ベクトル加算計算

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

ベクトルu

1つ目のベクトル。空白かカンマで区切った2つか3つの数の並びです。どちらの入力欄に入れるかは加算では答えを変えず、減算では符号を反転させるだけなので、単純に1つ目として扱って失われるものはありません

ベクトルv

2つ目のベクトル。同じ書き方で、1つ目と同じ数の成分を持たなければなりません。2つの成分のベクトルを3つの成分のベクトルに足す規則はありません。3つ目の数が組になる相手を持たないからです

u + v

和。成分ごとに求めます。答えのどの成分も、2つの入力の同じ位置にある成分だけを使います。1つ目の成分どうし、2つ目の成分どうし、といった具合です

u − v

差。2つ目のベクトルのすべての成分を先に符号反転させた和です。2つ目のベクトルの符号を反転させることだけが加算と減算の違いで、だから1つの控件が両方を兼ねます

合成ベクトルのx・y・z成分

答えの3行で、まとめて1つのベクトルとして読みます。2つの入力がどちらも2つの成分なら3つ目は0です。この0は水増しではなく、同じ向きを3つの座標で書いたときの姿です

|u + v|

合成ベクトルの大きさ。その成分の2乗和の平方根です。3つの成分とは別の問いで、独立した行にする価値があります。成分は答えがどちらを向くかを、大きさはどれだけ届くかを言います

加算か減算か

このページが求める唯一の選択で、2つのモードの間で変わる唯一のものです。同じ2つの入力欄と同じ4行の出力をどちらでも使い、変わるのは計算だけです

ゼロベクトル

成分がすべて0のベクトル。和や差がゼロベクトルになることはあり、それは失敗ではなく正しい答えです。ベクトルにその負を足すとまさにこれになり、参考表にもそれが起きる行があります

小数第4位

出力を書く桁数。足し算と引き算しか出てこないので、入力が整数なら成分は正確に出ます。丸めが要るのは平方根である大きさのほうです

2つのベクトルが同時に同じものに働いていて、その合成の効果が欲しいときに使ってください。1つの物体に働く2つの力、流れの中で足される2つの速度、続けて歩いた2つの変位は、どれも成分ごとの足し算で、答えは両方の役目を1つで果たすベクトルです。減算は同じ問いの残り半分に答えます。u − vはvの先端からuの先端へ行くベクトルで、だから相対位置や相対速度の計算はすべてこの演算の上に成り立ちます。ベクトルの足し算がこれほど簡単なのは、成分が混ざらないからです。答えのどの位置も入力の同じ位置だけに依存し、それ以外にはよりません。これは知っておく価値があります。掛け算ではそうならず、答えのどの成分も両方の入力のどの成分にも依存し、そこに角度が現れるからです。成分が2つでも3つでもよく、2つの入力どうしがそろっている必要があります。和が0になるのはふつうの結果です。ベクトルとその負を足せば0で、0もまったく立派なベクトルです。1つだけ取り違えないでほしいのは、一緒に印字される長さは結果の長さであって、2つの入力の長さの和ではないということです。2つのベクトルが同じ向きでない限り、この2つは別の数で、その違いこそがベクトルを大きさの足し算で足せない理由の全部です。

1. 3 4 + 1 2

   1. x成分：3 + 1 = 4
   2. y成分：4 + 2 = 6
   3. z成分：0 + 0 = 0（2つの入力がどちらも2次元ベクトルのため）
   4. 大きさ：√(16 + 36 + 0) = √52 = 7.211103…

   このページが開いたときに入っている入力で、どの段階も目に見える場合です。2つのベクトルがほぼ同じ向きを指しているので答えは長くなります。7.2111に対して、入力の長さは5と2.2361で、その和は7.2361です。ここでは2つが近いだけで等しくはなく、等しくなるのは2つのベクトルがまったく同じ向きを指すときだけです。参考表のうち2行がその場合で、それ以外のどの行でも和は2つの長さを足したものより短くなります。

2. 3 4 − 1 2

   1. x成分：3 − 1 = 2
   2. y成分：4 − 2 = 2
   3. z成分：0 − 0 = 0
   4. 大きさ：√(4 + 4) = √8 = 2.828427…

   1つ目の例と同じ2つのベクトルで、もう一方の選択肢を選んだものです。変わったのは2つ目の入力に適用される符号だけです。答えは事実上2u − (u + v)で、2つのベクトルが似た向きを指していて引き離すとあまり残らないので、どちらの入力よりもずっと短くなります。これと1つ目の例を切り替えるのが、控件が何をするのかを見るいちばん速い方法です。

3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

   1. x成分：1 + (−1) = 0
   2. y成分：2 + (−2) = 0
   3. z成分：3 + (−3) = 0
   4. 大きさ：√(0 + 0 + 0) = 0

   ベクトルにその負を足したもので、ゼロベクトルになります。何もおかしくなってはいません。2本の矢印は同じ長さで反対を向いているので、それらが表す移動は出発点に戻ります。このページはそれを拒否せずに報告し、参考表の7行目が同じ場合です。同じ入力で控件を減算に切り替えると、今度は答えが2倍になり、2 4 6で長さは7.4833になります。符号の効果がこれ以上ないほどはっきり見える例です。

4. −1 2 − 3 −5

   1. x成分：−1 − 3 = −4
   2. y成分：2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. z成分：0 − 0 = 0
   4. 大きさ：√(16 + 49) = √65 = 8.062258…

   符号が打ち消し合わず、計算を慎重にやらなければならない場合です。負の5を引くことは5を足すことなので、y成分は7に増え、x成分は2つ目のベクトルの1つ目の成分のほうが大きいので負になります。結果はどちらの入力より長くなります。2つのベクトルが反対を向いているときはいつでもそうなり、長さがそのいちばんはっきりした印です。成分の−4と7は、2乗して足すまでは長いベクトルには見えないからです。

2つのベクトルは成分の数がそろっていなければならず、それぞれが2つか3つでなければなりません。パネルには成分の行が3つあり、そろっていないと片方の3つ目の数が組になる相手を失います。2つの成分のベクトルは3つに水増しされません。平らな平面に載っており、3行目に印字される0は、その向きを3つの座標で書いたときの姿です。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば成分の区切り、数字と数字の間にあって直後に空白がないカンマは小数点として読まれます。1,5は1.5のことです。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。参考表は加算だけを示しています。表はどの選択肢が選ばれているかを知らずに生成されるからです。減算は2つ目のベクトルの符号を反転させた同じ行で、下の計算例がそれを扱っています。結果と一緒に印字される長さは結果の長さであって、2つの入力の長さの和ではありません。2つの長さを足したものが正しい答えになるのは、ベクトルがまったく同じ向きを指すときだけです。ベクトルにその負を足すと、長さの2倍ではなく0になります。この2つがどれだけ離れた場合かが分かります。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。このページは成分が何で測られているかも関知せず、答えはその単位をそのまま引き継ぎます。成分も長さも同じ単位なので、3つの成分だけを長さとして読むべきではありません。

2つのベクトルを足すとはどういうことですか

成分を位置ごとに足すことです。1つ目の成分どうし、次に2つ目、その次に3つ目を足し、その3つの合計が答えの成分になります。何も掛け算されず角度も要りません。ベクトルの掛け算よりずっと簡単なのはこのためで、成分が混ざらないので、答えのどの項目も両方の入力からちょうど1つずつの項目に依存します。

ベクトルの減算は加算と何が違いますか

符号1つです。減算は2つ目のベクトルを先に符号反転させた加算なので、u − vとu + (−v)は同じ計算を2通りに書いたものです。このページで両方が1つの控件の裏にあるのはそのためです。変わる計算は符号1つで、同じ入力の下に並べて置くのがそれを見るいちばん明快な方法です。3 4から1 2を引くと2 2、足すと4 6になります。

和がゼロベクトルになることはありますか

はい、そしてそれは失敗ではなく正しい答えです。ベクトルにその正確な負を足すと0になります。2本の矢印は同じ長さで反対を向いているので、それらが表す変位は出発点に戻ります。ページは3つの成分すべてに0、長さに0を報告します。参考表の7行目がこの場合で、同じ入力を減算にすると代わりに2uになります。

2つのベクトルは成分の数がそろっていなければなりませんか

はい。2つの成分のベクトルを3つの成分のベクトルに足す規則はありません。3つ目の数が組になる相手を持たないからです。それぞれの入力は2つか3つの成分を持てますが、それはパネルの制限であって算数の制限ではありません。ただし2つの個数はそろっている必要があり、このページは欠けた項目を黙って0として扱わずにそう言います。

和の長さは長さの和ですか

いいえ、そしてこれがこのページがいちばん防ぎたい間違いです。和の長さが2つの長さの和になるのは、ベクトルがまったく同じ向きを指すときだけです。反対を向いているときは長さの差になり、垂直なときはどちらよりも小さくなります。成分が部分的に打ち消し合うからで、どちらに転ぶかは大きさではなく向きで決まります。

2次元ベクトルを3次元ベクトルに足せますか

いいえ、このページは欠けた3つ目の成分を0で埋めずに拒否します。2つの成分のベクトルは平面上のベクトルで、3つ目の成分が0の3次元ベクトルと同じものです。しかしそれは平面が空間の中にどう収まっているかという事実であって、何もないところに数を足してよい許可証ではありません。そういう意味なら3つ目の成分を明示して書いてください。

• Vector addition — ベクトルの加算。成分ごとの和と、同じことを図形的に言う平行四辺形の規則で、2つの入力欄と合成ベクトルの行が実装しているもの — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — ベクトルの減算。2つ目を符号反転させた和としての差で、このページの1つの控件が両方の演算を兼ねる理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — ベクトル。加算される対象で、2つのベクトルは成分の数が同じときだけ足せるという規則と、ベクトルとその負の和がゼロベクトルになることを含む — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平面ベクトルとその線形演算は義務教育の学段には含まれず、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部