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CalcMax

単位ベクトル計算

計算結果

0.6000

単位ベクトルのx成分

単位ベクトルのy成分
0.8000
単位ベクトルのz成分
0.0000
ベクトルの大きさ
5.0000

単位ベクトル計算ツールは、ベクトルを同じ向きを指す長さ1のベクトルに変換し、割った長さも表示します。2次元ベクトルなら3 4、3次元ベクトルなら2 3 6のように、成分を空白かカンマで区切って入力してください。受け付けるのは成分が2つか3つ、その2通りだけです。パネルには成分の行が3つあり、1次元のベクトルは向きではなく符号付きの数だからです。計算は割り算1回だけです。ベクトルの大きさ、つまり成分の2乗和の平方根を求め、すべての成分をそれで割ります。結果は作りからして長さ1で、入力とまったく同じ直線を指し、その向きの単位ベクトルと呼ばれます。この答えの用途は、向きを大きさから切り離すことです。長さだけが違う2つのベクトルは同じ単位ベクトルになるので、大きさが比べられないときに2つの向きを比べる自然な手段になります。風速と方位、測った傾きと基準の傾き、といった組み合わせです。正規化された入力を前提とする式に、向きを引き渡す手段でもあります。図形やグラフィックスの式のほとんどがそれです。出力を使う前に知っておく価値のある細かい点が2つあります。答えの符号は入力に従います。3 4の単位ベクトルは0.6と0.8で、−3 4の単位ベクトルは−0.6と0.8です。正の長さで割っても向きは反転しないので、左や下を向いたベクトルもまったくふつうの入力です。そして一緒に印字される長さは、打ち込んだベクトルの長さであって答えの長さではありません。答えの長さは定義上1で、それを印字しても何も言えないからです。入力の長さが見えることで割り算が見えるようになります。パネルに並ぶ数は、入力欄の数をその長さで割ったものです。拒否する入力が1つだけあります。長さが0のゼロベクトルで、割るものが残らず、それ以上に保つべき向きがありません。

よく出てくるベクトルと、その単位ベクトル

ベクトルベクトルの大きさ単位ベクトルのx成分単位ベクトルのy成分単位ベクトルのz成分
3 450.60.80
1 01100
1 11.41420.70710.70710
0 55010
-3 45-0.60.80
2 3 670.28570.42860.8571
1 1 11.73210.57740.57740.5774
3 4 -57.07110.42430.5657-0.7071

8本のベクトルとその単位ベクトルです。この表を読む価値にしているのは2列目で、ここに入るのは最後に出てくる定数1ではなく割る数です。1行目はこのページが開いたときに入っている組で、両側とも正確に出ます。3-4-5の三角形が長さ5を与え、2つの成分も正確な小数になります。2行目と4行目はすでに軸に沿っているベクトルなので、単位ベクトルは軸の向きそのもので、4行目のほうは長さが1ではなく5です。この列が答えの長さではなく入力の長さを持っていることがいちばんよく分かる場所です。3行目は平面上で成分が等しい場合で、2つの成分が0.7071、長さが√2になります。5行目は1行目の数の1つの符号を変えたもので、単位ベクトルの符号もそれに従います。−0.6と0.8です。正規化がベクトルを回すことはなく、この行がその証拠です。6行目と7行目は3次元で、片方は長さが7の整数で成分は正確に出ず、もう片方は長さが√3で3つの成分が等しくなります。8行目は3つ目の成分が負で、表の中で唯一zが負の単位ベクトルを与えます。ゼロベクトルの行はありません。意図的で、向きを持たずこのページが拒否するからです。ここにある数はすべてページのビルド時に計算し直しており、最初の列にある空白は区切り記号で、数の一部ではありません。

公式

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

ベクトルu
正規化したいベクトル。空白かカンマで区切った2つか3つの数で、3 4のように入力します。2つなら平面上のベクトル、3つなら空間のベクトルで、書き込む個数の欄はなく、並びの長さがどちらのつもりかを示します
|u|
入力ベクトルの大きさ。成分の2乗和の平方根です。これがすべてを割る数で、パネルの4番目の出力にあたります。単位ベクトルの長さではなく、打ち込んだベクトルの長さであることに注意してください。単位ベクトルの長さはいつも1です
û
単位ベクトル。入力の各成分をその大きさで割ったものです。入力とまったく同じ直線を指し、長さが1なので、2つは大きさだけが違って向きは同じです。頭の記号はこれを書く標準的な表し方です
x成分
答えの1つ目の成分。入力の1つ目の成分を大きさで割ったものです。符号は入力の符号そのままです。正の長さで割っても向きは反転しないので、左を向いたベクトルは左を向いた単位ベクトルになります
y成分
2つ目の成分を同じように割ったもの。x成分と合わせて、もとのベクトルの長さがいくつであっても平面上の向きを決めます
z成分
3つ目の成分を同じように割ったもの。2つの成分の入力では0になります。この0は水増しではありません。2次元ベクトルは平らな平面に載っており、同じ向きを3つの座標で書けば3つ目の成分はちょうど0です
|û| = 1
この答えが持つように作られた性質で、5行目として印字されない理由でもあります。単位ベクトルの長さはどの場合も1なので、1.0000と表示する行は、結果の姿をした定数になってしまいます
小数第4位
出力を書く桁数。入力の大きさが整数か短い平方根になったときだけ正確に出ます。3 4は5になりますが、3分の1や平方根は一般に割り切れません

大きさを伴わずに向きだけが欲しいときに使ってください。いちばん分かりやすいのは、大きさが別々の尺度にある2つの向きを比べるときです。長さだけが違う2つのベクトルは同じ単位ベクトルになるので、正規化すれば尋ねていなかった部分がそぎ落とされます。もう1つよくあるのは、長さ1のベクトルを前提とする式に入力を用意する場合です。鏡映、射影、照明の計算はどれもそうで、長さ5のベクトルを渡すと答えが黙って5倍になります。一緒に印字される長さがあるおかげで割り算を確かめられます。3 4なら0.6と0.8で、どちらからも5が出てくることが分かります。覚えておく価値のある点が2つ。出力は入力の符号を引き継ぐので、左や下を向いたベクトルは左や下を向いた単位ベクトルになります。正規化が変えるのはベクトルの長さだけで、それ以外は何も変わりません。そして出力の長さは何を打ち込んでも1なので、ページは代わりに入力の長さを印字します。情報を持っているのはそちらの数です。成分が2つのベクトルも問題なく、3つ目の成分が0で返ってきます。同じ向きを3つの座標で書くとそうなるからです。拒否される入力はゼロベクトル1つだけで、正規化すべき向きがありません。

計算例

  1. 3 4

    1. 長さ：√(9 + 16) = √25 = 5
    2. x成分：3 ÷ 5 = 0.6
    3. y成分：4 ÷ 5 = 0.8
    4. z成分：0 ÷ 5 = 0（2次元ベクトルは平らな平面に載っているため）

    このページが開いたときに入っている入力で、いちばんきれいな例です。3-4-5の三角形のおかげで長さが整数になり、どちらの成分も正確に出ます。4番目の出力が何のためかを示す行でもあります。パネルの5は3と4をそれぞれ割った長さで、その隣に0.6と0.8が並んでいるのが計算の全部です。2乗して確かめてください。0.36 + 0.64 = 1になります。

  2. 2 3 6

    1. 長さ：√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
    2. x成分：2 ÷ 7 = 0.285714…
    3. y成分：3 ÷ 7 = 0.428571…
    4. z成分：6 ÷ 7 = 0.857143…

    3次元の場合で、長さは7と整数になるのに、3つの成分はどれも整数になりません。3つとも循環小数で、小数第4位に丸められます。この組み合わせは例外的なものではなくふつうの場合です。長さが整数になることはよくありますが、単位ベクトルの成分が整数になることはまずありません。向きは2 3 6と同じで、そこから長さが割り出されています。

  3. -3 4

    1. 長さ：√(9 + 16) = √25 = 5（3 4と同じ）
    2. x成分：−3 ÷ 5 = −0.6
    3. y成分：4 ÷ 5 = 0.8
    4. z成分：0 ÷ 5 = 0

    1つ目の例の1つ目の成分の符号を反転したもので、単位ベクトルは符号を保ちます。−0.6と0.8です。正の長さで割ってもベクトルは回れません。それが目に見えるのがこの行です。左上を向いたベクトルはまったくふつうの入力で、その単位ベクトルも左上を向きます。長さはどちらでも5です。成分の符号を反転しても長さは変わりません。

  4. 0 5

    1. 長さ：√(0 + 25) = 5
    2. x成分：0 ÷ 5 = 0
    3. y成分：5 ÷ 5 = 1
    4. z成分：0 ÷ 5 = 0

    すでに軸の1つに沿っているベクトルなので、その単位ベクトルは軸の向きそのもの、0と1と0になります。ここで見るべきは4番目の出力で、1ではなく5と読めます。まっすぐ上を向いた長さ5のベクトルの単位ベクトルは長さ1で、ページはそれを、出てきた定数1ではなく割った長さを印字することで示しています。

  5. 1 1 1

    1. 長さ：√(1 + 1 + 1) = √3 = 1.732051…
    2. 各成分：1 ÷ 1.732051 = 0.577350…

    立方体の対角線で、3つの成分が等しく出ます。入力の3つの成分が等しかったのだから当然で、同じ数で割っても差は開きません。長さは整数ではなく平方根なので、ここでは何も正確に出ません。このページ自身の定義どおりに確かめてください。0.5774を2乗すると0.3334で、それを3つ足すと丸めの範囲で1になります。

適用限界

成分は2つか3つ、それだけを受け付けます。1つの数は向きではなく符号付きの量ですし、4つ以上はパネルの3つの成分の行に収まりません。2つの成分は意味のある形で3つに水増しされるわけではありません。平らな平面に載っていて、3行目の0は同じ向きを3つの座標で書いたときの姿であり、だからこのページはどちらのつもりかを尋ねる必要がないのです。ゼロベクトルはまるごと拒否します。長さが0なので割るものがなく、答えが保つべき向きもありません。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば成分の区切り、数字と数字の間にあって直後に空白がないカンマは小数点として読まれます。1,5は1.5のことです。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではなく、成分は丸める前の長さから計算しているので、印字された数を2乗して足してもちょうど1にならないことがあります。パネルに印字される長さは入力のもので、答えのものではありません。答えの長さは定義上1で、それを印字するのは定数を印字することです。このページは成分が何で測られているかも関知しません。単位ベクトルに単位はなく、それがこのページの趣旨で、長さのほうは入力の単位をそのまま引き継ぎます。算数のうえで述べておく価値のある微妙な点が1つあります。どの成分の符号も入力に従うので、左を向いたベクトルは左を向いた単位ベクトルになります。正の答えを期待していたなら、それは別のベクトルを期待していたということです。

よくある質問

単位ベクトルとは何ですか
ある向きを指す長さ1のベクトルです。ベクトルをそれ自身の長さで割ると得られ、大きさを伴わずに向きだけを持ちます。長さだけが違う2つのベクトルは同じ単位ベクトルになるので、尺度の違う向きを比べる手段になるのです。
4行目に1ではなく入力の長さが出るのはなぜですか
単位ベクトルの長さはどの場合も1で、いつまでも1.0000と表示する行は結果ではなく定数になってしまうからです。入力の長さは割った数なので、それを印字すると割り算が見えます。3 4と入力して5を見れば、0.6と0.8がそれぞれ5で割った数だと読み取れます。
成分が2つだけのベクトルを入力できますか
はい、3つ目の成分は0で返ります。これは水増しではありません。2次元ベクトルは平らな平面に載っていて、同じ向きを3つの座標で書いたときの3つ目の成分が0なのです。パネルには成分の行が3つあるので、2つの入力と3つの入力が同じ配置を共有します。
答えにマイナス符号が残るのはなぜですか
長さで割ってもベクトルは回れないからです。長さは正の数なので、どの成分も符号を保ちます。−3 4の単位ベクトルは−0.6と0.8です。答えが正で返ってきてほしいと思っていたなら、それは同じ向きを正規化したものではなく、別の向きです。
すべて0のベクトルを拒否するのはなぜですか
正規化するとはその長さで割ることで、その長さが0だからです。割り算以外にもう1つ理由があります。ゼロベクトルは向きをまったく持たないので、答えが保つべきものがありません。角度のページと内積のページもこれを拒否し、外積のページだけは受け付けます。あちらでは本当にゼロベクトルが出るからです。
ベクトルの正規化は何に使いますか
向きを大きさから切り離すために使います。鏡映、射影、照明の式は、渡されたベクトルの長さが1であることを前提にしていて、代わりに長さ5のものを渡すと何の警告もなく答えが5倍になります。尺度の違う2つの向きを比べるのももう1つの用途です。どちらも正規化すれば、大きさが邪魔をしなくなります。

参考文献

関連する計算ツール

ベクトル間の角度計算2つのベクトルの内積からなす角を求める。外積計算2つのベクトルの外積とその大きさを求める。内積計算2つのベクトルの内積と角度を計算。