10進数→2進数変換

17 ÷ 2 = 8余り1 → 8 ÷ 2 = 4余り0 → 4 ÷ 2 = 2余り0 → 2 ÷ 2 = 1余り0 → 1 ÷ 2 = 0余り1 ⇒ 17 = 「10001」 = 16 + 1

17

変換する整数で、10を基数として書かれています。整数でなければなりません。小数点や桁区切りは、丸めて消すのではなく拒否します。この一群のページは全体を通して整数で動くからです

÷ 2

繰り返される段です。2は変換先の基数なので、各回は2がいくつ入るかを尋ね、そのとき余った分が、まさにその位に入る桁になります

商

次の回へ引き継がれる部分です。各回は商と余りに分かれ、商が0になったところで処理は止まります。それがこれ以上上の位の値は要らないという合図です

余り

その回が生み出す桁です。2で割ったときに残るのは0か1しかありえないので、答えは2進数の桁になり、ほかの記号の組にはなりません

⇒ 「10001」

下から組み立てた桁です。最初に見つかった余りが右端の桁で、最後に見つかったものが左端になります。この方法でいちばん逆にしやすい段がここです

16 + 1

答えを2進数の位の値として読み返したものです。「10001」は16と1の位にだけ1が立っているので、それを足すと17に戻ります。これがこのページが印字する点検で、2進数の位の値を足したものがその数だから成り立ちます

53ビット

答えの長さの上限です。2進数で53桁、10進数では9007199254740991にあたります。その幅を超えると、機械は隣り合う整数を離して保持できません。だから大きな入力は、正しく見えるだけの何かに変換するのではなく拒否します

数を2を基数として書くことは、機械自身の表記を手で作らなければならないときにいつも出てきます。いくつかの小さな値を1つの整数に詰めるには、それぞれの値がどのビットを占めるかを求めなければならず、それはその値を2進数で持つことから始まります。色のチャンネル、パーミッションフラグの組、設定レジスタの中のビットフィールド。データシートを読む人は反対側から同じ作業に出会います。そこに印字されている範囲やマスクは16進数か2進数で書かれていて、その元になった数は10進数だからです。課題ではこの向きが直接問われるのがふつうで、10進数を2進数に変換して計算過程を示しなさい、という形になります。印字される割り算の階段がまさにその過程で、割り算1回につき1行です。同じ変換が、変換に見えない問いにも答えます。この大きさの値には何ビット要るか、そのすぐ上にある2の累乗はどれか、8ビットのフィールドが256までではなく255までしか数えないのはなぜか。頭の中でやるプログラマは階段ではなく2の累乗に手を伸ばし、入るいちばん大きな累乗を引いては繰り返します。このページの出力はそのやり方も支えます。引き算が成功するたびにその位に1が残り、答えの隣に印字される位の値の和は、その1を足し戻したものです。

1. 17を2進数で書く

   1. 17 ÷ 2 = 8、余り1。この1を書き留める
   2. 8 ÷ 2 = 4、余り0
   3. 4 ÷ 2 = 2、余り0
   4. 2 ÷ 2 = 1、余り0
   5. 1 ÷ 2 = 0、余り1。商が0になったので止める
   6. 余りを下から上へ読む：1、0、0、0、1。これが「10001」である

   既定値で、逆順を示す例です。最初に見つかった余りが答えの最後の桁になります。余りを出てきた順に読むと「10001」が逆になり、ここではたまたま逆にしても「10001」のままなので、規則を確かめるのは次の例のほうです。検算すると16 + 1 = 17です。

2. 1バイト全体を書く：255

   1. 255 ÷ 2 = 127、余り1
   2. 127 ÷ 2 = 63、余り1。以降の回もすべて余りは1になる
   3. 63 → 31 → 15 → 7 → 3 → 1、いずれも余り1
   4. 1 ÷ 2 = 0、余り1。全部で8回である
   5. 1が8つ並ぶ余りを下から読む：「11111111」

   255は8ビットのフィールドが持てる最大の値で、理由はこうです。2進数8桁は2⁸通りの組み合わせを持ち、その最大が「11111111」です。同じ事実の裏側は、256が「100000000」、つまり9桁で、1バイトに収まらない数だということです。位の値の和は物差しを全部足したもので、一度は完全な形で見る価値があります。

3. 2の累乗、16

   1. 16 ÷ 2 = 8、余り0
   2. 8 ÷ 2 = 4、余り0
   3. 4 ÷ 2 = 2、余り0
   4. 2 ÷ 2 = 1、余り0
   5. 1 ÷ 2 = 0、余り1
   6. 下から読む：1が1つでそのあと0が4つ、つまり「10000」である

   2の累乗は余り1をちょうど1回だけ出してから止まるので、位の値の和は1項だけに縮みます。これが見分けるべき形です。2の累乗はどれも2進数では1が1つでそのあと0が続く形になり、だから2の累乗がフィールド幅やページサイズやバッファ容量の自然な単位になるのです。

4. 先頭の0は値を変えない

   1. 入力の先頭の0は10進数の前に座っていて、何も足さない
   2. 変換は最初の例とまったく同じく17に対して行われる
   3. どちらの出力も、あちらと一言一句同じものになる

   入力側で先頭の0を受け付けるのは、10進数が埋められた状態でどこかから貼り付けられることが多いからで、しかも何も変わりません。0の100の位はやはり0の100の位です。反対側も同じで、値を意図して固定幅に埋めることがあります。8ビットのフィールドの「00010001」は「10001」と同じ数で、このページはどちらも受け付けます。

このページは整数だけを変換します。小数点は丸めるのではなく拒否するので、17.5は変換できません。小数を読むには何桁見せるか、最後の1桁をどう丸めるかという2つ目の規則が要り、この一群のどのページもその線を同じ場所に引いています。桁区切りも拒否されます。1,500ではなく「1500」と書いてください。コンマはいくつかの言語では小数点として読まれ、2つの読みの間で推測するのは尋ねるより悪いことです。入力は最大9007199254740991で、2進数では53桁にあたります。それより大きな値は機械が正確に保持できず、答えに見える何かへ変換するのではなくメッセージを付けて拒否します。先頭の0と前についたマイナス記号はどちらも受け付けます。このページは17についての2で割る階段を下の表に印字します。表は固定で、打ち込んだ数には従いません。パネルはあなたの数に答え、表は方法を示します。反対の向き、つまり2進数を10進数として読み返すのは別のページで、このページは結果に対して計算をしません。

10進数を2進数へ手で変換するにはどうするのか

2で割り、余りを書き留め、次に商を2で割ることを、商が0になるまで繰り返します。17なら余りは1、0、0、0、1と出ます。各回が右から次の桁を作るので、下から上へ読んで「10001」になります。多くの人が速いと感じる別のやり方は、入るいちばん大きな2の累乗を引いてその位に1を立て、残りで同じことを繰り返すものです。どちらも同じ桁が出ますし、このページが印字する位の値の和は、2つ目の方法が残していくものです。

余りを下から上へ読むのはなぜか

最初の割り算が、いちばん大きい位ではなく、いちばん小さい位についての問いに答えるからです。17を2で割ることは、その中に2がいくつあり何が余るかを尋ねることで、余った分は一の位の桁です。2を作れなかった部分だからです。次の回は同じ問いを2の位について尋ね、そこで余るのが2の位の桁です。だから回は右端の桁から左端の桁へ進み、書かれた順に読むと答えが逆になります。

小数部分のある10進数も変換できるのか

ここではできません。このページは整数を取るので、17.5は丸めるのではなく拒否します。2進数の小数はきちんと定義でき、小数点より右の位は2分の1、4分の1、8分の1…という値になります。しかしそれを受け付けるページは、何桁まで残すか、最後の1桁をどう丸めるかを決めなければなりませんし、この一群のページはどれも整数を変換します。そうすることで境界が全体で同じ場所に保たれ、ある値が片方のページで受け付けられ、もう片方で拒否されることがありません。

ここで変換できるいちばん大きな10進数は何か

9007199254740991で、2進数の形は1が53個並びます。この上限はこのページが決めたものではありません。その幅で機械は隣り合う整数を見分けられなくなるので、それより長い答えは信頼できず、変換するのではなくメッセージを付けて拒否します。同じ上限が、読みのページでは53桁の制限として、16進数では14桁として現れます。1つの制限を3つの基数で書いたものだからです。

ページが2進数と一緒に位の値の和も印字するのはなぜか

答えを信じるしかないものではなく点検できるものにするためです。2進数は求められたものですが、「10001」が正しいのか間違っているのかを見た目では区別できません。それが持つ位の値、ここでは16と1を足すと、出発点の数に戻ります。これは変換を逆に走らせたものです。和が元の数に戻らなければ、その2進数の文字列は間違いだと、別の道具なしに分かります。

繰り返し割るより速い方法はあるのか

よく出会う数についてはあります。2の累乗を「1024」のあたりまで覚えておいて、入るいちばん大きなものを引くのです。17なら16が入って1が残るので、割り算を1つも書かないうちに答えは「10001」です。数がなじみのないものなら階段のほうが優れています。間違えようのない計算だけで済むからです。2で割り続けるのは機械的です。どちらの方法も同じ桁に行き着き、どちらかがより正しいわけではありません。

• Binary number — 位取り記法、位の値、および2を基数とする数と10を基数とする数の間の変換 — Wolfram MathWorld (United States)
• Number base — 数字の値がその位置と基数で決まる理由、および1つの量が複数の基数でどう書かれるか — Wolfram MathWorld (United States)
• Powers of two — 2で割る方法が下から生み出す1、2、4、8、16…の数列。OEIS A000079として収録されている — OEIS Foundation Inc. (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。10進数と2進数の間の換算は課標の数と代数の領域の内容で、原文と学段の要求はこの添付による — 中华人民共和国教育部