ベクトル計算

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

ベクトルu

入力は1つだけ。空白かカンマで区切った2つか3つの数です。2つなら平面上のベクトル、3つなら空間のベクトルで、どちらのつもりかを示すのは個数だけです。切り替える次元の設定はありません

u = (u₁, u₂, u₃)

成分。打ち込んだ数をベクトルとして読み直したものです。2つの成分の入力では3つ目が0になりますが、これは水増しではありません。同じ向きを3つの座標で書いたときの姿です

|u|

大きさ。各成分を2乗して足し合わせ、平方根を取ったものです。出力の1行目にあたり、ベクトルがどれだけ大きいかへの答えです

û

単位ベクトル。向きとも呼ばれます。各成分を大きさで割ったもので、入力とまったく同じ直線を指し、作りからして長さが1なので、そこに入っている値は向きそのもので他には何もありません

u ÷ |u|

2つの読みを分ける割り算そのもの。成分は入ってきた数、単位ベクトルの成分はそれを長さで割った数で、このページは両方を印字して、その段階が含意ではなく目に見えるようにしています。兄弟のページがしていないのはこれだけです

ゼロベクトル

拒否します。理由は狭いものです。大きさが0なので、単位ベクトルを出す割り算が0 ÷ 0になり、報告すべき向きがありません。ゼロベクトルは違法な入力ではありません。大きさのページは同じ0の並びに0と答えます。ただこのページは3つの読みを約束していて、そのうち2つしか出せないのです

2つの成分

受け付けます。2次元ベクトルは平面上のベクトルで、大きさは同じ平方根の項が2つになったもので、どの出力でも3つ目の成分は0になります

小数第4位

出力を書く桁数。成分の行は、入力が整数か有限の小数であったときは正確に再現します。大きさは整数になることがよくあります。単位ベクトルはほとんどいつも丸められます。平方根で割ることはめったに割り切れないからです

単位なし

成分も大きさも単位ベクトルの成分も、すべてただの数です。ここでは成分が何で測られたかを誰も知らず、3つの読みはどれもその同じ未知の単位を引き継ぎます。ただし単位ベクトルは無次元です

ベクトルが1つあって、2つ目を登場させずに言えることを全部知りたいときに使ってください。成分の行は入力を数として読み直したもので、手書きで入力したときにどう解釈されたかを見たいときに役立ちます。大きさの行はどれだけ大きいか、単位ベクトルの行はどちらを向いているかです。実務でいちばん効くのはこの最後の2つで、両者を合わせるとベクトルの2つの半分、大きさと向きになるからです。このページはそれを直接並べて見られる場所です。要約であって代替ではありません。長さだけが欲しいなら、長さだけを印字するページのほうが早く答えます。向きについても同じで、足し算や射影や内積のような2つのベクトルを扱う作業には、入力欄が2つあるページが必要です。このページが付け加えるのは並べて見るという視点です。単位ベクトルの行は成分の行を大きさで割ったもので、同じパネルに印字されるので、割り算を信じるのではなく読めます。成分が2つでも3つでも受け付け、2つの場合の3つ目の成分はどこでも0です。拒否される入力はゼロベクトル1つで、それは入力が不正だからではなく、約束した3つの読みのうち1つが存在しないからです。

1. 3 4

   1. 成分：入力を読み直すと(3, 4, 0)
   2. 大きさ：√(9 + 16) = √25 = 5
   3. 単位ベクトルのx：3 ÷ 5 = 0.6
   4. 単位ベクトルのy：4 ÷ 5 = 0.8
   5. 単位ベクトルのz：0 ÷ 5 = 0

   このページが開いたときに入っている入力で、成分をなぜ印字するのかが分かる行です。2つ目の組の数はどれも1つ目の組の数を5で割ったもので、両方の組が画面にあることで割り算を計算せずに読み取れます。3-4-5が直角三角形なのでここでは大きさが整数になり、単位ベクトルの2つの成分が正確に出るのもそのためです。割り算を逆から確かめてください。0.6に5を掛けると3、0.8に5を掛けると4で、単位ベクトルに大きさを掛けるとベクトルに戻ります。

2. 0 0 5

   1. 成分：入力を読み直すと(0, 0, 5)
   2. 大きさ：√(0 + 0 + 25) = 5
   3. 単位ベクトルのx：0 ÷ 5 = 0
   4. 単位ベクトルのy：0 ÷ 5 = 0
   5. 単位ベクトルのz：5 ÷ 5 = 1

   z軸に沿ったベクトルで、成分の行が存在価値をいちばんはっきり示す場合です。入力されたままの0 0 5は、数が1つだけのベクトルと読めてしまいます。成分の行は、これが3次元ベクトルで最初の2つがたまたま0だと明らかにします。単位ベクトルは軸の向きそのもの、0と0と1になり、3つ目の読みが割り算のいちばん簡単な確認になります。5を5で割ると1、0を5で割ると0です。

3. 2 3 6

   1. 成分：(2, 3, 6)
   2. 大きさ：√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. 単位ベクトルのx：2 ÷ 7 = 0.285714…
   4. 単位ベクトルのy：3 ÷ 7 = 0.428571…
   5. 単位ベクトルのz：6 ÷ 7 = 0.857143…

   ふつうの3次元の場合で、3つの読みが本当に別の数だと分かる例です。大きさは7と整数ですが、単位ベクトルの成分はどれもそうではありません。3つとも循環小数で小数第4位に丸められます。成分そのものは正確で、単位ベクトルの組と見比べるのが計算の全部です。2を7で、3を7で、6を7で割ったものになっています。いちばん大きい成分の6が、いちばん大きい単位ベクトルの成分を与えていることにも注目してください。3つの数を同じ値で割っても順序は変わりません。

4. −3 4

   1. 成分：(−3, 4, 0)
   2. 大きさ：√(9 + 16) = 5（3 4と同じ）
   3. 単位ベクトルのx：−3 ÷ 5 = −0.6
   4. 単位ベクトルのy：4 ÷ 5 = 0.8
   5. 単位ベクトルのz：0 ÷ 5 = 0

   1つ目の例の符号を1つ変えたもので、3つの読みのどれに符号が届くかを示す行です。大きさは5のままで、成分の符号を反転しても2乗和は変わりません。成分が符号を保つのは明らかです。単位ベクトルも保ちます。正の長さで割ってもベクトルは回れないからです。つまり3つの読みのうち、向きを持てるのは成分の行と単位ベクトルの行だけで、大きさの行だけが持ちません。このページ自身の表を横に並べて作ってみてください。2つの行が隣り合っていて、違いはちょうど1つの符号だけです。

受け付けるのは成分が2つか3つ、それ以外はありません。隣のツールとの重なりは事実で、名前を挙げておく価値があります。このページは要約で、兄弟は専門家だからです。大きさの行はベクトルの大きさのページとまったく同じ数を載せ、3つの単位ベクトルの行は単位ベクトルのページとまったく同じ数を載せ、どちらのページも成分を印字しません。そのどちらかの答えが欲しいなら、短いページのほうが早く答えます。このページが付け加えるのは単位ベクトルの隣の成分で、割り算が割り算として目に見えるのはそこだけです。扱うのはベクトル1つなので、2つが絡むもの、つまり加算、減算、射影、内積、角度は入力欄が2つあるページの担当です。ゼロベクトルは拒否します。大きさが0で向きがないので、単位ベクトルの行が埋まらず、パネルはどの行にも数を印字するか、まったく印字しないかのどちらかだからです。この拒否はこのページの約束についてのもので、入力についてのものではありません。大きさのページは同じ入力に0と答えます。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば成分の区切り、数字と数字の間にあって直後に空白がないカンマは小数点として読まれます。1,5は1.5のことです。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。2つの成分のベクトルは受け付け、3つ目の成分は欠けているのではなくどこでも0です。このページは成分が何で測られているかも関知しません。単位ベクトルは無次元で、成分と大きさは入力の単位をそのまま引き継ぎます。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。

他のベクトルのページにない何が得られますか

成分です。割り算の結果である単位ベクトルの隣に数として印字されます。大きさの行はベクトルの大きさのページと同じ数で、単位ベクトルの行も単位ベクトルのページと同じ数なので、読みそのものは新しいものではありません。新しいのは、それらを成分と同じパネルに置くことです。片方の組で3と4、次の組で0.6と0.8を見て割り算をそのまま読み取れるのはそこだけです。

どの数が向きですか

単位ベクトルの3つの行で、3つをまとめて読む必要があります。成分1つだけでは向きになりません。単位ベクトルは打ち込んだベクトルとまったく同じ直線を指し、長さを割り出してあるので、それ自身の長さはどの場合も1で、そこに入っている値は純粋に向きについてのものです。その上の大きさの行は1つの数で、向きを表すことはできません。3行すべてが要るのはそのためです。

自分で入力した成分がなぜ印字されるのですか

入力を数として単位ベクトルの隣で見ることがこのページの趣旨だからです。入力がどう読まれたかも確定します。0 0 5はそのままでは数が1つだけのベクトルと取られかねませんが、成分の行はこれが0を2つ持つ3次元ベクトルだと示します。これがなければパネルは大きさと向きを表示し、入力とそのどちらとの間にも目に見えるつながりがなくなります。

大きさのページは受け付けるのにゼロベクトルを拒否するのはなぜですか

このページは3つの読みを約束していて、ゼロベクトルにはそのうち2つしか存在しないからです。成分は0と0と0、大きさは0ですが、向きがありません。正規化するとは長さ0で割ることで、それ以上の理由もあります。大きさのページは1つの読みを約束していてそれを出せるので、同じ入力がそちらでは答えられます。パネルはどの行にも値を印字するので、一部だけ空の結果はこのページには出せません。

ベクトルの大きさのページとは何が違いますか

あちらは1つの問いに答え、こちらは3つに答えます。大きさの数そのものはどちらでも同じです。長さだけが欲しいなら、短いページのほうが早く着きます。このページは長さと向きの両方が欲しく、その関係も見たいときのものです。単位ベクトルの成分は成分を大きさで割ったもので、両方が画面にあるとそれが信じるものではなく確かめられるものになります。

2次元ベクトルを入力できますか

はい、どの行も3つ目の成分が0で返ります。2次元ベクトルは平面上のベクトルで、3つ目の成分が0の3次元ベクトルと同じものです。だから次元の設定なしに1つのパネルで両方を扱えます。大きさは同じ平方根の項が2つになったもので、単位ベクトルはその2つの成分をその長さで割ったものです。

• Vector — ベクトル。このページが説明している対象で、成分の定義と、そこから導かれる2つの量（大きさと向き）の定義を含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — ベクトルの大きさ。成分の2乗和の平方根としての長さで、このページの3つの読みのうち1つ目にあたる — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — 単位ベクトル。ある向きを指す長さ1のベクトルで、向きの読みを表す方法であり、大きさで割ると出てくるもの — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平面ベクトルとその線形演算は義務教育の学段には含まれず、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部