外積計算

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = 平行四辺形の面積

ベクトルu

1つ目のベクトル。空白かカンマで区切ったちょうど3つの数で、1 2 3のように入力します。3つだけが受け付けられます。外積は3次元の演算なので、2次元の組は0を足して水増しするのではなく拒否します。0を足せば答えが黙って変わってしまうからです

ベクトルv

2つ目のベクトル。こちらもちょうど3つの数です。2つのベクトルの順序は、内積とは違ってここでは意味を持ちます。入れ替えると答えのどの成分も符号が反転します

x成分

答えの1つ目の成分。1つ目のベクトルの2番目の成分と2つ目のベクトルの3番目の成分の積から、1つ目の3番目と2つ目の2番目の積を引いたものです。外積のどの成分も2つの積の差で、符号はここから出てきます

y成分

同じ型を1つ巡回させたもの。1つ目のベクトルの3番目の成分と2つ目のベクトルの1番目の積から、1つ目の1番目と2つ目の3番目の積を引きます。このずらし方を間違えるのが最も多い誤りで、とんでもない答えにはならず、1つの成分だけ符号が狂います

z成分

型をもう1つずらしたもの。1つ目のベクトルの1番目の成分と2つ目のベクトルの2番目の積から、1つ目の2番目と2つ目の1番目の積を引きます。3つの成分を合わせたものが、2つの入力のどちらにも垂直なベクトルです

大きさ

できたベクトルの長さ。3つの成分の2乗和の平方根です。2つの入力ベクトルが張る平行四辺形の面積でもあり、その2辺を持つ三角形の面積の2倍でもあります。ふつうはこちらの読み方のほうが役に立ちます

|u| × |v| × sin θ

同じ長さを反対側から書いたもの。θは2つの入力のなす角です。2つのベクトルが垂直なときに長さが最大になり、向きがそろうにつれて0に落ちることを言っています。外積が0なら平行なのはこのためで、ちょうど反対の振る舞いをする内積がこのページの補集合にあたります

両方に垂直

この出力に価値がある理由そのもの。答えは2つの入力のそれぞれと直角をなします。出力でどちらかとの内積を取れば確かめられ、丸めの範囲でどちらも0になります

小数第4位

出力を書く桁数。入力が整数で小さいときは成分がちょうど出ることが多く、手計算のほとんどはそれで足ります。そうでないときは丸められます

外積が答える問いは内積とは別のもので、両者は選択肢ではなく補集合の関係にあります。内積は2つのベクトルから1つの数を出し、2つが同じ向きのときに最大になります。外積は2つのベクトルから1つのベクトルを出し、2つが垂直なときに最長になります。使うのは、既知の2つの向きのどちらとも直角な向きが欲しいときです。面の法線、回転の軸、動く電荷を磁場が押す向きなどがそうです。2辺のベクトルから平行四辺形や三角形の面積が欲しいときにも使います。答えの長さが平行四辺形の面積なので、その半分が三角形の面積です。2つのベクトルが平行かどうかを試したいときにも使えます。平行なときにちょうど3つの0が返るからです。そして垂直な向きを正しい向きで得たいときに使います。ここで2つのベクトルの順序と右手の法則が効いてきます。1つ目のベクトルは指を立てた向きから握り込む側、2つ目は握り込んだ先で、親指が答えの向きです。注意が2つあります。答えは2つの入力のどちらにも垂直なので、入力のどちらかに沿った向きではありません。どちらかに沿った答えを期待していたなら、それは内積です。そして長さ0は失敗ではなく本物の答えです。2つのベクトルが平行だと言っていて、片方がゼロベクトルの場合も含みます。

1. 「1 2 3」と「4 5 6」

   1. x成分：2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. y成分：3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. z成分：1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. 大きさ：√(9 + 36 + 9) = √54 = 7.348469…なので四捨五入して7.3485

   このページが開いたときに入っている入力で、計算がどれだけ素直かを見せてくれる行です。2つの積の差が3つ並ぶだけで、それ以外は何もありません。3つの成分がどれも0でないので、手計算した結果をこのページと突き合わせるのにいちばん向いており、符号の誤りが0に隠されることがありません。長さの7.3485は、この2つのベクトルが張る平行四辺形の面積です。この2辺を持つ三角形はその半分になります。

2. 「1 0 0」と「0 1 0」

   1. x成分：0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. y成分：0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. z成分：1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. 大きさ：√(0 + 0 + 1) = 1

   最初の2つの軸に沿った単位ベクトルどうしで、外積は3つ目の単位ベクトルとして返ってきます。このページが土台にしている巡回の順序を示す行です。xとyの外積はzになり、大きさ1は2つの入力が垂直で平行四辺形が単位正方形だったことを言っています。ここは手で3つの成分を書き出してみる価値のある行で、消えるべき項がすべて消える場合になっています。

3. 「0 1 0」と「1 0 0」

   1. x成分：1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. y成分：0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. z成分：0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. 大きさ：√(0 + 0 + 1) = 1

   前の行の2つの入力欄を入れ替えたもので、違いは3番目の成分の符号だけです。これがこの演算の順序依存性で、このページは代数を一切使わずにそれを見せてくれます。同じ組を2回、入力欄を入れ替えて入れてみてください。1つの成分が符号を変えるのが分かります。大きさは1のままで、これは言い換えの残り半分にあたります。2つのベクトルを入れ替えると答えの向きは反転しますが、大きさは変わらないのです。

4. 「1 2 3」と「2 4 6」

   1. x成分：2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. y成分：3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. z成分：1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. 大きさ：√(0 + 0 + 0) = 0

   同じ直線上を向いた2つのベクトルで、2つ目はちょうど1つ目の2倍です。答えは3つの0になります。これが平行なベクトルの場合で、見分けられるようになっておく価値があります。外積の長さは2つのベクトルが張る面積であり、平行なベクトルは面積を張らないからです。0が3つ返ってくるのは失敗ではなく正しい答えで、2つの向きが同じ直線にあること、そして面の法線のような形でその直線に垂直なベクトルは存在しないことを言っています。

5. 「3 4 0」と「4 3 0」

   1. x成分：4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. y成分：0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. z成分：3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. 大きさ：√(0 + 0 + 49) = 7

   平らな平面に載っている2つのベクトルなので、垂直な向きはその面からまっすぐ出た向きになり、最初の2つの成分は0です。長さ7はこの2つを辺とする平行四辺形の面積で、この2辺を持つ三角形は3.5になります。3番目の成分の符号は、答えが面のどちら側を向いているかを示し、ここでは負です。反対側から見て、1つ目のベクトルが半時計回りに2つ目へ回り込む側だからです。この2つのベクトルはどちらも長さ5で、内積は24、そして7と24と25はピタゴラスの組になっています。これは、ここでの長さと内積が、斜辺が2つの長さの積である直角三角形の2辺になっている、という言い換えでもあります。

2つのベクトルはどちらもちょうど3つの成分を持たなければならず、2つや4つの組は水増しせずに拒否します。2次元の外積はありません。この演算は定義上3次元で、2次元の組を合わせるために黙って0を足すと、2つのベクトルが載っている平面とは何の関係もない向きが出てきてしまいます。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば成分の区切り、空白のないカンマは小数点として読みます（1,5は1.5）。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。小数第4位は表示の幅であって精度の主張ではありません。内積と角度のページとは違って、ここではゼロベクトルを受け付けます。この違いは意図的です。ゼロベクトルとの外積は本当にゼロベクトルになります。ゼロベクトルは何と組んでも面積を張らないので、断る計算ではなく与えるべき正しい答えがあるからです。したがって0が3つ返ってきたときは、このページには解消できない曖昧さが残ります。2つのベクトルが平行だという意味であり、同時に片方がゼロベクトルだという意味でもあり、どちらなのかは入力した人にしか分かりません。どちらも正しい出力です。単位の扱いはありません。成分はただの数で、答えの長さもただの数です。ただし長さは、入力が2乗されたときの単位をそのまま引き継ぎます。このページは答えの向きを物理的な右手と突き合わせたりはしないので、法線や回転軸として使うときは、2つのベクトルを入力した順序が、垂直な2つの向きのどちらを得るかを決めます。

2次元ベクトルを入力できないのはなぜですか

平面内の2つのベクトルに外積はないからです。この演算は3次元で定義され、答えは2つの入力のどちらにも垂直でなければなりませんが、平らな平面にはそれが向くべき向きが残っていません。2次元の組に0を足して合わせると、その平面とは何の関係もない答えが出てしまうので、このページは拒否します。

答えは図形的に何を意味しますか

2つの入力のどちらとも直角をなすベクトルで、その長さは2つの入力が張る平行四辺形の面積です。その半分が、この2辺を持つ三角形の面積になります。この二重の読み方があるので、面の法線が欲しいときも面積が欲しいときも同じ計算が出てきます。

0が3つ返ってきました。どこか間違っていますか

いいえ、外積が0なのは本物の答えです。2つのベクトルが平行で面積を張らないという意味で、片方がゼロベクトルのときにも返ります。どちらも失敗ではなく正しい結果で、どちらの場合なのかをこのページが教える手段はありません。どちらも同じ3つの0になるからです。

2つのベクトルの順序は意味を持ちますか

はい、そしてここが内積のページと大きく違う唯一の点です。2つのベクトルを入れ替えると答えの向きが反転します。どの成分も符号が変わり、大きさはまったく同じままです。同じ組を2回、入力欄を入れ替えて入れてみれば、それが起きるのを見られます。垂直な2つの向きのどちらが欲しいかは右手の法則が決めます。

どの成分が最初に来ますか

x成分、次にy、その次にzで、答えは入力を打ち込んだのと同じようにベクトルとして印字されます。どれも2つの積の差で、巡回に沿って型が1つずつずれます。y成分はx成分の型を成分ごと巡回させたもので、z成分はもう1つ巡回させたものです。

内積とは何が違いますか

内積は2つのベクトルから1つの数を出し、2つが同じ向きのときに最大になります。外積はベクトルを出し、2つが垂直なときに最長になります。両者は補集合の関係です。1つの数が欲しいなら、角度でも射影でも類似度でも、それは内積です。両方に直角な向きが欲しいなら、このページです。

• Cross product — 外積。このページが計算している演算そのもので、成分ごとの定義と、このページが頼っている2つの性質（答えが2つの入力に垂直であること、因数の順序で符号が反転すること）が書かれている — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — 行列式。その展開がまさに外積の成分の式になっている数の並びで、同じ巡回が両方に現れる理由であり、このページが行列計算へリンクしている理由でもある — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — 平行四辺形。外積の長さがその面積を与える図形で、2つのベクトルが平行なときにちょうど0が3つ返る理由にあたる — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。空間ベクトルとその演算は義務教育の学段には含まれず、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部