 지구를 향해 끊임없이 떨어지면서, 지면이 같은 비율로 멀어질 만큼 옆으로 빠르게 움직이고 있습니다. 떠받치는 것은 없고, 승무원이 떠 있는 이유도 같습니다. 사람과 정거장이 함께 떨어지고 있습니다.

• Centripetal Acceleration (College Physics 2e, §6.2) — a = v²/r, 등속일 때 가속도가 안쪽을 향하는 이유, 자동차와 궤도 예제 — OpenStax
• Centripetal force — 반드시 공급자가 있는 힘, 경사 곡선과 궤도 위성의 경우, 코너가 요구하는 마찰계수 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — 표준 중력 9.80665 m/s²과 위 예제에 쓰인 마일·피트·파운드 환산 계수 — National Institute of Standards and Technology