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割り算の筆算計算

範囲：0〜1,000,000,000

範囲：1〜1,000,000,000

計算結果

102

商

余り
10
計算の手順
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
検算
12 * 102 + 10 = 1234

割り算の筆算とは、ある整数を別の整数で割ったときに割り切れない場合の、紙の上での計算方法です。このページはその手順を1行ずつ印字します。1,234 ÷ 12なら、計算は4行です。まず1を12で割ります。小さすぎるので商の桁は0で、余りは1です。次の桁の2を降ろして12にし、12で割ります。桁は1で余りは0です。3を降ろして3にし、12で割ります。桁は0で余りは3です。4を降ろして34にし、12で割ります。桁は2で余りは10です。商の桁を順に並べると1、0、2なので、1,234 ÷ 12は102余り10となり、最後の余りである10がそのまま残ります。この手順のどの行も形は同じです。そこまでに組み上がった値を取り、除数がその中に何回まるごと入るかを求め、その回数を答えの1桁として書き留め、残った分を次の桁と組み合わせるために取っておきます。だから商の桁数はいつも被除数の桁数と同じになり、0が立派な答えの桁になり得ます。102の真ん中の0はちゃんと仕事をしています。ここでの余りはいつも非負のほうの余りで、0が取り得る最小値という約束です。負の数では2つの約束が違う答えを出すので、その場合は余りのページの担当になります。最後の出力は検算です。除数かける商たす余りは被除数に等しく、これは別に計算した結果ではなく、商と余りが何を意味するかの定義そのものです。12 × 102 + 10は1,234なので、3つの数は互いに整合しています。特別な場合が2つあります。被除数が除数より小さいときは商が0で、余りは被除数そのものになります。除数が1回も入らないからです。除数が1のときは商が被除数に等しく、余りは0になり、桁ごとに1行が出ます。商の桁は小数展開が生まれる場所でもあります。1 ÷ 7のように余りが繰り返し始めると、小数もそれに合わせて繰り返します。

5,432 ÷ 17の筆算を1列ずつ書き出したもの

手順値除数商の桁余り
151705
2541733
33317116
41621799

1つの行を横に読むと、計算の1行になります。割られる値、それと比べる除数、出た商の桁、そして残った分です。最初の行は5を17と比べるので、0回で5が残り、桁は0です。次の行は4を降ろして54にし、54 ÷ 17は3で3が残ります。注目すべきは値の列のほうで、各項目は前の行の余りに被除数の桁を1つ付け足したものです。これが桁を降ろすということで、行から行へ引き継がれる唯一のものです。商の桁の列は集まって0、3、1、9、つまり319になり、余りの列の最後の項目9が割り算全体の余りです。検算してみましょう。17 × 319 + 9 = 5,432です。商の桁の列の先頭の0は答えから落ち、真ん中の0は落ちないことに注意してください。0の桁はその手順の値に除数が入らなかったという情報で、先頭の0はただ書かないだけです。この表は5,432 ÷ 17に固定されており、入力した数には追隨しません。上の結果欄が同じ4列をあなたの数について、1桁につき1行で行います。

公式

1,234 ÷ 12 ⇒ 1/12 = 0あまり1、12/12 = 1あまり0、3/12 = 0あまり3、34/12 = 2あまり10 ⇒ 商102・余り10、検算：12 × 102 + 10 = 1,234

1,234
被除数、つまり割られる数で、0から1,000,000,000までの整数です。0も認められ、商も余りも0になります。負の数と小数は拒否します。下の筆算は桁を前提にしており、このページは符号の約束を1つも決めていないからです
12
除数、つまり割る数で、1から1,000,000,000までの整数です。0にはできません。0個に分けることはできないので、検算を満たす商が存在しません。被除数より大きくても構わず、その場合は商が0で余りが被除数そのものになります
1、2、3、4
被除数の桁を左から1つずつ取ったもので、降ろすとはこのことです。各手順は次の桁を前の手順の余りに足し合わせます。手順の数は被除数の桁数に等しく、1,234なら4手順、1,000,000,000なら10手順になります
0、1、0、2
各手順で出た商の桁で、その手順の値の中に除数がまるごと何回入るかを表します。手順の値が除数より小さければその手順の桁は0になり、その0も答えの一部です。102の真ん中に0が1つあり、落とせば12になってしまいます
1、0、3、10
各手順で残った余りで、いつも非負のほうです。最後の1つが割り算全体の余りで、それより前のものは途中経過にすぎず、次の桁を降ろした時点で消えます。ここでは何も負にならず、だから負の被除数は余りの約束のページの担当になります
被除数 = 除数 × 商 + 余り
検算の出力で、別の結果ではなくこの操作全体の定義です。1,234 ÷ 12なら12 × 102 + 10 = 1,234と読めます。この行が正しければ商と余りは定義により正しく、誤っていればこのページのほかの何も信用できません

これは筆算そのものなので、必要とするのはそれを学んでいる人です。手順の文字列は紙に書くはずだった計算そのもので、答えが合わないときに自分の1行ずつと突き合わせる価値があります。両者が食い違う箇所が誤りであり、正しい数を教わるより役に立ちます。検算の行はそのもう半分で、除数かける商たす余りは被除数であり、商と余りを持っている読者は筆算をやり直さずに確かめられます。試験以外では、同じ分解が整数で割り切れないときの割り算の扱い方になります。1,234個を12個ずつの組にすると102組できて10個余り、余りは配りきれない分です。余りが0なら割り切れたということです。この手順は小数展開が生まれる場所でもあります。余りに0を付け足しながら小数点の先へ計算を続けると商の小数が出て、余りが繰り返せば小数も繰り返します。1 ÷ 7は同じ6つの余りを永遠に巡り、だから1/7は6桁の繰り返しを持ちます。プログラミング言語には負の被除数の扱いが2通りあり、切り捨てと切り下げは一致しません。ここで印字する非負の余りは切り下げのほうで、余りのページが両方を並べて見せます。

計算例

  1. 1,234 ÷ 12：既定の入力

    1. 1を降ろします。1 ÷ 12は0回なので、最初の商の桁は0で、1が残ります
    2. 2を降ろします。値は12になり、12 ÷ 12は1回で何も残りません
    3. 3を降ろします。値は3になり、3 ÷ 12は0回で、3が残ります
    4. 4を降ろします。値は34になり、34 ÷ 12は2回で、10が残ります
    5. 商の桁は順に0、1、0、2で、先頭の0を書かなければ102です
    6. 最後の余りは10で、検算がそれを裏づけます。12 × 102 + 10 = 1,234

    既定の入力であり、商の中の0がなぜ効くのかを見せる例です。3手目は3が12より小さいので0という桁を出し、その桁は飾りではありません。答えは102であって12ではないのです。1手目の先頭の0は落とします。102と0102は同じ数の別の書き方だからです。検算の行は文として読む価値があります。除数かける答えたす残りは、最初にあった数を返します。

  2. 5,432 ÷ 17：下の参考表と同じ例

    1. 5を降ろします。5 ÷ 17は0回で、5が残ります
    2. 4を降ろします。値は54になり、54 ÷ 17は3回（3 × 17 = 51）で、3が残ります
    3. 3を降ろします。値は33になり、33 ÷ 17は1回（17）で、16が残ります
    4. 2を降ろします。値は162になり、162 ÷ 17は9回（9 × 17 = 153）で、9が残ります
    5. 商の桁は0、3、1、9でこれは319、余りは9です
    6. 検算は17 × 319 + 9 = 5,432です

    下の表が1列ずつ並べている4行そのもので、両方を読む価値があります。各手順は除数を掛け戻して、まだ収まるいちばん大きな積を探します。54に対して3 × 17 = 51、33に対して1 × 17 = 17、162に対して9 × 17 = 153で、余りはその差です。ここでの差は3、16、9で、いずれも除数17より小さく、この不変条件が各桁を「通用する最大の桁」にしています。

  3. 余りが繰り返す場合：1,000,000,000 ÷ 7

    1. 1を降ろします。1 ÷ 7は0回で、1が残ります
    2. 0を1つずつ降ろしていくと、10、30、20、60、40、50、そしてまた10になります
    3. 商の桁は1、4、2、8、5、7で、そのあと1、4、2と続きます
    4. 7手目で余りが1に戻るので、周期全体が最初からやり直しになります
    5. 商は142,857,142で、最後の余りは6です

    ここでの余りは1、3、2、6、4、5と進み、そして1に戻ります。1/7の周期そのもので、だから商の桁は「142857」として繰り返します。この繰り返しはこの被除数に固有の性質ではありません。余りが繰り返せば、そのあとは全部繰り返します。次の手順が降ろされた値だけに依存するからです。分数の小数表示が有限で終わるか循環するかの理由もここにあり、1/7が6桁の繰り返しを持つ理由でもあります。

  4. 除数が被除数より大きい場合：7 ÷ 999,999,999

    1. 降ろす桁は7の1つだけです
    2. 7 ÷ 999,999,999は0回です。999,999,999は7よりはるかに大きいからです
    3. 商の桁は0で、被除数がまるごと残ります
    4. 商は0、余りは7です

    商が0でもれっきとした答えで、失敗ではありません。除数が1回も入らないときは何も引かれないので、余りは被除数そのものになり、検算は999,999,999 × 0 + 7 = 7と読めます。手順が1行しかないのは被除数が1桁だからです。手順の数はいつも割られる桁の数に等しく、除数の大きさとは関係ありません。

適用限界

どちらの数も整数でなければなりません。被除数は0から1,000,000,000まで、除数は1から1,000,000,000までです。除数0は拒否します。0を掛けて0でない被除数を返す数は存在しないので、検算を満たす商と余りはあり得ません。負の数は符号の規則で処理せずに拒否します。ここで見せる筆算は桁の上で動いており、負の割り算には相反する2つの約束があるからです。このページは非負の余りを印字し、それが問題になる場合は両方の約束を並べる余りのページの担当です。小数も拒否します。小数点の先へ0を足して手順を延ばすことはできますが、それは別の手順であり、このページはやりません。ただし上の繰り返す余りは、まさにその小数が生まれる場所です。被除数が0の場合は認め、商が0で余りも0になります。手順の一覧は被除数の桁ごとに1行なので、10桁の被除数は10行を出し、結果欄が長くなるのは設計どおりです。あれは計算そのもので、その要約ではありません。下の参考表は5,432 ÷ 17に固定されており、入力には追随しません。上の結果欄があなたの数を答え、表は手順の各列が何を意味するかを見せるためにあります。値はすべて厳密で、丸めは一切ありません。

よくある質問

割り算の筆算のやり方は
被除数の左から1桁ずつ進めます。そこまでに組み上がった値を除数で割り、まるごと何回入るかを次の答えの桁として書き、残りを取っておきます。次に次の桁を降ろします。残りにその桁を付け足して、桁が尽きるまで繰り返します。1,234 ÷ 12なら桁は0、1、0、2で最後の余りは10となり、答えは102余り10です
商と余りは何が違いますか
商は除数が被除数の中にまるごと何回入るかで、余りはもう入らなくなったときに残った分です。両者は定義で結ばれています。被除数は除数かける商たす余りに等しい、という関係です。1,234 ÷ 12なら商は102、余りは10で、12 × 102 + 10は1,234を返します。余りはいつも除数より小さく、それによって商が通用する最大の整数になります
なぜ余りが負にならないのですか
このページは余りを非負に取る約束を使っているからです。被除数を超えない除数の最大の倍数を引き、残った分が0以上除数未満になります。プログラミング言語はしばしば切り捨てるので、余りが負になり得ます。−1を2で割ると、切り捨てでは余りが−1、この約束では1になります。余りのページが両方を並べて見せます。ここでは負の被除数をどちらか一方の黙った選択で処理せず、拒否します
答えに0が入ることはありますか
ありますし、その0は答えの一部です。0の桁は、その手順の値が除数より小さいときに必ず現れます。1,234 ÷ 12は桁として0、1、0、2を出し、真ん中の0は落とせません。102と12は別の数だからです。落とすのは先頭の0だけで、0102と102は同じ数です
被除数が除数より小さいとどうなりますか
商が0で、余りは被除数まるごとです。7 ÷ 999,999,999は0回なので何も引かれず、7の全部が残ります。検算は999,999,999 × 0 + 7 = 7と読めます。手順の一覧は1行になります。手順の数はいつも被除数の桁数に等しく、除数とは関係ないからです
余りが繰り返し始めるのはなぜですか
各手順が持ち込まれた値だけに依存するので、一度余りが戻ればそのあとの並びは全部繰り返します。1,000,000,000を7で割ると余りは1、3、2、6、4、5と進んでまた1に戻るので、商の桁は「142857」として繰り返します。循環小数はここから生まれます。同じ計算を小数点の先へ0を足しながら続けると、その周期が1/7の繰り返し部分になるのです

参考文献

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