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CalcMax

ベクトルの大きさ計算

計算結果

5.0000

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさ計算ツールは、成分からベクトルの長さを求めるものです。3 4のように2つ、あるいは2 3 6のように3つの数を空白かカンマで区切って入力すると、各成分を2乗して足し合わせ、その平方和の平方根を取ります。この1つの数がベクトルの大きさであり、同時に、その成分が指す点までの原点からの距離でもあります。原点から引いた矢印の長さは、まさにその距離だからです。2次元ベクトルと3次元ベクトルのどちらも受け付け、数の個数がどちらを意味するかを決めます。1つの数であることは、この答えの使い道であり限界でもあります。向きが問題にならないときの大きさ比べにはこれで足り、逆にどちらを向いているかを知りたいときは、この1つの数がまさに捨てている情報がそれです。下の表では、まったく違う3つのベクトルが同じ長さ5を共有しています。ここでは何も割り算をしないので、ゼロベクトルはふつうの入力であり、その長さ0もふつうの答えです。

よく出てくるベクトルと、その大きさ

ベクトルベクトルの大きさ
3 45
5 1213
1 11.4142
-3 45
2 3 67
1 1 11.7321
0 55
0 00

8本のベクトルとその長さです。まず読むべきは2列目で、8行のうち3行が同じ値を印字しています。3 4、−3 4、0 5は3本とも別のベクトルで、右上向き、左上向き、真上向きですが、どれも長さは5です。この繰り返しがこの表の趣旨です。大きさは1つの数であり、1つの数はベクトルがどちらを向いているかを語れないので、大きさだけを報告するページはその情報を設計として捨てています。1行目と2行目は整数で出る場合で、3-4-5と5-12-13、平方和がたまたま平方数になり何も丸められません。3行目と6行目は成分が等しい場合で、平面と空間のそれぞれで、どちらも終わりのない平方根になります。5行目は3次元で整数になる場合で、2-3-6はちょうど7になります。7行目は軸に沿っているので、長さは0でないほうの成分そのものです。8行目はゼロベクトルで0を印字します。ここでは長さが割る数ではないので、このページはそれを断らずに答えます。1列目は入力されたままを保持しており、そこにある空白は区切り記号で数の一部ではありません。

公式

|u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)

ベクトルu
長さを求めたいベクトル。空白かカンマで区切った2つか3つの数で、どちらのつもりかは数の個数だけが示します
|u|
長さそのもの。各成分を2乗して足し合わせ、その合計の平方根を取ったもので、パネルに出る数です
u₁² + u₂² + …
平方和。下の計算例では項ごとに書き出しています。計算の途中に出てくる唯一の中間結果で、書き出してみると手計算で確かめられます
√
平方根。答えが無理数になることが多いのはこのためです。3 4は9たす16がたまたま25なのでちょうど5になりますが、1 1は1.4142で、有限の小数では表せません
2つの成分
平面上のベクトル。どちらの個数も受け付け、どちらも特別扱いしません。2次元ベクトルは、3次元ベクトルの3つ目の成分が0のものだからです
ゼロベクトル
成分がすべて0のベクトル。その長さは0で、これは拒否ではなく答えです。このページは何も割り算しないので、正規化するページなら断られるこの入力もここでは通ります
小数第4位
答えを書く幅。平方和が平方数になるときはちょうどその値、それ以外は小数第4位に丸めます
単位なし
このページは成分が何で測られたのかを知りません。答えは成分の単位をそのまま引き継ぎます。長さ5は、入力した数の単位で5という意味です

大きさが物を言い、向きが物を言わないときに使ってください。いちばん分かりやすいのは大きさ比べです。2つの力、2つの速度、2つの変位は長さだけで順位が付き、向きはむしろ邪魔になります。2つ目は、長い計算の途中に出てくる長さとしての用途です。大きさはベクトルを正規化するときの割る数であり、射影の公式では分母であり、内積では2つの因数のうちの1つなので、それ自体が目的で使われるより、単体で求められることのほうがずっと多くなります。3つ目は最も具体的な話で、ベクトルの成分は点の座標そのものなので、その長さは原点からその点までの距離であり、この式は別の名前で知っているかもしれない距離の公式と同じものです。この答えが持っていないものは向きで、これは強調しておく価値があります。長さ5は3 4からも、−3 4からも、0 5からも出てきます。そのどれなのかを知りたいなら、このページは求めているページではありません。成分そのものか、単位ベクトルのページです。成分が2つでも構いませんし、水増しもされません。平らな平面のベクトルで、その長さは項が2つの同じ距離の公式です。ゼロベクトルは受け付け、その長さ0は誤りではなく正しい記述です。

計算例

  1. 3 4

    1. 各成分を2乗：3² = 9、4² = 16
    2. 平方和：9 + 16 = 25
    3. 平方根：√25 = 5

    このページが開いたときに入っている入力で、いちばんきれいな例です。9たす16は25という平方数なので、答えは丸めのない整数になります。3と4が3-4-5の直角三角形の2辺だからです。逆から確かめてください。横に3、上に4進んだ点は原点から5の距離にあり、それはベクトル3 4の長さが5だと言うのと同じことです。

  2. 5 12

    1. 各成分を2乗：5² = 25、12² = 144
    2. 平方和：25 + 144 = 169
    3. 平方根：√169 = 13

    3-4-5の次に来るピタゴラスの組で、ちょうど出る答えが一度きりではないことを示します。どちらの成分も1つ目の例より大きいのに、答えはやはり整数になります。答えがどちらの成分にも収まらないことも示しています。13は5より大きく12より大きい——和の平方根がそういうものだからです。

  3. 1 1

    1. 各成分を2乗：1² = 1、1² = 1
    2. 平方和：1 + 1 = 2
    3. 平方根：√2 = 1.414214…なので四捨五入して1.4142

    例外ではなくふつうの場合です。平方和が平方数になることのほうが少ないので、答えはたいてい無理数になり、小数第4位に丸められます。√2はその最も単純なもので、覚えておく価値があります。1つの単位を2つの成分に等しく分けると必ず出てきます。定義を逆に確かめてください。1.4142を2乗すると1.99996で、丸めの範囲で2になります。

  4. 0 0

    1. 各成分を2乗：0² = 0、0² = 0
    2. 平方和：0 + 0 = 0
    3. 平方根：√0 = 0

    ゼロベクトルです。このページはこれを断らずに答えます。原点から原点へのベクトルの長さは0で、計算のどこでも割り算をしていないので、断る理由がありません。ベクトルを正規化するページは同じ入力を断ります——そこでは長さが割る数になるからです。判定は入力ではなく、尋ねられている問いの側に属しています。

適用限界

成分は2つか3つ、それだけを受け付けます。1つの数は向きではなく符号付きの量ですし、4つ以上はこのページに尋ねられた長さには当たりません。2つの成分は3つに水増しされません。平らな平面のベクトルで、同じ向きを3つの座標で書けば3つ目の成分が0になる、だからこの入力欄はどちらのつもりかを尋ねなくてよいのです。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば成分の区切り、空白のないカンマは小数点として読みます（1,5は1.5）。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。小数第4位は表示の幅であって精度の主張ではなく、答えは丸める前の平方和から計算されるので、印字された数値を2乗しても入力した数にぴったり戻るとは限りません。長さはただの数です。成分がメートルだったのかニュートンだったのか何でもなかったのかを、ここでは誰も知りません。大きさは成分の単位をそのまま引き継ぎます。この答えに本当にできないことが1つだけあります。向きについて何も語れないことです。長さ5は3 4、−3 4、0 5が共有していて、長さだけを報告するページはその区別を構造上捨てています。向きが要るなら成分そのものか、そこから作る単位ベクトルを使ってください。向きを無視した比較が欲しいなら、このページが答えの全部です——それがこのページの趣旨です。

よくある質問

ベクトルの大きさとは何ですか
ベクトルの長さのことです。各成分を2乗し、その和を取り、合計の平方根を求めます。1つの数で、ベクトルがどれだけ大きいかを語り、どちらを向いているかについては何も言いません。原点から点まで引いたベクトルは、原点からその点までの距離と同じ大きさになります。式が距離の公式に見えるのはそのためで、実際に距離の公式そのものです。
ベクトルの長さを手計算で求めるには
すべての成分を2乗し、その和を足し合わせ、合計の平方根を取ります。3 4なら9たす16で25、25の平方根は5です。1 1なら1たす1で2、2の平方根は小数第4位までで1.4142です。途中の平方和だけが間違えやすい箇所で、このページの参考表はどの行にもその値を載せています。
2次元ベクトルと3次元ベクトルのどちらを入力できますか
どちらでもよく、切り替える設定もありません。2つ入力すれば2次元ベクトル、3つ入力すれば3次元ベクトルです。同じ入力欄で両方を受けるのは、計算が同じ計算だからです。平面上のベクトルは3つ目の成分がたまたま0の空間のベクトルで、その長さは項が3つではなく2つの同じ平方根になります。
ゼロベクトルの大きさはいくつですか
0です。このページは入力を断らずにそれを報告します。どの成分も0なので2乗もすべて0、和も0でその平方根も0です。計算のどこでも長さで割っていないので、ここに誤りはありません。単位ベクトルのページが同じ入力を断るのは、あちらでは長さが割る数になるからです。
大きさから向きが分かりますか
分かりませんし、分かりようがありません。1つの数であり、向きには少なくとも2つ必要だからです。3 4、−3 4、0 5は3つとも向きが違いますが、どれも長さは5なので、長さでは見分けられません。向きが要るなら成分をそのまま読むか、ベクトルを単位ベクトルに正規化してください。あちらは向きを残して大きさを捨てます。
ベクトルの大きさは何に使いますか
大きさの比較と、長い計算の次の一手への受け渡しです。2つの力や2つの速度は、向きがどうでもよいときに大きさで順位が付きます。それだけでなく、多くの公式がこの数を割る数や掛ける数として使います。ベクトルの正規化、あるベクトルの別のベクトルへの射影、内積はいずれもこの値を消費するので、長さが最終的な答えでなくても単体で求めることはよくあります。

参考文献

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