掛け算計算
計算結果
積
- 部分積
- 115, 920
- 積の小数点以下の桁数
- 0
筆算の掛け算の計算ツールです。2つの数を1桁ずつ掛けて、すべての部分積を、それを正しい位置に置くずれと、小数点が最終的にどこへ来るかと一緒に見える形にします。このページで2つの数を掛けるというのは、一方の桁をもう一方の各桁に掛け、それぞれの結果を自分の行に書き、その行を足し合わせることです。それは筆算の足し算のページがやっているのと同じ足し算を、1行ずつ行うものです。既定値では23 × 45 = 1,035を、部分積115と920として求めます。2行目は1桁ぶん左へずれています。小数は桁の計算を何も変えません。2.3 × 4.5もまったく同じ2つの部分積を使い、変わるのは小数点の位置だけです。2つの因数がそれぞれ小数1桁を持つので、右から2桁目のところに入ります。負の因数も受け付け、部分積は符号を付けずに印字します。紙の計算で負号を筆算の外に置くのと同じです。
23 × 45を乗数の1桁ずつに分ける
| ずれ | 乗数の桁 | 部分積 | ずらした後の値 |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 115 | 115 |
| 1 | 4 | 92 | 920 |
乗数の桁ごとに1行で、一の位から始めます。ずれの列がこの表の存在理由です。紙の上では行の先頭に空きを残すことでずれを表しますが、表に書き込んだ行には残すべき空きが無いので、そろえ方を数にしなければなりません。最後の列を下へ読むと、次に足し合わされる2行になります。それを足すのは普通の筆算の足し算で、ずれ1は920の末尾の0そのものです。どのセルも整数なので、この表は10言語すべてで同じものになります。
公式
a × b：bの桁をb₀ + 10·b₁ + …と書き、a × b_kを1行にして、shift（ずらし幅）だけ左へ寄せ、その行を足す 積 = (a × b)の小数点を、右から合計桁ぶんの位置に置いたもの
- a
- 被乗数で、掛けられる側の数です。その全体が、もう一方の数の各桁によって順に掛けられるので、相手を分解しているあいだ、こちらは1つのまとまりのままです。
- b
- 乗数で、桁を右から1つずつ取り出される側の数です。その桁1つにつき1行でき、0の桁も行になります。その行が記録しているのは桁が占めていた位だからです。何も入っていない位も情報です。
- shift
- その行をどれだけ左に書くかで、乗数の桁の位置に等しい値です。位取りが働いている姿そのもので、45の4は40の値を持つので、それが作る部分積は一の位の桁が作るものの10倍になります。紙の上では行の開始位置を左へずらして示し、表ではそれを数にしなければなりません。
- decimal places
- 小数点より後の桁数で、どちらか一方で数えるのではなく2つの因数を通して足し合わせます。2.3が1桁、4.5が1桁なので積は2桁を持ち、1,035は10.35になります。桁の計算はこれに一切依存しません。掛け算は完全に整数で走り、小数点は後から置かれます。
2つの数を手で掛けて途中を残したいときに使います。紙で出した積を確かめる、ずらす手順を教える、小数点の位置でつまずきやすい小数を扱う、といった場面です。同じ数を繰り返し掛けるのは指数のページ、分数の掛け算は分子どうし・分母どうしという独自の規則に従います。
計算例
23 × 45
- 一の位の数字を掛ける：23 × 5 = 115、ずらさずに書く
- 十の位の数字を掛ける：23 × 4 = 92
- 十の位の数字は10倍の値なので、その行は1桁だけ左へずれて920になる
- 行を足す：115 + 920 = 1,035
- どちらの因数にも小数は無いので、積にも小数は付かない
- 積は1,035
既定値の場合です。920の末尾の0は、ずれが目に見える形になったものです。紙の上ではその行が1列ぶん左から始まるだけで、読むときには書かなければならない数字になります。足し合わされる2行はごく普通の筆算の足し算で、それは隣のページの仕事です。
同じ数字に小数点を付けた場合
- 小数点を無視して数字を掛ける：23 × 45で、前の算例と同じ
- 部分積は115と920のままで変わらない
- 小数の桁数を数える：2.3が1桁、4.5が1桁なので、積は2桁
- 1,035の右から2桁のところに小数点を置く
- 積は10.35
小数の扱いがいちばんはっきり出る例です。数字の計算は23 × 45を掛けるのとまったく同じで、違いは小数点がどこに落ちるかだけです。小数の桁数をどちらの因数からも数えず、和として報告している理由もここにあります。
乗数に0の桁がある場合
- 一の位の数字を掛ける：23 × 0 = 0、ずらさずに書く
- 十の位の数字を掛ける：23 × 4 = 92、1桁左へずらして920
- 行を足す：0 + 920 = 920
- 積は920
0の行は飛ばさずに残します。手書きでは普通は省きますが、記録しているのはその位置です。40の一の位が何も寄与しなかったという意味で、行がそろっていて初めて、行を足すと積になるという検算が成り立ちます。FOILのページとは逆の選択です。あちらでは0になった項を落としますが、あちらでは空の項はそもそも存在せず、こちらでは行が実際に書かれるからです。
適用限界
2つの因数が持つ小数の桁数は、合わせて最大6桁です。制限されているのはどちらかの数ではなく、その和です。これは表示の限界で、計算の限界ではありません。パネルは積を小数6桁で印字するので、8桁必要な積は0.000000と印字されます。正しい答えの服を着た間違った答えです。各因数は大きさ100万まで、積の整数部分は正確に表せる整数の上限までに限っています。数字を1桁ずつ読むので、それを超えると部分積を足しても答えに一致しなくなります。負の因数も受け付け、部分積は符号無しで印字します。負号は最後の積にだけ現れます。0は正当な因数で、負の数と0の積は−0ではなく0と印字します。このページは掛け算だけを行います。割り算は独自の列の規則を持つ別の手順です。
よくある質問
- 筆算の掛け算とは何か
- 2つの数を、一方の桁を分解して掛けることです。乗数の桁1つにつき1行でき、その行は桁が占めていた位に応じて左へずらされ、最後に足し合わされます。電卓が出すのと同じ積を、途中の行を残した形で得ます。
- 部分積はずらすのはなぜか
- 数字の値がどこに座っているかで決まるからです。45の4は40の値を持つので、それが掛けるものは5が作ったものより10倍大きく出なければならず、行を1桁左から書き始めるのがその記録になります。足し算の列がそろうのも同じ位取りの規則です。
- 小数点の位置はどうやって決めるのか
- 2つの因数の小数の桁数を数えて足します。2.3が1桁、4.5が1桁なので積は2桁で、1,035は10.35になります。数字そのものは小数点を一度も見ません。掛け算は完全に整数で走り、小数点は最後に置かれます。
- 0の行を残すのはなぜか
- その行の位置が情報だからです。乗数の一の位が0のとき、その行は一の位が何も寄与しなかったと言っています。落とすと、残った行がずれているという事実まで失われます。残しておけば行を足すと必ず積になり、このページが支えている検算がそのまま成り立ちます。
- 負の因数はどうなるのか
- 2つのうちちょうど片方が負なら積は負、両方が負なら正になります。部分積はどちらの場合も符号無しで印字します。紙の計算で負号を筆算の外に置くのと同じやり方で、部分積を足すと積になる性質もこれで保たれます。
- 整数の積に0が並んで印字されるのはなぜか
- パネルが積を小数6桁で固定して印字するからで、1,035は1,035.000000と出ます。代わりに積を文字列として印字すると、答えにピリオドが入ります。小数点にコンマを使う国ではそれが誤りで、末尾の0がいくつか付くより悪い結果になります。
参考文献
- Base — 部分積を1桁左へずらすと10倍になる理由。ずれの列が記録しているのはそれ — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponentiation — 掛け算をある数とそれ自身に適用した場合。2つの因数が同じときの形 — Wolfram MathWorld (United States)
- Division — 逆の操作。こちらの変形ではなく独自の列の手順が要る理由 — Wolfram MathWorld (United States)