サイコロ振り

ways(total) = (x + x² + … + x^sides)^diceCountのx^totalにおける係数 → 確率 = ways(total) / sides^diceCount

diceCount

振るサイコロの個数で、最大20個です。1個だとどの目も等しく出る平らな分布になり、2個以上だと真ん中の合計が盛り上がります。合計の確率を表示する価値があるのはそのためです

sides

サイコロ1個あたりの面数で、2から100までです。よく知られたd6もここにあり、二十面体のサイコロも百面のサイコロも同じ扱いです

ways(total)

その合計になる結果が何通りあるかです。場合の数はサイコロにとって正直な単位です。六面サイコロ2個で合計7は36通りのうち6通りあり、その比が確率そのものです

seed

振り始めの位置で、0から4,294,967,295までの整数です。同じシードと同じ山は同じ目を返すので、振り直して確かめられる振り方になります

total

目の合計です。すべてが1の最小からすべてが最大の面の最大まで動くので、山が作れる合計の数は個数 × 面数 − 個数 + 1になります

合計が本題で、個々の目は細部でしかないときに使います。3d6の振りが目標の数を超えそうかを確かめるとき、ゲームの前に2d6の合計の確率を見るとき、セッションを正確に再現できるようシード付きで振りたいときです。シード付きの振り方がこの道具をただの玩具でなくしている部分で、レベルを生成するプログラムも、シナリオを再演する卓も、ルールを試す人も、再現できる振り方を必要としています。シードは、1回の振りを誰でも再現できる振り方に変えるものです。ただし物理的な乱数という意味での公平なサイコロの模擬ではありません。数は小さな決定的な数列から出るので、参加者に出目を予測されてはいけない場面は対象外です。

1. 六面サイコロ2個、シード1：4と1で合計5

   1. 山は六面サイコロ2個なので、同じ確からしさの目の組が6 × 6 = 36通りある
   2. シード1がその組を4と1に決め、合計は4 + 1 = 5になる
   3. 合計5は1+4、2+3、3+2、4+1として出る。36通りのうち4通り
   4. 4 / 36 = 0.1111…なので、確率は11.11%

   この11.11%が、出た目と確率を並べる理由そのものです。合計5は目立たない値で、出やすさでは同率3位ですが、それでもおよそ9回に1回しか出ません。合計2と12がそれぞれ2.78%で最も珍しいのは、どちらも作り方がちょうど1通りしかないからで、合計7は6通りあって16.67%になります。サイコロが1個だとこの構造はまったくなく、どの目も1/面数です。確率が意外に思えたら、まず山の大きさを見てください。

2. 六面サイコロ3個、シード5：5と5と2で合計12

   1. 六面サイコロ3個では、同じ確からしさの結果が6 × 6 × 6 = 216通りある
   2. シード5が目を5、5、2に決め、足すと12になる
   3. この山が作れる合計は3 × 6 − 3 + 1 = 16通りで、3から18まで
   4. 合計12は216通りのうち25通りなので、確率は11.57%

   サイコロ3個では、範囲の真ん中が2個のときよりずっと混み合います。最も出やすい合計は10と11でそれぞれ12.5%、12はそれに迫る3位の11.57%です。同じ合計12でもサイコロ2個では話がまるで変わり、2.78%で最も珍しい結果になります。つまり合計について引用した確率は、山を一緒に言わなければ意味を持ちません。16通りという数は、合計の数が単に面の数ではないことも示しています。サイコロ3個では合計は3から18まで動き、その数は16で、18でも6でもありません。

3. 二十面サイコロ1個、シード7

   1. サイコロが1個だと目を組み合わせる方法がないので、どの目も等しく出る
   2. シード7が目を1に決める
   3. 20通りあるうちの1通りなので、1 / 20 = 5%

   ここが分布の平らな場合です。サイコロが1個しかないので真ん中に何も盛り上がらず、1も20もほかのどの目とまったく同じ確率になります。余分なサイコロが何をしているかが最もはっきり見える例です。2d6では端の合計が珍しく、1d20では何も珍しくありません。仕組みは完全に、各合計を作れる場合の数にあります。隣の乱数生成が同じことを反対側から言っています。一様な1回の引きは、引きの合計とは別物です。

4. シードを上限まで上げた場合

   1. シードは4,294,967,295まで上がります。これは2³² − 1で、生成器の状態が保持できる最大の値です
   2. 最初の例と同じサイコロ2個ですが、シードが違うので別の手になります
   3. 6と2を足すと8で、合計8は36通りのうち5通り
   4. 5 / 36 = 13.89%

   シード4,294,967,295を試す価値があるのは、生成器の状態を不注意に実装したときに壊れ方が見えにくい唯一の値だからです。状態は32ビットの符号なし整数で保たれ、最大の値はちょうど、その段の1つ違いが目に見えなくなる境目にあたります。ここで見える結果は6と2というごく普通の手で、パネルは違って見えるはずがありません。だからこの境界は利用者向けの機能ではなくテストになるのです。

出た目は予測できません、という保証はありません。普通のソフトウェアが使うのと同じ種類の、小さなシード付きの数列から出るので、シードを知っている人は同じ手を再現でき、いくつかの手を見た人はシードを割り出せます。参加者に出目を予測されたり再現されたりしてはいけないもの、たとえば賭けの対象、鍵、トークン、ワンタイムコードには使えません。それらには暗号学的な乱数源しか正しい答えはありません。シード付きの振り方は、再現できることが利点になる場面、つまり再演・生成・テストのためのものです。さらに2つの限界をはっきり書いておきます。計算機の下にある参考表は六面サイコロ2個のもので、入力したサイコロには追随しません。表は固定された参考で、パネルに出る確率のほうがあなたの山に合った数です。そして合計の確率は公平なサイコロを前提にしています。偏りのある物理的なサイコロは、どんな山でもこの数には一致しません。

計算機の下の表が、入力したサイコロと合わないのはなぜですか

参考表が六面サイコロ2個に固定されているからです。定数から計算されていて入力からは計算されないので、山を変えてもそのままです。結果パネルに出る確率のほうがあなたのサイコロに追随し、両者が食い違うときはそちらを読んでください。この表があるのは、サイコロの確率と言えば多くの人が思い浮かべるのが2d6だからです。真ん中に7、両端に2と12が来る形です。別の山の確率が必要なときは、パネルが振った合計の確率を与えますし、同じシードをもう一度振れば気になるほかの合計も確かめられます。

シードとは何で、なぜいつも同じ手が返るのですか

シードは振り始めの状態なので、同じシードと同じ山はいつも同じ目を返します。これは手抜きではなく機能です。シード付きの振り方があるからこそ、セッションを正確に再演でき、生成したレベルが実行のたびに同じになり、ルールを固定された手に対して試せます。シードを変えれば同じ山から別の手が出ます。振るたびに違う手が欲しいときは、振るたびにシードを変えてください。パネルが黙ってシードを進めることはありません。

この振り方は、結果を誰にも予測されてはいけないゲームに使えますか

使えません。そしてこの区別は重要です。目は小さな決定的な数列から出るので、シードからは手全体が再現でき、いくつかの手からはシードが割り出せます。参加者が結果を予測したり再現したりしてはいけないものには、暗号学的な乱数源が必要です。卓の再演、レベルの生成、ルールのテスト、再現できる標本抽出はどれも問題ありません。それらはまさに、振り方を再現できることがこの道具を使う理由になる場面です。

サイコロ2個では合計7が最も出やすいのに、3個ではそうでないのはなぜですか

真ん中に盛り上がるのが合計の作り方の数であり、それが山によって変わるからです。六面サイコロ2個では36通りの組があり、7はそのうち6通り（1+6から6+1まで）を占めて、ほかのどの合計より多くなります。サイコロ3個では最も出やすい合計は10と11でそれぞれ12.5%になり、7はずっと下がります。同じ合計でも山が違えば意味が変わるので、パネルはいつも、実際に設定した山について合計と確率を組にして報告します。

1つの山はいくつの合計を作れますか

すべてが1の最小の合計から、すべてのサイコロが最大の面を出す最大の合計までです。個数と面数を使うと、個数 × 面数 − 個数 + 1通りの合計になります。2d6なら2から12までの11通り、3d6なら3から18までの16通り、20d100なら1,981通りです。この数は面の数ではなく、範囲の両端はいつも最も珍しい合計です。どちらも作り方がちょうど1通りしかないからです。

パネルの確率は合計に対するものですか、それとも正確な目に対するものですか

合計に対するものです。4と1の2個と、1と4の2個は同じ合計5で、報告される確率はその合計の確率です。足すとその合計になる組み合わせをすべて数えていて、5なら36通りのうち4通りになります。順序まで決まった正確な手は別のもっと小さな確率（特定の組なら1/36）ですが、パネルが報告するのはそちらではありません。目標の数を超えるかどうかを決めるのは合計だからです。

• Dice — サイコロの和の生成関数としての形と、各合計の作り方を数える係数 — Wolfram MathWorld (United States)
• Uniform Sum Distribution — 一様な引きの和の分布。複数のサイコロの合計にあたるもの — Wolfram MathWorld (United States)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：変数の度数分布と、数えた結果から確率をどう読むか — National Institute of Standards and Technology (NIST)