行列計算

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

行列Aの1行目と2行目

1つ目の行列で、1行につき1つの入力欄に2つの数を入れます（4 7と2 6など）。4つの成分を4つの欄に分けないのは、行列が1つの対象だからです。分けると1つの入力が4つになり、行列ですらないものも入力できてしまいます

行列Bの1行目と2行目

2つ目の行列で、書き方は同じです。このページで唯一省略できる入力です。加算と乗算はどちらも必要とし、逆行列はまったく使いません。その演算を選んでいるときは2つの欄とも空のままでかまいません。空のままは誤りではなく、キーが単に存在しないだけです

演算

3つのうちどれをするか。2つの行列を足す、掛ける、1つ目を逆にする、のいずれかです。3つとも入力は同じで、適用する計算だけが違うので、3つのページではなく1つのページにまとめています

結果の1行1列

答えの左上の成分で、同じ名前の付いた残り3つも同じです。加算なら左上どうしを足したもの、乗算ならAの1行目全体とBの1列目全体を掛け合わせたもので、だから左上どうしの積にはなりません

det A

1つ目の行列の行列式で、左上×右下から右上×左下を引いたものです。どの演算でも表示され、いつもAのものです。答えのものではありません。入力した行列の性質なので、同じ数で加算から乗算、逆行列へと切り替えても変わりません

1 ÷ det A

逆行列に掛ける係数であり、行列式が0のときに拒否される理由です。逆行列を割る数だからです。加算と乗算はこれを必要としないので、行列式が0の行列でもそのまま計算できます

A⁻¹

Aを打ち消す行列です。どちらの順で掛けても単位行列になり、対角に1が並び、それ以外は0になります。それがあるからこそ価値があり、行列式が0でないときにちょうど存在します

単位行列

対角に1が並び、それ以外が0の行列で、行列の乗算にとっての1にあたります。逆行列が正しいかどうかは、掛け戻してこれになるかで確かめられます

小数第4位

出力を書く桁数。整数の加算と乗算はちょうど出ますし、行列式が1か−1の行列の逆行列も同様です。それ以外は丸められ、対角に3が入った行列が、きれいに出ないいちばんよくある場合です

加算はほとんど誰も求めることのない演算で、3つを並べて見せるためにここにあります。成分ごとに足すだけで、いつでも計算でき、行列がふつうの数のように振る舞う唯一の場面です。変換のために本質なのは乗算です。同じ図形に回転を適用してから拡大を適用するのは、2つの変換の行列の積を取ることにあたり、掛ける順序がそのまま適用する順序になります。逆行列は元に戻すためのものです。ある行列が座標を一方向に移すなら、その逆行列は元に戻します。変換した結果は分かっているが、それを生んだ入力を知りたいときがこれにあたります。並んで表示される行列式も、それ自体で読む価値があります。行列式が0というのは、その行列が平面を直線の上にぺちゃんこに潰しているという意味で、違う入力が同じ出力に着地し、何も元に戻せなくなります。逆行列が存在しないというのと同じ話です。符号は、その行列が平面の向きを保つか裏返すかを教えてくれます。使うときに気をつけることが2つあります。乗算は交換できません。2つの行列を入れ替えると答えが変わります。変換を合成しているのなら、順序は問題の一部であって細部ではありません。そして表示されるのは1つ目の行列の行列式だけです。2つ目のものも欲しければ、それを1つ目の位置に入れて逆行列を選んでください。どちらが1つ目かは入力欄ではなくドロップダウンが決めます。

1. 「4 7 / 2 6」と「1 2 / 3 4」を乗算

   1. 左上：(4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. 右上：(4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. 左下：(2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. 右下：(2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. Aの行列式：(4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   このページが開いたときに入っている入力です。答えの各成分は、1つ目の行列の1行全体と2つ目の行列の1列全体からできています。そこが見どころで、答えの左上は25ですが、入力の左上にある2つの数4と1のどちらでもありません。この2つの積は4です。行列式の10も表示されていて、これはAのもの、つまり4 7と2 6のもので、答えのものではありません。

2. 同じ2つの行列を加算

   1. 左上：4 + 1 = 5
   2. 右上：7 + 2 = 9
   3. 左下：2 + 3 = 5
   4. 右下：6 + 4 = 10
   5. Aの行列式：Aは前の例と同じ行列なので10のまま

   前の例から変えたのはドロップダウン1つだけです。どの成分もただの足し算になり、3つの演算の中で行列がふつうの数と同じように振る舞うのはこれだけです。順序は関係なく、壊れるところがありません。行列式は10のままです。Aについての事実であり、Aが変わっていないからです。ドロップダウンを加算と乗算の間で行き来させてみるのが、行列式が計算の性質ではないことを見るいちばん速い方法です。

3. 「4 7 / 2 6」の逆行列

   1. Aの行列式：(4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. 対角の2つの成分を入れ替える：6と4
   3. 残り2つの符号を反転する：−7は7になり、2は−2になる
   4. それぞれを行列式で割る：6 ÷ 10 = 0.6、−7 ÷ 10 = −0.7、−2 ÷ 10 = −0.2、4 ÷ 10 = 0.4
   5. 検算：(4 × 0.6) + (7 × −0.2) = 2.4 − 1.4 = 1で、単位行列の左上になる

   条件の付いた3つの演算の1つ目です。2つ目の行列の欄が空なのはわざとで、逆行列はAしか読みませんし、このページも文句を言いません。手順はいつも同じ4つです。対角を入れ替え、残り2つの符号を反転し、行列式で割る。最後の検算は一度手でやってみる価値があります。答えを元の行列に掛け戻すと対角に1が並び、それ以外が0になります。それ以外になったら、どこかで符号が滑っています。

4. 「1 2 / 3 4」と「5 6 / 7 8」を乗算

   1. 左上：(1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. 右上：(1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. 左下：(3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. 右下：(3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. Aの行列式：(1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   入れ替えて比べるための行です。同じ4つの数をAとBを交換して入れると、答えは23、34、31、46になり、同じ入力からはまったく別の行列が出てきます。行列の乗算は交換できず、これがその実際の姿です。2つの行列が2つの変換なら、掛ける順序はそのまま適用する順序になります。ここではAの行列式が−2で、入れ替えた側も−2です。たまたま2つの行列の行列式が等しいので、2つの答えは結果の4つの成分で違い、行列式の列では見分けられません。

5. 行列式が0の行列を乗算

   1. 左上：(1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. 右上：(1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. 左下：(2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. 右下：(2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. Aの行列式：(1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   1つ目の行列の行列式が0です。2行目が1行目ちょうど2倍なので、この行列は平面を直線の上に押しつぶします。それでも乗算はふつうに計算されます。それがこの例の狙いです。行列式が0なのは逆行列にとっての問題で、それ以外の何でもありません。同じページにこの行列の逆行列を頼めば断られます。加算や乗算を頼めば答えます。どちらにもちゃんと定義された答えがあるからです。行列式の列はどちらでも0です。

受け付けるのは2×2行列だけで、1行につき1つの欄、それぞれ2つの数です。それより大きい行列は欄を大きくするのではなく別の配置が要ります。成分の数が大きさの2乗で増えるからです。2つ目の行列の欄は空のままでよく、埋めなければならないかどうかは欄ではなく演算で決まります。加算と乗算は2つの行列を必要とし、逆行列は1つ目しか読みません。逆行列は行列式が0でないときにだけ存在し、その判定は0に近いかどうかではなく、ちょうど0かどうかで行われます。これは決断であると同時に、本当の限界でもあります。境界の近くを捕まえようとすれば、本当に逆行列を持つ行列まで拒否することになるので、許容誤差は設けていません。その代償は、正確な計算では特異になるような小数の行列が、0ではなく1.4e-17のような行列式を出して逆行列が計算され、拒否ではなく4つの巨大な数を返すことです。整数で入力すればこの問題はまったく起きませんし、それだけ小さい行列式はそれ自体が合図です。表示されるのは1つ目の行列の行列式だけなので、2つ目のものはそれを1つ目の位置に入れて求めてください。成分はふつうの数として読みます。カンマの直後に空白があれば1行の2つの数の区切り、空白のないカンマは小数点として読みます（1,5は1.5）。桁区切りは解釈せず、推測もしないので、カンマを入れずにそのまま入力してください。小数第4位は表示の幅であって精度についての主張ではありません。逆行列は丸める前の行列式から計算しているので、印字された答えをAに掛け戻しても、印字された桁でちょうど1と0になるとは限りません。このページに単位はなく、想定もされていません。成分はただの数で、それについて主張しているのは小数第4位だけです。

なぜ1つの数につき1つの欄ではなく、1行につき1つの欄なのですか

行列は1つの対象で、4つの欄に分けると独立に入力できる4つの入力になってしまい、行列ですらないものも入力できてしまうからです。かといって行列全体を1つの欄に入れると逆の問題が起きます。成分が足りないのか位置がずれているのかを区別できません。1行につき1つの欄なら、1行の2つの数がまとまったまま、各行にちょうど2つあるかどうかを確認できます。

2つ目の行列はいつ空のままでよいですか

選んだ演算がそれを必要としないときです。逆行列は1つ目の行列しか読まないので、2つ目の行列の2つの欄は空のままでよく、何も足りていません。加算と乗算はどちらも必要とし、入力している間は文句を言わずに待ちます。欄を埋めなければならないかどうかを決めるのは、欄ではなく演算です。

逆行列が拒否されることがあるのはなぜですか

逆行列は1つ目の行列を打ち消す行列であり、特異行列、つまり行列式が0の行列にはそれが存在しないからです。その行列は平面を直線の上に潰すので、違う入力が同じ出力に着地し、何も元に戻せません。このページは答えらしく見える4つの数を印字する代わりに拒否します。同じ行列でも加算と乗算はふつうに計算できます。

行列式はどちらの行列のものですか

いつも1つ目の行列のもので、どの演算を選んでいても変わりません。同じ入力で加算・乗算・逆行列を切り替えても動かないのはそのためです。答えではなくその行列の性質であり、逆行列が存在するかどうかを決める数でもあります。2つ目の行列の行列式が欲しいときは、それを1つ目の位置に入れて逆行列を選んでください。

2つの行列の順序は意味を持ちますか

乗算では意味を持ち、しかも技術的な話ではなく本当に違いが出ます。2つの行列を入れ替えると4つの成分がすべて変わります。2つが変換なら、掛ける順序はそのまま適用する順序です。例外は加算で、行列はふつうの数と同じように足せて、順序はまったく関係ありません。

逆行列は何に使うのですか

行列を元に戻すためです。ある行列とその逆行列をどちらの順で掛けても単位行列、つまり対角が1でそれ以外が0の行列になります。変換後の座標から、それを生んだ座標へ戻るときに役立つのはそのためです。行列式が答えの隣に表示されるのは、この操作ができなくなるのが行列式が0の場合にほかならないからです。

• Matrix — 行列。このページが入力として受け取る対象で、ここにある3つの演算が従う加算・乗算・単位行列の定義が書かれている — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — 逆行列。ある行列を打ち消す行列で、このページが使っている2×2の場合の式と、行列式が0でないときにだけ存在するという条件が書かれている — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — 行列式。ページがどの答えにも添えて表示する数で、2×2での求め方、逆行列をこれで割る理由、値が0であることがその行列について何を言っているかが書かれている — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。行列とその演算は義務教育の学段には含まれず、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部