타원 계산기

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a

장축의 절반인 반장축입니다. 이 페이지는 장축 전체를 받아 반으로 나누는데 줄자가 주는 값이 그것이기 때문이고, 공식을 반축으로 적는 것은 늘 그렇게 적기 때문입니다

b

단축의 절반입니다. b가 a와 같으면 타원이 원이고, 넓이 식은 반지름 자리에 어느 반축을 넣어도 되는 익숙한 πr²로 접힙니다

πab

넓이입니다. 아래의 둘레와 달리 정확합니다. 두 반축을 곱하고 π를 곱하면 원하는 만큼 자리를 늘려 구할 수 있습니다

h

두 반축이 얼마나 다른지를 나타내는 값이고 두 축의 차이를 합으로 나눈 것의 제곱입니다. 원이면 0이고 타원이 선으로 납작해질수록 1에 다가가며, 둘레 근사가 이 값 위에 세워져 있습니다

P

타원의 둘레이고 단위는 센티미터입니다. 초등함수로 닫힌 공식이 없어서 라마누잔의 제2 근사를 씁니다. 두 축이 같을 때 정확하고 단축이 0에 가까워질수록 조금 작게 나옵니다

e = √(1 − b² ÷ a²)

이심률이고 0에서 1 사이의 단위 없는 순수한 수입니다. 원이면 0이고 납작해질수록 1로 올라가며, 크기가 아니라 모양만 중요할 때 천문학자와 안경사가 인용하는 값입니다

소수점 네 자리

값을 인쇄하는 폭입니다. 넓이는 속이 정확하고, 둘레는 근사이며, 이심률은 비이므로 거의 원에 가까운 타원에서는 앞자리가 정보의 대부분을 나릅니다

재야 할 달걀 모양이면 모두 가장 단순한 경우입니다. 원인 줄 알았는데 원이 아닌 둥근 탁자, 타원형 거울이나 러그나 세면기, 두 직선과 두 굽은 구간으로 설명되는 경주로나 육상 트랙, 타원형 회의 테이블, 양 끝이 둥근 수영장, 타원으로 오려 낸 액자와 매트가 그렇습니다. 이때 넓이는 재료의 양이나 도포 면적을 구할 때 필요하고, 테두리 길이는 액자나 몰딩, 띠, 가장자리 마감을 살 때 필요합니다. 조경과 건설에서는 타원형 화단, 굽은 포장, 타원형 파티오, 그리고 두 못 사이에 실을 걸어 그리는 모든 모양에 씁니다. 그 실로 그리는 방법이 땅 위에 타원을 표시하는 표준적인 방법입니다. 제조에서는 타원형 손잡이 구멍, 타원관, 눌린 파이프, 타원으로 뽑거나 찍어 낸 단면에 쓰이고, 이심률이 중요한 까닭은 넓이가 같은 두 타원도 모양이 눈에 띄게 다를 수 있고 그중 하나만 맞는 부속에 들어가기 때문입니다. 천문학에서는 이심률이 가장 중요한 수입니다. 행성 궤도는 태양을 한 초점에 둔 타원이고, 이심률은 각 궤도가 얼마나 원에 가까운지를 말합니다. 지구가 0.0167이고 혜성은 훨씬 높습니다. 광학에서는 망원경에서 빛의 경로를 꺾는 타원형 평면 거울에 쓰이는데, 거울의 두 축은 기울인 각도가 정합니다. 의학에서는 혈관과 심실의 단면, 방사선 치료에 쓰는 타원형 조사야에 쓰입니다. 통계에서는 신뢰 타원의 모양이고, 두 축은 두 표준편차에서 나오며 넓이가 포함 범위를 줍니다. 교실에서는 원이 더 일반적인 것의 특별한 경우임을 보여 주는 시연입니다. 두 압정에 실 고리를 걸고 연필로 그리면 압정을 벌리는 만큼 모양이 달라지는데 실의 길이, 곧 둘레는 그대로입니다. 그 자체로 눈여겨볼 만한 사실입니다. 일상의 셈에서는 타원형 러그가 바닥을 덮는지, 타원형 식탁보에 천이 얼마나 드는지, 타원형 화단에 가장자리 마감이 몇 미터 필요한지에 답합니다.

1. 한쪽으로 10, 다른 쪽으로 6인 타원

   1. 둘 다 반으로: 반장축은 5, 반단축은 3
   2. 넓이: π × 5 × 3 = 47.1239제곱센티미터
   3. 이심률: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0.64 = 0.8
   4. 둘레: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0.0625이고 π × 8 × 1.0157… = 25.527센티미터

   페이지가 처음 열릴 때의 짝이고, 이심률이 정확히 0.8로 나오기 때문에 골랐습니다. 손으로 확인할 수 있는 수이고 그 값이 무엇을 뜻하는지 깔끔하게 보여 줍니다. 풀이가 반으로 나누는 것에서 시작하는데, 그 단계를 두 입력 칸이 숨기고 있습니다. 10과 6을 곱한 뒤 π를 곱하면 넓이가 네 배가 되고, 그것이 이 페이지에서 가장 흔한 실수입니다.

2. 같은 타원을 두 배로: 20과 12

   1. 둘 다 반으로: 10과 6
   2. 넓이: π × 10 × 6 = 188.4956으로 앞의 예시의 네 배
   3. 이심률: √(1 − 36 ÷ 100) = 0.8로 그대로
   4. 둘레: 51.054로 앞의 예시의 두 배

   모든 축을 두 배로 했는데 세 값이 서로 다른 방식으로 반응합니다. 넓이는 네 배가 되고 테두리는 두 배만 되며 이심률은 전혀 움직이지 않습니다. 모양에 대해서는 달라진 것이 없고, 이심률이 하는 말이 정확히 그것입니다. 크기가 아니라 비율을 나타내므로 궤도를 비교할 때 쓰는 값이 이심률입니다.

3. 원으로 변장한 타원: 10과 10

   1. 둘 다 반으로: 두 반축이 5와 5
   2. 넓이: π × 5 × 5 = 78.5398제곱센티미터
   3. 이심률: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
   4. 둘레: 근사가 π × 10 × 1 = 31.4159센티미터가 됩니다

   두 축이 같은 타원은 원이고, 이 줄은 다른 두 페이지와 대조해 볼 수 있습니다. 10과 10인 타원은 반지름 5인 원이므로 78.5398은 원의 넓이 페이지가 그 반지름에 대해 인쇄하는 넓이이고, 31.4159는 원둘레 페이지와 양방향 환산 페이지가 함께 인쇄하는 값입니다. 둘레 근사도 여기서는 가까운 것이 아니라 정확한데, 이 근사를 고른 두 이유 가운데 하나입니다.

4. 아주 납작한 타원: 10과 2

   1. 둘 다 반으로: 5와 1
   2. 넓이: π × 5 × 1 = 15.708제곱센티미터
   3. 이심률: √(1 − 1 ÷ 25) = 0.9798
   4. 둘레: 21.01센티미터로, 장축을 따라 갔다가 되돌아오는 20보다 20분의 1쯤 큽니다

   이심률 0.9798은 한계에 가깝고, 이심률이 무엇의 백분율이 아니라는 점을 보여 주는 줄입니다. 가장 긴 쪽이 10인 모양의 테두리가 21.01이라는 것은, 아주 납작한 타원이 자신이 접히고 있는 선분에 비해 얼마나 적은 거리를 더하는지를 보여 줍니다. 절반이 아니라 5퍼센트입니다.

5. 완전히 납작해진 경우: 10과 0

   1. 둘 다 반으로: 5와 0
   2. 넓이: π × 5 × 0 = 0이고 모양이 선분으로 접혀 아무것도 덮지 않습니다
   3. 이심률: √(1 − 0 ÷ 25) = 1로 한계
   4. 둘레: 19.992센티미터이고, 근사의 유일한 결함이 여기서 드러납니다

   페이지가 솔직해지는 극단입니다. 단축이 0이면 타원이 길이 10인 선분이 되므로 참인 테두리는 20이고, 반장축을 두 배로 한 값입니다. 근사는 19.992를 인쇄하는데 0.008이 모자랍니다. 타원 적분 대신 근사를 쓴 대가의 전부이고, 이 근사가 페이지 어디에서든 내는 가장 큰 오차입니다.

이 페이지는 두 축에서 타원을 계산할 뿐입니다. 넓이나 둘레를 받아 축을 되돌려 주지 않고, 초점이나 초점 거리를 주지 않으며, 한 점에서의 접선이나 법선을 주지 않고, 무엇도 그리지 않습니다. 두 축 모두 필요하고 짧은 쪽을 단축 칸에 넣어야 합니다. 더 긴 값을 그 칸에 넣으면 페이지는 조용히 바꿔 넣는 대신 둘 가운데 긴 쪽이 장축 칸에 들어가야 한다고 알립니다. 두 값이 같아도 되고 그것이 원이며, 둘 다 0이어도 되고 그것은 한 점입니다. 음수는 안 됩니다. 둘레는 정확한 값이 아니라 근사입니다. 라마누잔의 제2 근사이고 두 축이 같을 때 정확하며 단축이 0에 가까워질수록 조금 작아져서, 장축 10에 단축 0이면 참값 20에 대해 19.992가 나옵니다. 실제로 잴 수 있는 타원이라면 오차가 네 번째 소수 자리에 닿지 않고, 정확한 둘레가 타원 적분이라서 이 페이지에서 더 정확한 값을 얻을 방법은 없습니다. 이심률에는 단위가 없습니다. 두 길이의 비라서 무엇으로 재든 같은 수가 나오고, 옆에 단위를 인쇄하는 것은 틀린 것입니다. 두 축은 센티미터와 미터, 밀리미터, 인치, 피트를 모두 받고 센티미터로 나오는 두 출력은 무엇을 넣었든 그대로 나옵니다. 환산이 들어오는 쪽에서 일어나기 때문이고, 인치로 잰 넓이는 길이 환산 계수의 제곱으로 환산되므로 2.54가 아니라 6.4516입니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭이고, 거의 원에 가까운 타원에서는 이심률이 작아 앞자리가 정보의 거의 전부를 나른다는 점을 기억해 둘 만합니다. 회전한 타원은 다루지 않고, 진짜 타원이 아닌 달걀 모양도 다루지 않습니다. 달걀 모양과 트랙 모양은 둘 다 타원처럼 보이지만 둘 다 타원이 아닙니다.

두 입력 칸은 축 전체인가요, 반축인가요?

축 전체입니다. 타원의 한 끝에서 다른 끝까지 줄자가 주는 값 그대로입니다. 공식은 각각의 절반을 쓰므로 페이지가 대신 반으로 나누고, 반축을 칸에 넣으라고 하면 직접 잰 값을 2로 나눠 적으라는 말이 됩니다. 이 나눗셈이 셈에서 숨은 유일한 단계이고, 그래서 모든 풀이 예시가 그것을 먼저 밝히고 시작합니다.

둘레는 왜 정확하지 않나요?

타원을 한 바퀴 도는 길이는 보통 연산으로 적을 수 있는 공식이 없기 때문입니다. 타원 적분이고 그것을 피할 방법이 없습니다. 페이지가 쓰는 것은 라마누잔의 제2 근사로, 두 축이 같을 때 정확하고 납작해질수록 조금 작아지며, 극단에서 장축 10에 단축 0이면 참값 20에 대해 19.992가 나옵니다. 자로 잴 수 있는 타원이라면 차이가 인쇄된 네 번째 소수 자리에 닿지 않습니다.

이심률이 실제로 알려 주는 것은 무엇인가요?

타원이 원에서 얼마나 멀어졌는지를 0과 1 사이의 수 하나로 나타냅니다. 0이면 완전한 원이고 납작해질수록 올라갑니다. 두 길이의 비라서 단위가 없고 센티미터로 재든 마일로 재든 같은 수가 나오며, 그래서 크기가 제각각이고 모양은 그렇지 않은 행성 궤도의 모양을 비교할 때 쓰는 값입니다.

축을 두 배로 했는데 넓이는 바뀌고 이심률은 왜 그대로인가요?

이심률은 모양을, 넓이는 크기를 나타내고 두 축을 두 배로 하는 일은 그중 하나만 바꾸기 때문입니다. 둘 다 두 배로 하면 넓이는 네 배가 되고 테두리는 두 배만 되며 이심률은 있던 자리에 정확히 머뭅니다. 늘려 놓은 타원은 같은 모양이고, 모양이 무엇인지 말하는 수가 움직일 이유가 없습니다.

더 긴 값을 짧은 쪽 칸에 넣었는데 왜 바꿔 주지 않고 오류가 나나요?

바꿔 넣으면 화면에 뜬 값이 그 값이 나온 칸 위의 라벨과 어긋나고, 그런 일이 일어났다는 것을 알 방법이 없어지기 때문입니다. 페이지는 더 긴 값이 어느 칸에 들어가야 하는지 알려 주고 판단은 여러분에게 남깁니다. 한 번 고치면 되는 일이고, 여러분의 측정값이 페이지의 것으로 바뀌지 않습니다.

원의 넓이 페이지와 같은 것인가요?

두 축이 같은 타원이라면 정확히 일치하고, 표의 첫째 줄이 그 경우입니다. 10과 10인 타원은 반지름 5인 원이고 두 페이지가 넓이로 78.5398을, 테두리 길이로 31.4159를 함께 인쇄합니다. 그 밖의 타원에는 원 페이지가 아예 해당하지 않습니다. 원은 측정값이 하나뿐이고 타원은 둘이기 때문입니다.

• Ellipse — 곡선과 반장축·반단축, 넓이 πab, 그리고 완전 타원 적분으로서의 둘레와 라마누잔의 근사 — Wolfram MathWorld (United States)
• Eccentricity — 그 수가 무엇을 뜻하고 원의 0에서 완전히 납작해진 타원의 1까지 어떻게 움직이는지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 두 축이 같을 때 타원이 줄어드는 경우이고, 이 사이트의 다른 두 페이지와 표의 첫째 줄이 일치하는 까닭 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원과 타원의 인식은 의무교육 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部