コイントス

表 = 並びの中で (H) が現れる回数 · 裏 = flips − 表 · 最長連続 = 同じ結果が続くいちばん長いかたまり · split chance = C(n, 表) / 2ⁿ

flips

コインを投げる回数です。並びには1回につきHかTが1つ入り、ほかの出力はすべてこの回数の上で数えられます

seed

生成器からどの並びを引くかを決める値です。同じシードはいつも同じ表と裏を生むので、同じ実行を正確に繰り返せます。どちらの面が出やすくなるわけではありません

H

表のことです。同じ確からしさの2つの面の一方にあたります。並びが言葉ではなくHとTを印字するのは、この2文字がこのページの残りの部分で使う記号だからで、どの言語でも同じままです

T

裏のことです。公平なコインには記憶がないので、片側が続くのはコインが傾いているからではなく、その並びの偶然です

split chance

公平なコインが、この回数のうちちょうどこの回数だけ表を出す確率です。この内訳そのものの起こりやすさのことで、実際に出た割合とは別の問いです

コインを持たずにコイントスの列を見たいとき、あるいは表と裏の並びを目で見るのではなく数える必要があるときに使います。並びから目で読み取れないのは最長連続の部分で、いちばん誤解されるところでもあります。200回のうち7回続くのはありふれたことで、コインが偏っている証拠にはなりません。内訳の確率は相方の問いに答えます。今回どれくらいの割合で表が出たかではなく、公平なコインがそのような内訳を出す確率がどれくらいだったかです。このページはコインが公平かどうかを検定しません。公平だと仮定して、公平がどんな姿かを示します。

1. 10回投げて表7・裏3、最長連続は3

   1. 生成器から10個の結果を引く：H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Hを数えると7個なので、裏は10 − 7 = 3
   3. 割合は7 / 10 = 70%
   4. 同じ面が続く最長のかたまりを求めて並びを一度たどる：3〜5番目のHHH、7〜8番目のHH。最長は3
   5. 公平な10回でちょうど7回表が出る確率はC(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1,024 = 11.72%

   最後の2つの数は並べて読んでください。このページがいちばん誤読されるところだからです。70%は今回起きたことで、11.72%は公平なコインが7対3の内訳を出すことがどれくらいあるかです。どちらも他方を否定していませんし、70%は11.72%の言い換えでもありません。1つ目はこの1回の実行を表し、2つ目は表が7回出る10回投げの一族全体を表しています。

2. 同じ10回を別のシードで：5対5

   1. シード7は別の並びを引く：T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. 表5回・裏5回なので、割合は50%
   3. 最長のかたまりはここでも3：6〜8番目のTTT、3〜5番目のHHH
   4. 5対5の内訳の確率はC(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1,024 = 24.61%

   どちらの実行も最長のかたまりは3で、10回投げではこれがありふれた結果です。深読みするほどの偶然ではありません。動いたのは内訳の確率のほうです。5対5は7対3の2倍以上起こりやすくなります。10の位置に表を5つ並べる方法が、7つ並べる方法よりはるかに多いからです。シードが隠れた詳細ではなく入力欄になっているのも同じ理由です。同じページをもう一度開いて黙って違う答えが出てはいけませんし、話題に値する実行は繰り返せなければなりません。

3. 1回だけ投げる、下限の場合

   1. 結果を1つだけ引く：H
   2. 表が1回、裏は0回なので、割合は1 / 1 = 100%
   3. 同じ結果が続く最長のかたまりはその1回そのものなので1
   4. 公平な1回で表が1回出る確率はC(1,1) / 2¹ = 1/2、つまり50%

   1回はこのページが受け付ける最小の入力で、割合と確率を別の行にしなければならない理由がここに出ます。1回投げればどちらかの面が出るので、割合は100%になります。その数はコインについて何も言っていません。コインについて何かを言う数は、内訳の確率の50%のほうです。1回では2つの行はほとんど矛盾して見えます。200回では近づいていき、少ない回数での両者の隔たりが、標本抽出という主題そのものです。

4. 200回投げて9連続

   1. 生成器から200個の結果を引く。並びの行にすべて入る
   2. 表を数えると95回なので、裏は200 − 95 = 105
   3. 割合は95 / 200 = 47.5%で、五分五分から2.5ポイント離れている
   4. 片側が続く最長のかたまりは9：同じ結果が9回続く
   5. 公平な200回でちょうど95回表が出る確率はおよそ4.39%

   9連続がここでじっくり見るべき数です。人は9連続を見るとコインに何か問題がある証拠だと読みますが、公平な200回では珍しくもありません。最長のかたまりは並びの長さとともに伸びます。ゆっくりですが、上限はありません。2つの行がどちらへ引っ張るかにも注意してください。割合は47.5%と心地よく、正しく見えるほど五分五分に近いのに、内訳の確率は4.39%しかありません。ちょうど95回に着地するのは、どれも同じに見える多くの結果のうちの1つにすぎないからです。

このコインは物理的なものではありません。1回1回はシード付きの乱数生成器から引かれるので、このページが見せているのは公平なコインのように振る舞う並びであって、本物のコインの記録ではありません。そして同じシードはいつも同じ並びを引きます。それがこの入力欄の狙いであり、同時に限界でもあります。さらに3つの限界を挙げておきます。1つ目、このページはコインが公平かどうかを検定しません。毎回確率2分の1だと仮定して、そこから出るものを報告します。本当に偏ったコインでも、このページは公平であるかのように記述します。2つ目、200回が上限です。これはこのページのために選ばれたものではなく、共有している乱数カーネルの引き出し上限を受け継いだもので、200回では並びの行が何行にも折り返す長さになります。3つ目、このページは結果を示しますが判定はしません。最長9連続でも表が70%でも、それが驚くべきことかどうかには一切触れずに印字されます。それを見極めるのは、隣にある内訳の確率を読むことです。

同じシードでいつも同じ並びになるのはなぜですか

このコイン投げが、本物のコインではなくシード付きの乱数生成器から出てくるからです。シードが、その生成器の流れのうちどの並びを引くかを決めます。シード1を2回入れると同じ10個の表と裏が出ます。7に変えると同じ回数で別の並びになります。これは意図したものです。訪れるたびに答えを引き直すページは確かめようがなく、結果を引用することもできず、このページの裏にある自動テストには比較する相手がなくなります。シードはこのページで唯一、量ではない入力でもあります。並びを選ぶだけで、どちらの面も重くしません。どのシードも表を出やすくはしません。

表が出た割合と、内訳の確率は何が違いますか

割合は目の前の実行を表し、内訳の確率はこの長さの実行のうちこの内訳に着地するもの全体を表します。10回投げて表が7回なら割合は70%で、公平なコインが10回でちょうど7回表を出す確率は11.72%です。同じことを2通りに言ったのではなく、逆方向に動くこともあります。200回では割合が50%の近くに心地よく収まる一方で、内訳の確率は5%を下回ることがあります。ちょうど1つの回数に着地するのは、その周辺が混み合っていても狭い的だからです。割合は結果として、内訳の確率は驚きの予算として読んでください。

表が9回続くのはコインが公平でない印ですか

いいえ。200回投げでは珍しくもありません。同じ結果が続く最長のかたまりは並びの長さとともに伸びます。ゆっくりですが上限はなく、長い連続は公平なコインがいずれ出すものです。公平なコインがしないのは記憶することです。8回表が続いた後でも9回目は2分の1のままで、この長さの連続がこの長さの並びに現れるのはまさにそのためです。連続を偏りの証拠と読むのは、長さとともに伸びる部分を定数のように読むことです。最長連続の行が印字されているのは、この直感を信じるのではなく確かめられるようにするためです。

なぜ200回より多く投げられないのですか

200が、このページとサイコロ振りと乱数生成が共有している乱数カーネルの引き出し上限だからです。ここで選んだ数ではなく受け継いだもので、そろえておくと1つのシードが3つのページで同じ意味になります。結果は目に見えます。200回では並びの行が何行にも折り返す長さになり、これは表示の不具合ではなく上限の直接の結果です。それより長い並びが必要なら、正直に言えばこのページは適切な道具ではありません。必要なのは、目で数えることになる印字された並びではなく、プログラムです。

計算機の下に結果の表がないのはなぜですか

ここで欲しくなる表は自分の並びそのもので、参考表を組み立てるコードは入力を見ることができないからです。それは構築時に計算機の構造だけから走り、入力には触れられません。一般的なオッズと確率の表は、パネルの下で、あなたの問いに答えるかのような顔をしながら別の問いに答えることになります。そこでこのページは、パネルの最後の行に並びそのものを印字し、固定された数の集合を主題にするページに表を譲ります。

HとTはどういう意味で、なぜ言葉ではないのですか

Hは表、Tは裏で、引かれた順に1回につき1文字ずつ印字されます。どの言語でも文字のままなのは、並びが文章ではなく記号だからです。同じコイントスの列は、どの言語のページでも同じ文字列として読めなければなりませんし、翻訳された並びは隣の数と比べることもできません。この行があるのは、回数・割合・そしてとくに最長連続を手で確かめられるようにするためです。最長連続は、ほかのどんな方法でも並びから読み取れません。

• Coin Tossing — 理想化されたコイン：等しい確率の2つの面があり、HとTで書かれること — Wolfram MathWorld (United States)
• Run — 連続して同じ結果が並ぶ区間としてのラン、そして与えられた回数のコイントスである長さのランが現れる確率 — Wolfram MathWorld (United States)
• 用語（Introductory Statistics 2e, §3.1）— 大数の法則：投げる回数が増えるにつれ、公平なコインの表の相対度数が2分の1に近づくこと — OpenStax（ライス大学）